怀特海“重提”柏拉图“数学与善”的形上追问.pdf
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1、31哲学研究怀特海“重提”柏拉图“数学与善”的形上追问苗春梅(广东第二师范学院数学学院,广州5 1 0 3 0 3)【摘要】怀特海在其晚年的重要文本数学与善中明确表达了他在现代知识背景下对数学本质的判断,特别是重提柏拉图的“数学与善”显然具有深意。事实上,在现代语境中面对数学与善,不是要重回柏拉图的观点,而是要在柏拉图开创的问题中,重新讨论人们从数学的精确性中获得什么,善的理想影响了数学什么的重要问题。正如怀特海所申明的那样,这样的提问虽无具体的数学公式,但却是对数学的哲学理解。因此,今天我们揭示怀特海这一工作的形上追问,既是在人工智能时代重新理解数学的意义、省思数学教育的方式、推动数学创新必
2、须要做的工作,又是在数学与善关系变化史中理解数学与善、正视理论创造与理想追求、建构数学与美和恶关系的前提性工作。【关键词怀特海;数学;善;形上追问中图分类号 B5【文献标志码 A文章编号 1 0 0 0-8 2 8 4(2 0 2 3)0 6-0 0 3 1-1 1承继柏拉图对数学与善的思考,怀特海在现代历史语境下基于现代数学的进展、融人现代人的观念,再次探讨了“数学与善”这一事关数学本质和数学教育的重大理论与实践问题。从怀特海讨论这一问题的逻辑和观念可以看出,,数学的善与善的数学本质上既是关乎善(目的)的证成,又是关乎数学意义的重大根本性问题。虽然这一问题早在遥远的古希腊就被提出来,但却是柏
3、拉图希望解决而并未成功解决的难题。历史地看,“数学与善”,“自它首先被柏拉图提出以来,二者之间特定的结合一直是一收稿日期 2 0 2 3-0 3-0 5【作者简介 苗春梅(1 9 7 7),女,辽宁大连人,教授,硕士研究生导师,博士,从事数学文化、应用数学研究。32学术交流2023年第6 期个尚未展开的论题。”1666现实地看,“数学与善”又是一个思考科学一般性质及其发展的时候不得不面对的问题,因为“一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步”2 。因此,以揭示数学本有的哲学性质重回“数学与善”,哲学地追问“现代数学与善的观念之间的联系”1 6 6,既是重新理解柏拉图为什么要在诸
4、多对话中思考数学本质、数学方式及其与善关系的问题,更是要在现代思想进步和语言扩充的背景下进一步说明数学与善关系的原因之所在。也就是说,数学与善,既关乎数学成善的可能与能力,又关乎善之需要对数学进一步发展的推进。虽然在柏拉图那里,这个问题表现为数学是成善之美德的核心要素,因为人“在他们有限的与封闭的领域内达到善的成功依赖于他们拥有的知识”3 1 2 4;但是,现代历史中数学改变现实的现实使数学成了成善的世界观前提,因为起源于欧洲的现代文明,“伽利略、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹在1 7 世纪精心创立系列的数学和物理概念,使整个运动限定在这些概念之中”1 6 7,数学从根本上影响了现代科学和现代人的行为
5、。由此看来,在人类知识发展史和人类社会进步史中,数学与善的上述“纠缠”并非意味着目的与手段的天然分离,而是意味着数学这一人类特有的知识类型本身所具有的世界观意义以及和目的同一性的特质。因此,数学与善统一甚至是一致在人类知识类型极速发展的今天具有极其重要的意义,如何在数学教育中真正将之揭示出来并内化成关于数学的观念,既是关系到数学发展与创新的根本问题,又是推进基础理论创新与观念变革的要求,更是关系到数学教育培植正确世界观和科学实践观的前提性问题“不能分离”的互成与“数学与善”分离的后果在功利性追求日盛的现代世界,如何看待作为工具的知识与作为目的的善,从根本上影响着人们对知识对象和知识内容的认知、
