基于拉格朗日插值的无网格直接配点法和稳定配点法.pdf
《基于拉格朗日插值的无网格直接配点法和稳定配点法.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《基于拉格朗日插值的无网格直接配点法和稳定配点法.pdf(11页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、function.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics.2023.55(7):1526-1536HuMinghao,WangLihua.DirectcollocationmethodandstabilizedcollocationmcthodbasedonLagrangeinterpolation引用格式:胡明皓,王莉华,基于拉格朗周插值的无网格直接配55(7):1526-1536固体力学Jul.,20232023年7 月Chinese Journal of Theoretical and Applied MechanicsV
2、ol.55,No.7力期第5 5 卷第报学学基于拉格朗日插值的无网格直接配点法和稳定配点法胡明皓王莉华2)(同济大学航空航天与力学学院,上海2 0 0 0 92)摘要由由于无网格法中大多数近似函数均为有理式,不具有Kroneckerdelta性质,因此难以精确地施加本质边界条件.边界误差较大容易导致整个求解域求解结果精度低,甚至引起数值不稳定现象.文章在无网格直接配点法和稳定配点法中引入拉格朗日插值函数作为形函数,构建了拉格朗日插值配点法(LICM)和拉格朗日插值稳定配点法(SLICM).由于拉格朗日插值具有Kroneckerdelta性质,可以像有限元法一样简单而精确地施加本质边界条件,提高
3、这两种方法的数值求解精度.稳定配点法基于子域对强形式方程进行积分,可以满足高阶积分约束,即可以保证形函数在积分形式下也满足高阶一致性条件,实现精确积分.同时,进行子域积分还可以减少离散矩阵的条件数,从而提高算法的稳定性.进一步提高拉格朗日插值稳定配点法的精度和稳定性.通过数值算例验证这两种方法的精度、收敛性和稳定性,结果表明基于拉格朗日插值的配点法的精度优于基于重构核近似的配点法,拉格朗日插值稳定配点法的精度和稳定性均优于拉格朗日插值配点法关键词拉格朗日插值配点法,拉格朗日插值稳定配点法,Kroneckerdelta性质,精确积分,精度,稳定性中图分类号:0 2 4 1.8 2文献标识码:Ad
4、oi:10.6052/0459-1879-23-001DIRECT COLLOCATION METHOD AND STABILIZED COLLOCATION METHODBASEDON LAGRANGEINTERPOLATIONFUNCTIONI)Hu MinghaoWang Lihua 2)(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)AbstractSince most of the approximation functions in the
5、meshfree method are rational and do not have theKronecker delta property,it is difficult to accurately impose the essential boundary conditions.Large errors on theboundary can easily lead to low accuracy of the solution in the whole solution domain and may even introduce thenumerical instability in
6、solution process.In this paper,the Lagrange interpolation function is introduced as the shapefunction in the meshfree direct collocation method and the stabilized collocation method,and the Lagrange interpolationcollocation method(LICM)and the stabilized Lagrange interpolation collocation method(SLI
7、CM)are constructed.SinceLagrange interpolation has the Kronecker delta property,the essential boundary conditions can be imposed as simply andprecisely as the finite element method,which promotes the numerical solution accuracy of the two methods.The2023-01-01收稿,2 0 2 3-0 3-2 9录用,2 0 2 3-0 3-3 0 网络版
8、发表.1)国家自然科学基金资助项目(1 1 97 2 2 6 1 1 2 2 7 2 2 7 0).2)通讯作者:王莉华,教授,主要研究方向为计算力学.E-mail:I1527期胡明皓等:基于拉格朗日插值的无网格直接配点法和稳定配点法第stabilized collocation method is based on the subdomain integration,which can satisfy the high order integrationconstraints.That is,it can ensure that the shape function also meets t
