基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价.pdf
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1、应用概率统计第 39 卷第 4 期2023 年 8 月Chinese Journal of Applied Probability and StatisticsAug.,2023,Vol.39,No.4,pp.547-560doi:10.3969/j.issn.1001-4268.2023.04.006基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价宋子豪韩苗(中国矿业大学数学学院,徐州,221116)摘要:本文研究了机制转换跳扩散模型下外汇挂钩的相关期权的定价问题.在风险中性概率测度下,假设汇率服从机制转换均值回复模型、资产价格服从机制转换跳扩散模型,通过测度变换和傅里叶变换方法,推导出了外汇
2、挂钩相关期权的定价公式.运用快速傅里叶变换算法求得期权价值的数值解,并比较分析了不同模型以及一些重要参数对外汇挂钩相关期权价值的影响情况.关键词:期权定价;机制转换;跳扩散模型;外汇挂钩;相关期权;傅里叶变换中图分类号:O211.6英文引用格式:SONG Z H,HAN M.Correlation options pricing with exchange rate risk underregime-switching jump-diffusion modelsJ.Chinese J Appl Probab Statist,2023,39(4):547560.(in Chinese)1引言许多
3、学者在对 Black-Scholes 期权定价模型的改进过程中,提出了很多新的模型.其中,机制转换模型能够很好的描述风险资产价格受市场经济周期影响而引起的结构变化,跳扩散模型能够有效刻画标的资产价格因为突发信息而引起价格的跳动,因此这两类模型在期权定价中的应用引起了很多研究者的兴趣.Hamilton1首次将机制转换模型应用到计量经济学领域,并对美国经济周期进行了分析.他的文章也激发了大量学者在经济、金融等领域的研究中引入机制转换模型,并取得了丰硕的研究成果.在衍生产品定价方面,Elliott 等2,3考虑了标的资产价格满足马尔科夫调制的几何布朗运动以及马尔科夫调制跳扩散模型下期权定价问题.王伟
4、等4,5研究了机制转换模型下弱势欧式期权、远期生效看涨期权等定价问题.范堃6利用快速傅里叶变换方法研究了机制转换模型下一些金融衍生产品的定价.韩苗7在机制转换多尺度跳扩散模型下研究了几类股票期权定价问题.Deelstra 等8研究了机制转换跳扩散模型下障碍期权的定价.Noorani 等9研究了机制转换模型下基于算术平均的亚式期权的定价,并采用方差减少蒙特卡罗模拟方法进行数值分析.Ma 等10研究了随机利率、机制转换随机波动率、具有随机跳强度的双指数跳扩散模型下欧式期权定价.国家自然科学基金项目(批准号:71871215)资助.通讯作者,E-mail:.本文 2021 年 8 月 23 日收到,
5、2021 年 11 月 29 日收到修改稿.548应用概率统计第 39 卷随着人民币国际化进程和汇率市场化改革的推进,中国的金融机构开拓了越来越多的国际业务,外币资产及负债不断增加.许多机构纷纷通过买卖外汇衍生产品对冲汇率风险,所以具有汇率风险的期权定价问题引起了很多学者的关注.Siu 等11研究了两因素马尔科夫调制的随机波动率模型下外汇期权的定价.Lian 和 Chen12在假设汇率服从两因子马尔科夫调制随机波动率双指数跳模型下研究了外汇期权的定价.Fan 等13在外汇服从机制转换均值回复对数正态模型和外国资产价格服从机制转换几何布朗运动情况下,研究了两种外国股票期权的定价.韩苗7在机制转换
6、多尺度跳扩散模型下研究了具有汇率风险的三种股票期权定价问题.相关期权是指期权损益同时受多个标的资产的影响,随着交叉市场产品的增加,也促进了相关期权的应用研究.对于欧式相关期权,到期收益可以看成两个欧式看涨期权的乘积.Jrgensen14与 Schmutz 和 Z urcher15研究的交通灯期权就是相关期权的一种,该产品是为了满足丹麦人寿和养老金(L&P)公司的需求而开发的.研究相关期权定价的文献较多.Dempster 和 Hong16在经典的两因子 Black-Scholes 模型下,利用傅里叶变换方法研究了相关期权的定价.Fan 和 Wang17研究了机制转换随机利率模型下相关期权的定价.