6、学习、运用和发展。然而,这一问题并不只是在现代社会才出现,早在理想国中柏拉图就已经清楚明白地阐明了这一事实。柏拉图所认为的“数学思想之于追求最终目的的重要性”1 6 6,不仅被他的学生所忽视,更被往后的数学家、科学家甚至是哲学家忽略。柏拉图关于数学阐明善的直觉,并非简单地对数学和善的界定或说明,而是基于对善本质的追问以及对人类认知能力的判定。因此,被柏拉图引人而且成为哲学真理的“数学与善”,实际上是直逼数学哲学本质的问题。当数学家们知道数学细节,而忽视数学与善的关系的时候,不仅我害了作为最高目的的善,也大大削弱了数学成善的重要性,数学也只好以作为工具的不可或缺来标示其重要性。由此看来,数学与善
7、不能分离的洞见,其实是关于数学的真理,无论是学习数学还是运用数学,都不应该在二者分离的基础上展开。因为“既然善和美是不同的,善永远居于实践之中,美则是在不运动的东西中,那些说数学科学并不涉及善和美的人就是错误的 4 。就此而论,对于数学不但需要熟悉、理解和掌握详33怀特海“重提”柏拉图的形上追问细的数学公式,而且更需要通过这些具体的对象性知识在数学对象的构成性中涉及善、追问善、成就善,唯有如此数学才能真正成为数学。第一,数学与善首先是一个哲学问题,只有哲学的透视才能通达数学与善的统一、反对二者的分立。现代数学知识的变化直接表现为知识内容的扩充与知识领域的扩展,“可以被设想为一个在1 8 7 0
8、 年开始的有智力的生命发展历程,那时这个生命体刚好九到十岁的样子”1 6 8。因此,现代数学发展之初就表现为对算术甚至是分数的熟稔和掌握,但是同时也被新知识所扩充,比如几何和代数的引入。但是,此时数学知识发展并没有形成对其表达对象的深刻理解,因为这时还延续柏拉图以后数学与善分离的传统。即是说,以数学自身直观对象是数学发展、创新和运用的一般情形。但是,数学概念本身的形成、阐释和传达,显然是不能离开作为目的的善。比如,几何概念“如果离开了对空间的引用,那么这些概念就没有任何意义”1 6 9。因此,尽管我们可以说柏拉图关于数学与善不能分离的洞见已然久远,然而我们却不能说现代数学的发展与完善已然统一了
9、数学与善。如果仅从数理推导的逻辑来看,只关注数学,而不在意善,显然不是问题。但是,如果我们在数学思考和传授中没有把作为目的的善甚或是作为对象属性的善与数学的知识内容一致起来的话,那么数学可能就只能遗留下逻辑自洽的概念、判断和推理。就此而论,柏拉图提出的数学与善一致判定,远远超越了对数学是实现善的功利主义肯定,而是从建立感觉与思想之间的内在联系的意义上来强调数学的特质与意义。因为,对人而言,“我们不仅仅拥有一个变化的世界,它的一切都是完全不可把握的;也不仅仅拥有单一纯粹的存在的世界,它的一切都是孤独的庄严。在技艺里这两个限度通过数学要素被融合为一个有秩序的整体”3 1 3-2。第二,数学与善的分
10、离这个曾经引发学术进步的“辉煌错误”,一方面强化了数学的工具性,另一方面更提出了数学与善统一的重要性。当怀特海在现代知识发展的整体逻辑中重提这一问题时,显然是看到辉煌错误之后必须正视的问题。对此的重视,既是对数学自身发展状态的考量,又是对数学与其他科学关系的判断。在数学与善分离的传统中,数学是对某种具有本体确定性对象的说明。比如对空间而言,“按照柏拉图、欧几里德他们的观念,数学的目的就是对空间性概念的充分说明 1 1 6 9。如此对数学功用的强调却疏离了数学的本质,而且也阻滞了科学的发展。因为数学与善的分离,使数学的一致性与逻辑自洽性成了数学的标识,是理性精巧之美的体现,深深地影响了现代科学。