9、he high-order consistency conditions in the integralform and achieve accurate integration.At the same time,the subdomain integration can also reduce the condition numberof the discrete matrix,which improves the stability of the algorithm.By combining the Lagrange interpolation functionand the stabil
10、ized collocation method,the accuracy and stability of the stabilized Lagrange interpolation collocationmethod is further improved.Numerical examples validate the accuracy,convergence and stability of the proposedLagrange interpolation collocation method(LICM)and the stabilized Lagrange interpolation
11、 collocation method(SLICM).The results show that the accuracy of the collocation methods based on the Lagrange interpolation function ishigher than that of the collocation method based on the reproducing kernel function,and the accuracy and stability of thestabilized Lagrange interpolation collocati
12、on method are superior to those of the Lagrange interpolation collocationmethod.Keywordss Lagrange interpolation collocation method,stabilized Lagrange interpolation collocation method,Kronecker delta property,exact integral,accuracy,stability无网格法1-6 由于不需要划分网格,不存在网格类方法在求解大变形问题时容易出现的网格畸变问题,而且具有精度高、收敛
13、率高等优点,近年来受到越来越多的关注,广泛应用于高速冲击、爆炸等复杂问题.常用的无网格法主要分为两类:伽辽金型和配点型.由于进行区域积分,伽辽金型无网格法具有较好的精度和稳定性,然而其缺点是计算效率比较低.配点型无网格法通常更加简单高效7-1 ,而且在一些简单问题中可以获得较好精度1 2 ,但是对于一些复杂问题,其精度和稳定性明显降低.Zhang 等1 3-1 4 提出最小二乘配点法(leastsquarescollocationmethod,LSCM),通过采用比源点个数更多的配点来构建超定离散方程进行计算,显著提升计算精度和稳定性,然而超定方程求解也大幅降低计算效率.分区配点法1 5-1
14、7 通过将区域分成若干个子域,提高了计算效率,而且降低了离散矩阵的条件数,提高了结果的稳定性,但是这种方法也是基于最小二乘求解,无法避免超定方程计算的缺点.最近,Wang等1 8-2 0 提出一种基于重构核近似(reproducingkernel,RK)的稳定配点法(stabilized collocationmethod,SCM),这种方法将问题域划分为若干个规则子域,对强形式方程在子域内进行积分,由于满足积分约束,可以实现精确积分.该方法提高了无网格法计算结果的精度和稳定性.由于积分效率高,该方法仍然保持配点型无网格法的高效特性.常用的无网格法采用的形函数通常都是有理式,不具有插值特性,难
15、以像有限元法(finiteelementmethod,FEM)一样方便准确地施加本质边界条件.这个问题也是目前无网格法的研究热点之一.在无网格方法中常见的处理本质边界条件的方法有拉格朗日乘子法2 1 、罚函数法2 2 和一些修正的方法2 3-2 4 然而拉格朗日乘子法会增加未知数的数量,导致刚度矩阵不对称,从而增加了计算难度.罚函数法虽可得到对称的刚度矩阵,但其计算精度往往取决于罚参数的选取.另一些学者努力尝试将有限元法与无网格法相结合来施加边界条件.基于强形式配点法和有限元的单元,Gao等2 5 提出单元微分法(element differential method,EDM),之后改进等参单
16、元的构建形式,可以由配点和相邻节点构建,提出自由单元配点法(free element collocationmethod,FECM)26-27.在此基础上进一步弱化单元,提出有限线法(finite linemethod,FLM)28,这种方法在求解低维和高维问题时均只需要在一个方向上构建单元,降低了单元畸变的可能性.这几种方法都是基于直接配点法,求解比较简便,虽然可以利用有限元单元的优势方便地施加本质边界条件,但是没能避免直接配点法的缺点和完全消除有限元单元畸变的可能性.为了结合无网格法无单元畸变的优势和有限元法能方便施加本质边界条件的特点,Wang等2 9 在稳定配点法的基础上提出一种基于拉
17、格朗日插值的稳定配点法,称为拉格朗日插值稳定配点法(stabilized Lagrange interpolation collocation method,SLICM).这种方法继承了稳定配点法精度高和稳定力15282023年第5 5 卷报学学性好的优势,能够实现精确积分,同时由于拉格朗日插值形函数具有Kroneckerdelta性质,可以像有限元法一样简便准确地直接施加本质边界条件.Wang等2 9 考虑了均匀离散点和对应结构化网格的非均匀离散点的离散布置方案,并没有详细讨论离散点任意布置的情形.本文通过引入曲线拉格朗日插值形函数,实现了基于拉格朗日插值的直接配点法和稳定配点法的任意离散,
