关于有限群因子分解的一个新结论.pdf
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1、收稿日期院 2022-05-04接受日期院 2022-08-08基金项目院 国家自然科学基金面上项目渊11471055冤第一作者简介院 李保军渊1974要 冤袁 男袁 教授袁 博士袁 主要研究方向为群论遥 E-mail院本文所讨论的群皆为有限群袁对未指明的概念和符号袁可参见文献1-2遥回忆袁子 称为一个子群函子袁如果对任意的群G袁子渊G冤为 G 的一些子群的集合且满足院1冤1沂子渊G冤曰2冤对 G 的任意同态 兹:G 寅 G*袁有 兹渊子渊G冤冤=子渊兹渊G冤冤遥设 H沂子渊G冤袁则称 H 为 G 的一个 子-子群遥在群结构的研究中袁有一类重要的子群函子袁称为正则子群函子遥定义 12设 子 为
2、子群函子遥子 称为是正则的袁若对任意群 G袁当 H沂子渊G冤为 p-群且 N 为 G 的极小正规子群时袁总有 G:NG渊H疑N冤 为 p 的幂遥例 1群 G 的一个子群 H 称为 CAP-子群袁如果 H 覆盖或避开 G 的所有主因子袁令 子渊G冤=H臆G H 是准素的 CAP-子群袁则容易验证 子 为正则子群函子渊参见引理 4冤遥文献3中袁群 G 的一个子群 H 称为有 装-性质袁若 G/K:NG/K渊渊HK疑L冤/K冤 为 仔渊渊HK疑L冤/K冤-数袁正则子群函子与子群的 装-性质关系密切遥 源于文献3的工作袁正则子群函子也称为 Li-函子遥 通过对正则子群函子及相关子群函子进行研究袁群论专
3、家们取得了丰富的研究成果2-4遥设 G 可以分解为两个子群 A 与 B 的积袁称G=AB 为 G 的子群因子分解遥 子群因子分解是群结构研究的重要课题袁其中一个著名的结论是两个正规关于有限群因子分解的一个新结论李保军袁 吴燕渊南通大学 理学院袁 江苏 南通226019冤摘要院设 子 为子群函子遥 若对任意有限群 G袁当 H沂子渊G冤为 p-群且 N 为 G 的极小正规子群时袁总有 G院HG渊H疑N冤为 p 的幂袁则 子 称为是正则的遥 文章利用正则子群函子的概念和性质研究子群因子分解袁给出了群为 Sylow 塔群的一个新的判别准则遥关键词院有限群曰正则子群函子曰子群因子分解曰Sylow 塔群中
4、图分类号院 O152.1文献标志码院 A文章编号院 员远苑猿原圆猿源园渊圆园23冤园2原园园75原园4A new result on factorization of finite groupsLI Baojun,WU Yan(School of Sciences,Nantong University,Nantong 226019,China)Abstract:Let 子 be a subgroup functor.子 is said regular if for all groups G,whenever H沂子渊G冤 is a p-subgroup and Nis a minimal no
5、rmal subgroup of G,thenG院HG渊H疑N冤is a power of p.With the help of the notion and propertiesof regular subgroup functor,factorization of finite groups was studied and a new criterion of Sylow tower groups wasobtained.Key words:finite group;regular subgroup functor;factorization of finite groups;Sylow
6、tower group南通大学学报渊自然科学版冤允燥怎则灶葬造 燥枣 晕葬灶贼燥灶早 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠 渊晕葬贼怎则葬造 杂糟蚤藻灶糟藻 Edition冤灾燥造援 22晕燥援 2Jun援 圆园23第 22 卷 第 2 期圆园23 年 6 月doi院 10.12194/j.ntu.20220504001引文格式院 李保军袁 吴燕.关于有限群因子分解的一个新结论J.南通大学学报渊自然科学版冤袁 2023袁 22渊2冤院75-78.南通大学学报渊自然科学版冤圆园23 年幂零子群的积是幂零的5V袁引理 4.1袁但两个正规超可解子群的积不一定是超可解的6遥 近年来袁学者们取得了一系列研究成果7-12