11、比如,“因为离开了在思想基础引进数学与善分离的简化,现代物理学没有前设性的简化来解释自身”1 6 9。然而,1 9 世纪末2 0 世纪初非欧几何的发展,在解决现代科学的基础上使长达四千多年的数学与善的分离状态得以重新被重视。怀特海依据其表征的知识内容称之为“独一无二的几何学的错误”1670当现代科学面对这一错误,并给出“我们现在知道了”1 6 7 0的判断,显然不是对过往失误的追悔莫34学术交流2023年第6 期及,而是对数学与善分离的现代反思。因此,数学与善分离导致“过度强调欧几里德式的演绎技巧”5 】、强化“任何有限知识完全自足的观念”1 1 6 7 0,必然会导致教条主义的错误,错失知识
12、产生的背景,失去与生活目的的联系。或者说,数学与善的分离,强调有限模式在数学建构和数学教育中的重要地位,虽然能够将逻辑理性的完备和自洽表现得淋漓尽致,但是却不可避免地会产生落人武断的怀疑主义的白。在此背景下,数学其实只是一种失去根基的完成状态。由此看来,数学与善的分离使完成了的数学成了数学理所当然的形象,更以理性完美的形象证明有限的自足性,从而也潜在地表明数学与善的分离在某种程度上强化了怀疑论。更直接地讲,数学与善的分离虽然使现代科学和知识体系得以产生、发展和繁荣,但是却产生怀特海所反对的两种实在之间的冲突,即脱离善的将数学作为表达“型”的实在与追求善的生活实在之间的冲突,因为这一分离产生了阻
13、滞现代知识进步的恶。重提数学与善,也就意味着既应该从数学自身来思考数学,又要从生活存在来思考数学。第三,数学与善的分离偏离了柏拉图基于理念论对数学本质的洞见,产生了“具体性误置”谬误,放大了自希腊以来便存在于数学之中的矛盾。数学与善的互成在柏拉图那里是基于理念论哲学的,所以苏格拉底所说的“我所知道就是无知”,本身就意味着数学与善并非自足的停留,而是不断地发展着的。因此,在数学与善的互成中,发现存在于数学知识中的矛盾,对于数学的发展与变化具有根基性意义。然而,数学与善分离却使之不再成为问题。所以,怀特海特别感叹,“关于数的观念自希腊时代以来就总是包含奇怪的小矛盾,然而有思想的人们却总是忽略了它们
14、”1 6 7 。现代知识逻辑发展中“数学已丧失确定性”的观念,也并非要否定以几何学研究“型”、以数的概念表达类型的数学本身,而是要揭示数学知识构成中欣赏无用的幻觉、抛弃数学产生依赖宇宙之存在原因。或者说,数学与善的分离所产生的前文所论的自足性,不仅是数学知识发展的内在径,而且要拒斥数学产生及其意义发生的本体论承诺。所以,怀特海极为赞赏弗雷格判断算术摇摇欲坠的观点,同时对罗素引进实体类型来阐释数字本质的工作充满信心。罗素虽然没有直接恢复数学与善的互成,但是他把“数限定在一种类型中来解决所有矛盾”1671的方式,是事实上对数学与善关系的知识论恢复。在此意义上讲,无论是面对空间位置的几何,还是处理对
15、象存在的数,都是基于善发生学的模式真理。数学中的基本概念,“都是从某一特定实例中抽象出来的给定种类的实例”1 6 2,与其产生的语境,或者说善发生过程有着本体论上的一致。因此,算术、几何和代数等具体数学知识,虽然其表达形态各异,但是都没有办法不参考无际的宇宙,数学本身是“一种从背景中抽象出来的实体性存在”“一种以思想的方式强调的客观形式”。1 6 7 2 多然而,数学与善的长期分离,使人们形成了关于数学知识的刻板印象,但是如果基于数学与善一致的洞见,从人类发展数学和应用数学的历史来看,就自然能够35怀特海“重提”柏拉图的形上追问超越柏拉图洞见中的含混与朴素,同时更能解决数学自身的客观性问题,从
16、而使数学真正成为人类思想存在和价值的理性范例。而且,如果数学与善真正能够互成,既能够解决拉图尔对于数学重回唯物论的呼吁,也能够从根本上改变科学在讲故事中把故事当作实在的问题。因为,数学与善的分离,以及现代科学对数学的依赖,总是使科学误置具体性,“把身体变成故事,又把故事变成身体;既产生称为实在 的东西,又产生对实在的证词”6 。由此看来,数学与善的同一,是作为一个哲学洞见被提出来的,然而在数学从哲学中分离出来成为具有重大影响的独立学科的时候,这一洞见却被数学与善分离的事实所代替。这一代替在传统逻辑中虽然推动了数学发展,但是在现代知识发展中必须被重新审视。因为,这一分离一方面使数学日益工具化,另