18、进一步提升了这两种方法的适用范围.1拉格朗日插值近似1.1拉格朗日插值形函数将一个一维区域离散为若干个离散点,基于其中部分离散点x1,x2,xi,xm(这一组离散点也可称为节点),一维拉格朗日插值多项式可表示为mX-XiX-X1X-Xi-1 X-Xi+1x-XmNi(x)=I=1,2,.,m,-1x1(1)XI-XiXI-X1XI-Xi-1 XI-Xi+1XI-Xm1i1其中m表示离散点个数.对于所有的iI,N,(x i)在x=x;处结果为0,当x=xi时,N,(x)=1.因此,拉格朗日插值具有Kroneckerdelta性质,可以表示为以下形式o,IJNi(xl)=o1J=(2)(1,I=J
19、图1 和图2 展示了一维2 节点和3 节点拉格朗日插值形函数中节点分布情况.二维和三维形函数可以通过一维形函数在不同方向上的张量积表示为如下形式PL(x)=yiNi(x)xjNj(y),I=1,2,.,m1,J=1,2,.,m2(3)PL(x)=yiziN(x)xJzjNj(y)xkykNk(z)I=1,2,.,m1,J=1,2,.,m2,K=1,2,.,m3)(4)对于二维问题x=(x,y),三维问题x=(x,y,z),下标L由下标I,J和K的顺序排列确定.二维情况下4节点、6 节点和9节点拉格朗日形函数中节点分布如图2 所示.图3 图5 展示了不同阶数下的拉格朗日插值形函数及其导数,其中p
20、表示拉格朗日插值形函数的阶数.对于一维问题p=m-1,二维问题p=min(m1-1),(m2-1),三维问题 p=min(m1-1),(m2-1),(m3-1).12X23-11-11图1 一维2 节点和3 节点拉格朗日插值形函数的节点分布图Fig.1 Node distributions of the 1D 2-node and 3-node Lagrangeinterpolation shape functions3.5.8.4679.3X45.6112322图2 二维4 节点、6 节点和9节点拉格朗日插值形函数的节点分布图Fig.2Node distributions of the 2D
21、 4-node,6-node and 9-node Lagrange interpolation shape functionsLILILI1.550p=230p=2=20201.0-5010-10000.5S-10S-150-2000-20-250-30-300-101-101-101XXX图3 P=2时一维拉格朗日插值形函数Fig.31D Lagrange interpolation shape function when p=21529第7 期胡明皓等:基于拉格朗日插值的无网格直接配点法和稳定配点法LILILI1.5p=320p=3P5001.000.50S0-20S-0.5-500-4
22、0-1.0-101101-101XX图4 p=3时一维拉格朗日插值形函数Fig.41D Lagrange interpolation shape function when p=3LILILI1.5601500P=4=441.0400.520100000500-0.5S-20S-1.0-400-1.5-60-500-101-101-101XXX图5 p=4时一维拉格朗日插值形函数Fig.51D Lagrange interpolation shape function when p=41.2拉格朗日插值形函数的导数一维拉格朗日插值形函数的一阶导数和二阶导数可以表示为以下形式mmm1(x-x1)
23、(x-x2).(x-Xm-1)+(x-x2)(x-x3).(x-xm)Ni,x(x)=X-Xi=I=1,2,.,m(5)XI-Xi(xI-x1).(xI-Xi-1)(xI-Xi+1).(xI-Xm)=1j=1i-11#j.1mmmm1NI,xx(x)=X-Xi=XI-Xii=1j=1 k=1,i=1k+jitj.k,1(x-x1).(x-Xm-2)+.+(x-x3).(x-Xm)(xI-x1)(xI-Xi-1)(xI-Xi+1).(x-Xm)I=1,2,.,m(6)二维形函数的一阶和二阶导数也可以通过一维形状函数的张量积得到,可以表示为PL,x(x)=yINix(x)xJNj(y)PL.y(x
24、)=yINi(x)xJNJ.y(y)PL,xx(x)=yiN,xx(x)xjNj(v)(7)PL.yy(x)=yINi(x)xjNJ.y()PL,y(x)=yiNi,x(x)xjNJ.y(y)I=1,2,.,m1,J=1,2,.,m2同理,三维形函数的导数可表示为PL,x(x)=yizINi,x(x)xJzjNj(y)xkykNk(z)PL,y(x)=yIzIN(x)xJzJNJy(y)xkykNk(z)PL,z(x)=yiziNi(x)xJzjNj(y)xkykNk,z(z)PLxx(x)=yizINI,xx(x)xJzjNj(y)xkykNk(2)PL.y(x)=yizINi(x)xJzJ
25、N J.y()xkyNk(z)PL,z(x)=yiziNi(x)xJzjNj(y)xkykNk,zz(z)PLxy(x)=yIzINi.x(x)xJzjNJ.y()xkykNk(2)PL,x(x)=yiziNI,x(x)xJzjNj(y)xkykNk,z(z)PL.yz(x)=yiziNi(x)xJzJNJy()xkykNk.z(z)I=1,2,.,m1,J=1,2,.,m2,IK=1,2,.,m3(8)1.3拉格朗日插值近似对封闭求解区域进行离散,未知变量u(x)可以表示成以下形式mu(x)u(x)=Zp1(x)al(9)1=1其中m为形函数的节点个数.对于一维问题,m=m;在二维问题中,m
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 基于 拉格朗日插值 网格 直接 配点法 稳定
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。