7、由于金融市场的全球化加速了跨国界的投资,因此研究具有汇率风险的相关期权定价具有重要的实际意义.受其启发,本文研究外汇挂钩的相关期权的定价,创新之处主要有两个方面,首先基于机制转换跳扩散模型,研究了外汇挂钩的相关期权的定价.外汇挂钩的单资产期权和相关期权定价的研究较多,但是很少有文献研究外汇挂钩的相关期权定价.其次,运用傅里叶变换方法给出了外汇挂钩的相关期权的半解析定价公式,并进行了数值分析,为外汇挂钩相关期权定价问题提供了新的参考.文章各节内容安排如下,第 2 节给出模型及其基本假设;第 3 节利用测度变换和傅里叶变换方法推导出机制转换跳扩散模型下外汇挂钩相关期权定价公式;第 4 节利用快速傅
8、里叶变换算法给出数值分析结果;第 5 节是文章的小结部分.2模型建立我们考虑一个连续时间金融市场,在 T=0,T 时间段内可连续进行交易,其中T 0,1i 0,2i 0,i 0,1 i 1,1 1i 1,1 2i 1.N1:=N1(t)|t T,N2:=N2(t)|t T 表示两个相互独立的泊松过程,且 1(t),2(t)分别表示 t 时刻两个泊松过程 N1和 N2的跳强度,且与 X(t)有关,即1(t)=1,X(t),2(t)=2,X(t),其中 1=(11,12,1N)RN,2=(21,22,2N)RN.在 t 时刻发生跳跃时,分别记 N1(t)和 N2(t)的跳幅为 z1(t)和 z2(
9、t).对任意的时间 t=s,i=1,2,假设 zi(t)和 zi(s)独立同分布,且 z1(t)N(1,21),z2(t)N(2,22),则 N1(t)的平均跳幅为1=E(ez1(t)1)=E(ez1(t)1=e1+21/2 1.550应用概率统计第 39 卷N2(t)的平均跳幅为2=E(ez2(t)1)=E(ez2(t)1=e2+22/2 1.进一步假设(W1(t),W2(t),W3(t),N1(t),N2(t),z1(t)和 z2(t)都是相互独立的.对任意 t T,令 s1(t)=ln(S1(t),s2(t)=ln(S2(t)表示 t 时刻该相关期权两个对数标的资产的价格过程,F(t)=
10、eZ(t)表示 t 时刻的外汇汇率过程.令 FS1(t)|t T,FS2(t)|t T,FZ(t)|t T 和 FX(t)|t T 分别是由 S1,S2,Z,X 生成的右连续、P 完备自然域流.令 G=:G(t)|t T 表示由 FS1(t),FS2(t),FZ(t)和 FX(t)生成的最小的 域流.即G(t)=FS1(t)FS2(t)FZ(t)FX(t),t T.对任意 t T,G(t)表示到时刻 t 所能观测到的市场信息.3外汇挂钩的相关期权定价外汇挂钩的相关期权到期日收益函数为C(T)=F(T)S1(T)K1+S2(T)K2+,其中 K1,K2为相关期权的两个交割价格.令 C(0,T,K
11、1,K2)表示该期权的初始价值.由无套利定价原理,则该期权价值为C(0,T,K1,K2)=EeT0r(t)dtF(T)S1(T)K1+S2(T)K2+,(5)其中 E 是风险中性概率测度 P 下的期望,令 k1=ln(K1),k2=ln(K2)表示两个对数交割价格.定义调整的期权价值为c(0,T,k1,k2)=expa1k1+a2k2C(0,T,K1,K2),其中 a1,a2为预先给定的正常数,称为“阻尼系数”,c(0,T,k1,k2)在 k1和 k2组成的取值区域内是平方可积的,Carr 和 Madan19已提出,c(0,T,k1,k2)的傅里叶变换为(0,T,u1,u2)=ei(u1k1+
12、u2k2)c(0,T,k1,k2)dk1dk2.(6)下列命题给出了机制转换跳扩散模型下,外汇挂钩的相关期权价值的积分表达式.命题 1在机制转换跳扩散模型下,外汇挂钩的相关期权价值为C(0,T,K1,K2)=ea1k1a2k2(2)2ei(u1k1+u2k2)(0,T,u1,u2)du2du1,第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价551其中,(0,T,u1,u2)=expeTZ(0)+(iu1+a1+1)s1(0)+(iu2+a2+1)s2(0)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)X(0)expT0diag(g(t,u1,u
13、2)dt+QT,1,1=(1,1,1)RN且 g(t,u1,u2)=(g1(t,u1,u2),g2(t,u1,u2),gN(t,u1,u2)EN,其中 E 是复数空间,EN是 N 重复数空间.对每一个 j=1,2,N,有gj(t,u1,u2):=rj+e(Tt)j+12e2(Tt)2j+(iu1+a1+1)(rj 11j1221j+e(Tt)1j1jj)+(iu2+a2+1)(rj 22j1222j+e(Tt)2j2jj)12u1 i(a1+1)221j12u2 i(a2+1)222j u1 i(a1+1)u2 i(a2+1)j1j2j+1j(e(iu1+a1+1)1u1i(a1+1)221/