7、袁郭文彬等7研究了可分解为正规超可解子群的积的非超可解群的极小形式曰Alejandre 等 8研究了超可解子群的置换乘积曰Carocca9研究了因子分解群的 p-超可解性曰Vasil忆ev等10研究了 P-次正规子群的积遥本文我们将借助正则子群函子的概念和性质研究子群因子分解袁特别地袁我们将给出 Sylow 塔群的一个新的判别准则遥1预备知识本节列出本文需要的一些引理和性质袁其中包括一些已知结果遥由文献6袁I袁推论 3.2知道袁一个群 G 是超可解的当且仅当 G/椎渊G冤是超可解的袁由此容易得到引理 1遥引理 1设 G 存在一个主群列袁其所有非 Frat鄄tini 主因子循环袁则 G 为超可解
8、群遥证明院设 1=G0臆G1臆噎臆Gs=G 为符合条件的 G 的一个主列袁则条件对 G/G1仍然成立袁因此 G/G1为超可解的遥 若 G1臆椎渊G冤袁则由条件有 G1循环袁因此 G 超可解曰若 G1臆椎渊G冤袁则由文献6袁I袁推论3.2得袁G 超可解遥设群 Q 作用在群 P 上遥 称 Q 稳定作用在 P 上袁如果存在 P的子群列 1=P0臆P1臆噎臆Pn=P 满足Q袁Pi臆Pi-1袁i=1袁2袁噎袁n遥 当 P袁Q 的阶互素时袁我们有以下结论遥引理 21设 p忆-群 Q 稳定的作用在 p-群 P 上袁则 Q 平凡作用在 p-群 P 上袁即 CQ渊P冤=Q遥回忆袁群 G 的一个自同构 琢 称为幂
9、自同构袁如果对任意 x沂G 有正整数 n 使得 x琢=xn遥若 A 为 G的自同构群的一个子群袁且 A 中所有元素皆为 G 的幂自同构袁则称 A 为 G 的一个幂自同构群遥引理 3设 A 为初等交换 p-群 P 的一个幂同构群袁则 A臆Aut渊冤为阶整除 p-1 的循环群袁其中 x 为 P 的任意非单位元遥证明院由文献13袁Lemma 1.5.4及其后说明立得遥引理 4设 子 为正则子群函子袁则 G 的一个 p-子群 P 为 子-子群当且仅当对 G 的任意主因子 Gi+1/Gi有 G院NG渊PGi疑Gi+1冤 为 p-数遥证明院设 P沂子渊G冤遥 令 兹:G 寅 G/Gi为 G 到 G/Gi的
10、自然同态袁则可知 PGi/Gi=兹渊P冤沂兹渊子渊G冤冤=子渊兹渊G冤冤遥 由正则子群函子的定义知袁 G/Gi院NG/Gi渊渊PGi疑Gi+1冤/Gi冤 为 p-数袁即 G院NG渊PGi疑Gi+1冤 为 p-数遥反之袁设 G 的任意主因子 Gi+1/Gi有G/Gi院NG/Gi渊渊PGi疑Gi+1冤/Gi冤=Gi院NG渊PGi疑Gi+1冤 为 p-数遥 设 N 为 G 的任意极小正规子群袁令Gi=1袁Gi+1=N袁则 G院NG渊P疑N冤 为 p-数袁即 P为 G 的 子-子群遥 另一方面袁设 兹 为 G 上任意同态且ker兹=H遥 令 Gi=H 且 Gi+1/Gi为 G/Gi的任意极小正规子群袁
11、则 G/Gi院NG/Gi渊渊PGi疑Gi+1冤/Gi冤 表明PH/H 为 G/H 的 子-子群袁即 兹渊P冤沂子渊兹渊G冤冤袁引理 4成立遥2主要结论设p1袁p2袁噎袁pn为群 G 阶的所有素因子且 p1p2 噎 pn遥 若 1臆GP1臆GP1GP2臆噎臆GP1GP2噎GPn=G 为 G 的一个正规列袁 其中 GPi为 G 的 Sylow pi-子群袁i=1袁2袁噎袁n袁则称 G 为 Sylow 塔群遥考虑 Sylow塔群的因子分解袁我们得到以下定理院定理 1设 子 为正则子群函子袁G=AB袁其中 A为 G 的次正规子群且 B 为 Sylow 塔群遥 若 A 的任意Sylow 子群的所有极大子
12、群皆为 G 的 子-子群袁 则 G为 Sylow 塔群遥证明院假设结论不成立并设 G 为极小阶反例遥我们通过以下步骤完成证明遥1冤A 是超可解的遥令1=G0臆G1臆噎臆Gs为 G 的一个主群列袁则1=A疑G0臆A疑G1臆噎臆A疑Gs=A袁划去重复项袁为 A 的一个正规群列遥 将其加细为 A的一个主群列1=A疑G0臆噎臆K臆H臆噎臆A疑Gs=A遥我们证明 A 的任意非 Frattini 主因子 H/K 是循环76窑窑的袁从而由引理 1 得 A 为超可解群遥 不妨设 A疑Gi臆K臆H臆A疑Gi+1且 pH/K 遥 由于 H/K 是非Frattini主因子袁存在 A 的 Sylow p-子群的一个极
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