联想构图 回归教材 计算助力——一道尺规作图模拟题的解法探究与思考.pdf
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1、40 福建中学数学 2023年第6期 联想构图联想构图 回归教材回归教材 计算助力计算助力 一道尺规作图模拟题的解法探究与思考 宋远征 陆 军 南京师范大学附属中学新城初级中学(210019)尺规作图有其特有的价值,一方面考查学生对知识和技能的掌握,另一方面对分析问题、解决问题的能力也进行了考查,是近几年中考的热点题型之一 笔者以 2022 年南京市建邺区一模第 22 题为例,引导学生从多角度分析问题、探究不同的思路,并对问题进行一般性的推广,开阔学生思维,提升复习效率 1 题目呈现题目呈现 尺规作尺规作图图 如图 1,已知ABC,ABAC=,作矩形MNPQ,使得点M N,分别在边AB AC,
2、上,点P Q,在边BC上,且2MNMQ=(不写作法,保留作图痕迹)图 1 2 试题分析试题分析 在计算题中经常出现类似图形,如已知三角形的底和高,求内接正方形的边长本题改变题型,变计算为作图,可以很好考查学生对该图形的认识程度以及转化的能力从阅卷的数据来看,本题满分 8 分,得分为 3.94 分,部分学生由于对作图题缺乏解题经验,导致缺少分析问题的方法,无法做出符合条件的图形 3 解法探究解法探究 3.1 转化为基本作图转化为基本作图 通过作等腰三角形底边上的高(中线、角平分线),把等腰三角形转化为两个全等的直角三角形 方法方法 1 如图 2,作ABC的高AD,再分别作ADBADC,的角平分线
3、DM DN,并连接MN与AD交于E点,然后分别在BD DC,上截取DQDP=DE=,连接MQ NP,图 2 反思反思 本题的关键点是作出点M(或N),根据等腰三角形的性质,作ABC的高AD后,问题“2MNMQ=”转化为“MEMQ=”,即在t ABDR中作正方形MEDQ,问题进一步转化为基本作图:作已知角的平分线 在确定了M N,的位置后,作DQ DPDE=,简化作图步骤,体现作图过程的简洁 3.2 位似作图位似作图 由已知条件可以确定A B C,的位置,弱化题目条件,先构造一个长宽比为2:1的矩形,以A或()B C为位似中心,通过位似变换将矩形缩小或者放大,使得M N P Q,四个点在相应的边
4、上 方法方法 2 如图 3,在AB边上任取一点M,过M作M QBC ,以M Q 为边作矩形M N P Q 使得2P QM Q =,连接BN并延长交AC于N点,过N点作NPBC,垂足为P,在BC边上截取PQ=2PN,过Q作BC边的垂线交AB于M点,连接MN 方法方法 3 如图 4,以BC为边在BC下方作矩形GHCB,使得12BGBC=,连接AG AH,分别交BC于Q P,点,分别过P Q,作BC的垂线交AC AB,于N M,点,连接MN 在方法 3 的基础上,学生进一步思考,矩形GHCB在BC下方,位似中心为A,若矩形GHCB在BC上方,位似中心在哪?于是得到下面的做法 方法方法 4 如图 5,
5、作ABC的高AD,以BC为边在BC上方作矩形GHCB,使得12BGBC=,连接DG DH,分别交AB AC,于M N,点,连接MN交AD于E点,分别在BD DC,上截取DQDPDE=,连接MQ NP,图 3 图 4 图 5 A B C N M M N Q Q P P A B C N M Q G H P G M H H C N B Q D P E A MBE NCP D Q A C B 2023年第6期 福建中学数学 41 反思反思 位似的作用是将图形进行“缩放”变换,因此在作图时弱化条件,先构造一个满足两个或三个点在三角形对应的边上且符合比例关系的矩形,再利用不同的位似中心,通过位似变换使得四
6、个顶点都在对应的边上 3.3 计算构造计算构造 在这个三角形中,已知BCa=,高ADh=,通过计算得到矩形MNPQ的边长22ahMNah=+,2ahMQah=+能否通过作图得到22ahah+或2ahah+,从而确定四个顶点中的任意一个?从式的结构发现,可以借助相似知识达到目的 方法方法 5 如图 6,作ABC的高AD,延长BC至F,使得CFAD=,连接AF,过C作/CEAF交AD于E点,过E作MNAD,分别交AB AC,于M N,点,在BC边上分别截取QDDEPD=,连接MQ NP,图 6 方法方法 6 如图 7,作ABC的高AD,过A作AGAD,使得2AGAD=,连接CG交AB于M点,过M点
7、作BC边的垂线,垂足为Q,在BC边截取2QPMQ=,过P作BC边的垂线交AC于N点,连接MN 苏科版教材第 6 章复习巩固第 12 题中也有类似式结构,如图 8,111A DB CE F+=,即A D B CE FA DB C =+,因此可以在先通过图 8 构图得到矩形的宽,再将宽“移”到ABC中再作矩形 图 7 图 8 方法方法 7 作ABC的高AD,如图 8 构造/B C A D 且A DAD =,12B CBC =,连接C D 与A B 交于E,过E作/E FB C ,与A C 交于F,在AD上截取DEE F =,过E作MNAD,分别交AB AC,于M N,点,在BC边上分别截取QDDE
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