14、2 1)+2j(e(iu2+a2+1)2u2i(a2+1)222/2 1).在证明命题 1 之前,先给出几个重要的结果.参考文献 13,我们通过拉东尼科迪姆导数引入一个在 G(T)上与 P 等价的概率测度 Q,dQdP?G(T)=eZ(T)EeZ(T)|FX(T),对式(5)使用贝叶斯法则,可得C(0,T,K1,K2)=EEeT0r(t)dtF(T)S1(T)K1+S2(T)K2+|FX(T)=EeT0r(t)dtEF(T)|FX(T)EQS1(T)K1+S2(T)K2+|FX(T),其中 EQ 是概率测度 Q 下的期望.引理 213拉东尼科迪姆导数为dQdP?G(T)=exp12T0e2(T
15、t)2(t)dt+T0e(Tt)(t)dW3(t),且WQ3(t)=W3(t)t0e(ts)(s)ds,552应用概率统计第 39 卷WQ1(t)=W1(t)t01(s)e(ts)(s)ds,WQ2(t)=W2(t)t02(s)e(ts)(s)ds,是三个在概率测度 Q 下的标准布朗运动.WQ1,WQ2,WQ3是两两相关的,在 t 时刻,两两之间的瞬时相关系数仍表示为WQ1,WQ2=t0(s)ds,WQ1,WQ3=t01(s)ds,WQ2,WQ3=t02(s)ds.为了采用快速傅里叶变换方法,我们需要求出概率测度 Q 下,两个对数标的资产在到期日 T 时刻的价格(s1(T),s2(T)的联合特
16、征函数.引理 3在概率测度 Q 下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件特征函数为Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1,u2)=EQeiu1s1(T)+iu2s2(T)|FX(T)=expiu1s1(0)+T0r(t)11(t)1221(t)dt+T0e(Tt)1(t)1(t)(t)dt+iu2s2(0)+T0r(t)22(t)1222(t)dt+T0e(Tt)2(t)2(t)(t)dt12u21T021(t)dt 12u22T022(t)dt u1u2T0(t)1(t)2(t)dt+T01(t)(eiu11u2121/2 1)dt+T02(t)(eiu22u2222/2
17、 1)dt,其中 EQ 表示概率测度 Q 下的期望.证明:直接计算式(2)和式(3),并根据引理 2,可得在概率测度 Q 下有s1(T)=s1(0)+T0r(t)11(t)1221(t)dt+T0e(Tt)1(t)1(t)(t)dt+T01(t)dWQ1(t)+T0z1(t)dN1(t),s2(T)=s2(0)+T0r(t)22(t)1222(t)dt+T0e(Tt)2(t)2(t)(t)dt+T02(t)dWQ2(t)+T0z2(t)dN2(t),为了计算方便,令s1(T)=sc1(T)+sJ1(T),s2(T)=sc2(T)+sJ2(T),第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外
18、汇挂钩的相关期权定价553其中,sc1(T)=s1(0)+T0r(t)11(t)1221(t)dt+T0e(Tt)1(t)1(t)(t)dt+T01(t)dWQ1(t),sc2(T)=s2(0)+T0r(t)22(t)1222(t)mdt+T0e(Tt)2(t)2(t)(t)dt+T02(t)dWQ2(t),sJ1(T)=T0z1(t)dN1(t),sJ2(T)=T0z2(t)dN2(t).直接计算可得,sJ1(T)和 sJ2(T)在条件 FX(T)下的条件特征函数为EQeiusJ1(T)|FX(T)=EQeiuT0z1(t)dN1(t)|FX(T)=expT01(t)(eiu11u2121/
19、2 1)dt,EQeiusJ2(T)|FX(T)=EQeiuT0z2(t)dN2(t)|FX(T)=expT02(t)(eiu22u2222/2 1)dt.由于(WQ1,WQ2,WQ3),N1(t),N2(t),Z1(t)和 Z2(t)在 FX(T)条件下是相互独立的,则Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1,u2)=EQeiu1s1(T)+iu2s2(T)|FX(T)=EQeiu1sc1(T)+sJ1(T)+iu2sc2(T)+sJ2(T)|FX(T)=EQeiu1sc1(T)+iu2sc2(T)|FX(T)EQeiu1sJ1(T)|FX(T)EQeiu2sJ2(T)|FX(T).由上面