17、一方面使数学日益抽象概念化。然而,数学与善的本然结合和数学的发生现象学又使数学本身实现能够善的表达。因此,怀特海基于现代知识发展的背景,对数学发展表示出深深的忧虑,明确提出,“玩弄抽象概念并不能克服1 7 世纪科学思想方法中具体性误置”所引起的混乱”7 二、数学的确切性和善的理想性与实践的模糊性数学与善都是从具体事物中抽象出关于事物的“类型”,具有超出直接经验和现实实践的理想性。数学与善都具有理想性这一事实,使数学与善对于表征人的理性具有逻辑的同构性与社会实践的同一性。而且,数学与善都与现实实践在表达确切性上区别开来,又在具体实践产生的效果上结合起来。所以,数学和善“作为直接超越任何现实实践的
18、典范”范”1 6 7 3,既以善的理想性定义模糊性的实践,又以数学的确切性使经验性的实践行之有效。数学与善以概念的确切性与价值的理想性,改造了模糊的知觉,真正使柏拉图致力于通过数学来讲善的追求得以实践性落实。第一,数学和善以概念的自洽和价值的超越赋予存在以生气,使模糊的知觉变得精确与稳定,既成为实践的指引,又成为现实的追求。虽然现代知识的扩展使数学与善关系的表现形式发生了重大变化,但却在数学与美和恶的联系中重新表明出二者关系的重要性。追求数学的确切与善的理想是理性存在者所特有的。因为,唯有理性存在者才有选择性难题,他既要求具体例示,又抽象具体示例。特别是对人而言,当其以社会性智能历史地建构出例
19、示内蕴的超历史的类型的时候,其实就创造了精确的数学概念和理想的善的观念。这是人类智能所独有的特性。这显然符合西赛罗对苏格拉底的赞美,将善拉人人间进行思考是极其重要的变革。同时也证明了数学之确切与善之理想的意义。与此同时,我们可以窥见柏拉图以数学论证善的困难。因为,数学与善在现实中是直接与实践区分开来的,“善的理想和数学的确切都是关于精确性的。36.学术交流2023年第6 期精确性是实践和理论的区别。无论何时何地,也无论显性或隐性,精确性始终是理论的根本要求”1 6 7 3。73。但是,这并不意味数学和善就与经验性实践和现实性活动是两种完全不同的对象。虽然在实践中,确切的数学概念和理想的善从来都
20、不曾完全实现,也不可能真正达到,但是人们总能在模糊经验中达到数学之真与善之美。无论是成人还是孩童,都概莫能外。这也就意味数学与善只是经验实践的一体两面。这既构成了数学和善与生活的同构性关系,又意味数学概念的精确性与逻辑的自洽性内置了善的理想性。特别是现代科学解构确切与客观固定与不变之后,数学与善所表达的精确性就显然不能再诉诸绝对的实体本体,而要服从与服务于人的现实生活。其实,如果不考虑现代物理学对传统客观实体观念的解构,即使只从数学概念化的精确性的来源也可知其中必须蕴含着对生活善的理解。这也是为什么柏拉图会在菲力布篇明确体现出数学如何精确地从技艺中筛选出数学的要素,并隐喻性地指向善的真正原因。
21、因为,“知识体的科学特性依赖于通过数量原理实践理智控制的能力,此后,他继续工作,并将这一概念化应用于数学本身”3 4 0。而当怀特海在现代知识背景下再提数学与善时,显然是赞成柏拉图的观念并且将其推进,“请记住,无论是人类关于一英寸的长度,还是一秒钟的时间,作为确定无疑的基本单位,都与人的生活完全相关”1 6 7 4。74。或者说,数学的确切与善的理想都内在于生活,但却并不是实然地存在于生活之中等待被发掘出来的知识体系,而是激活真实事件的理想性与超越性。数学与善同时使人认识到抽象无限性的无效,而数学与善则又共同揭示有限的意义,指引了有限的未来达到无限本身。所以,“有限馈赠价值,这是人类活动的必要
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