20、的结果,可获得概率测度 Q 下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件特征函数.引理得证.?为了简化符号,令RT=T0r(t)dt,LT=T0e(Tt)(t)dt+12T0e2(Tt)2(t)dt.引理 4令 fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)为概率测度 Q下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件概率密度函数.外汇挂钩相关期权价值的傅里叶变换为(0,T,u1,u2)=EeRT+LT+eTZ(0)Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1 i(a1+1),u2 i(a2+1)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)5
21、54应用概率统计第 39 卷=expeTZ(0)+(iu1+a1+1)s1(0)+(iu2+a2+1)s2(0)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)X(0)expT0diag(g(t,u1,u2)dt+QT,1,其中,Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1,u2)表示在概率测度 Q 下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件特征函数.证明:令 k1=ln(K1),k2=ln(K2),(0,T,u1,u2)=ei(u1k1+u2k2)c(0,T,k1,k2)dk1dk2=ei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2C(0,T,K1,K2)d
22、k1dk2=ei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2EeRTF(T)(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2 EeRTF(T)(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+|FX(T)dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2eRTEF(T)|FX(T)EQ(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+|FX(T)dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2eRT+LT+eTZ(0)EQ(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+|FX(T)dk1dk2=Eei(u1k1+
23、u2k2)ea1k1+a2k2eRT+LT+eTZ(0)k2k1(es1 ek1)(es2 ek2)fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)ds1ds2dk1dk2=EeRT+LT+eTZ(0)s2s1(e(iu1+a1)k1+s1 e(iu1+a1+1)k1)(e(iu2+a2)k2+s2 e(iu2+a2+1)k2)dk1dk2fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)ds1ds2=EeRT+LT+eTZ(0)e(iu1+a1+1)s1+(iu2+a2+1)s2fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)ds1ds2(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2
24、+a2)(iu2+a2+1)=EeRT+LT+eTZ(0)Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1 i(a1+1),u2 i(a2+1)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)=expeTZ(0)+(iu1+a1+1)s1(0)+(iu2+a2+1)s2(0)EexpT0g(t,u1,u2),X(t)dt(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1).第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价555参考文献 13 中的引理 3,我们可以得到,EexpT0g(t,u1,u2),X(t)dt=X(0)expT0
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