基于CFEM的D-N交替算法的一类凹角区域各向异性外问题求解.pdf
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1、 第4 4卷 第4期 吉首大学学报(自然科学版)V o l.4 4 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i s h o u U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e s E d i t i o n)J u l.2 0 2 3 文章编号:1 0 0 7 2 9 8 5(2 0 2 3)0 4 0 0 3 1 0 8基于C F EM的D-N交替算法的一类凹角区域各向异性外问题求解*涂明玥(南京财经大学应用数学学院,江苏 南京 2 1 0 0 2 3)摘 要:基于曲边有限元(C F EM)的自然边界元理论,设计
2、出带C F EM的D-N交替算法,来解决无穷凹角区域上的各向异性外问题,并给出了近似解与真解之间的误差估计和收敛性.关键词:各向异性外问题;曲边有限元;D-N交替算法;误差估计中图分类号:O 2 4 1.8 2 文献标志码:AD O I:1 0.1 3 4 3 8/j.c n k i.j d z k.2 0 2 3.0 4.0 0 4在许多领域,如连续介质热力学、流体力学和磁静力学,有必要在无界域内处理一些线性或非线性的偏微分方程问题。目前,求解无界区域的数值方法主要有边界元方法、边界元与有限元耦合法、无界区域上非重叠型与重叠型区域分解算法等13.传统的有限元剖分方法往往采取的是“以曲代直”的
3、剖分处理,即对弯曲边界做直边三角形或四边形剖分处理,这种剖分对弯曲边界是近似的,因此得到的误差分析结果不够精确.针对这一问题,郑权4提出了曲边有限元(C u r v e d E d g e F i n i t e E l e m e n t,C F EM)与自然边界元的耦合法,朱双彪5将这一方法拓展到求解凹角区域上的泊松方程边值问题.考虑到区域分解算法可以解决传统耦合法中刚度矩阵不稀疏,不能直接利用有限元程序求解的问题,且算法具有实现不同子区域的高度并行运算、减少运算的计算量等优点1,笔者拟设计基于C F EM剖分的非重叠区域分解算法(D-N交替算法),并用其求解一类凹角区域各向异性外问题.1
4、 问题的描述考虑如下各向异性椭圆弧型微分方程的边值问题:a2ux2+b2uy2=0 内,un=u0(x)上,un=0 1或2上.(1)其中:n为上关于的单位外法线方向;为具有角度(0a0,=(r,)|rR,0,=(r,)|r=R,0R,=0,2=(r,)|rR,=,其中(r,)为极坐标,x=rc o s,y=rs i n.引入坐标变换x=a,y=b,将a2ux2+b2uy2=0转化为2u2+2u2=0的调和方程,从而得到各向异性的自然积分方程.圆弧边界可以转化为椭圆弧边界-,直边1,2也相应地变为-1,-2,凹角扇形外区域转化为凹角椭圆外区域-.于是,问题(1)转化为2u2+2u2=0 -内,
5、un=u0(x)-上,un=0 -1或-2上.其中:0=l n a+b b-a;-=(,)|0,0;-=(,)|=0,00,=0;-2=(,)|0,=.引入椭圆坐标(,),它与直角坐标(,)有如下关系:=f0c o s h c o s,=f0s i n h s i n,其中f0=b-aa bR.令J(,)=,则有J(,)=f20(s i n h2 c o s2+c o s h2 s i n2),于是J(0,)=R2a b(bs i n2+ac o s2).由自然边界归化理论1,-上的D i r i c h l e t边值u0(0,)与真解u之间的关系为u=Pu0,(2)其中P为P o i s
6、s o n积分算子.(2)式称为P o i s s o n积分公式.根据分离变量法,可得P o i s s o n积分公式u(0,)=2+n=1en(0-)0u0(0,)ns i nnd,以及自然积分方程un=2 2 J(u0,)+n=1n0u0(0,)s i nns i nnd.返回凹角椭圆外区域,并采用极坐标(r,),可得边界上的自然积分方程a nxux+b nyuy=a b2 2R+n=1n0u0(R,)s i nns i nn d.现设ba 0(=R2f20c o s h2-0,=R2f20s i n h2-0),则区域描述为=(-,)|-0,0,=(-,)|-=-0,0-0,=0,-
7、2=(-,)|-0,=.23吉首大学学报(自然科学版)第4 4卷其中(-,)为椭圆坐标,它与直角坐标的关系为x=f-0c o s h-c o s,y=f-0s i n h-s i n,于是n=-1 a222+b222(x,y).采用坐标变换x=a,y=b,这时椭圆弧边界可以转化为椭圆弧边界-,直边1,2也相应地变为-1,-2,凹角椭圆外区域转化为凹角椭圆外区域-.再设=R a c o s,=R bs i n,于是问题(1)转化为与其等价的凹角椭圆弧外区域上的调和问题:2u2+2u2=0 -内,un=u0(x)-上,un=0 -1或-2上.(3)其中:0=l n a+b b-a;-=(,)|0,
8、0;-=(,)|=0,00,=0;-2=(,)|0,=.再采用椭圆坐标(,),有=f0c o s h c o s,=f0s i n h s i n,其中f0=b-a a bR.同理,可得问题(3)的P o i s s o n积分公式u(,)=2+n=1en(0-)0u0(0,)s i nns i nnd,以及自然积分方程un=2 2 J(u0,)+n=1n0u0(0,)s i nns i nnd,其中J(0,)=R2a b(bs i n2+ac o s2).返回凹角椭圆外区域,并采用椭圆坐标(-,),可得边界上的自然积分方程36a nxux+b nyuy=a bc o s2+s i n2 2
9、2R+n=1n0u0(-0,)s i nns i nn d.(4)2 D-N交替算法的构造图1 带人工边界的区域F i g.1 A r e a w i t h A r t i f i c i a l B o u n d a r y回到问题(1),令是具有角度的无穷凹角的外区域.如图1所示,构造椭圆人工边界0,0包围,d i s t(0,)0,被分为2个部分,即有界区域1和无界区域2,12=,12=0.建立如下D-N交替算法:()选取任意初始值.33第4期 涂明玥:基于C F EM的D-N交替算法的一类凹角区域各向异性外问题求解()在2上求解D i r i c h l e t外问题:2u(k)2
10、2+2u(k)22=0 2内,u(k)2=(k)0上.()在-1上求解混合边值问题:2u(k)12+2u(k)12=0 1内,u(k)1n1=-u(k)2n2 0上,u=u0 上.()计算或者输入松弛因子(k),令(k+1)=ku(k)1+(1-k)(k)0上.()令k=k+1,转至步骤().由D-N交替算法可知:步骤()是在2上求解D i r i c h l e t外问题,可用边界元方法进行;步骤()是在1上求解混合边值问题,可用有限元方法进行.但注意到步骤()中只需用到步骤()的解在0上的法向导数,因此笔者可以利用(4)式给出自然积分方程un=2 2 R2a b(bs i n2+a c o
11、 s2)+n=1n0u0(-0,)s i nns i nn d,其中=R2f20c o s h2 0,=R2f20s i n h2 0.3 离散化和误差估计3.1离散化问题(4)的变分形式为:求uV(),且u|=u0,使得D1(u(k)1,v)=-(a nxu(k)2x+b nyu(k)2y)vds vV().在椭圆弧人工边界0上作N等分,将椭圆弧分成N份,对区域1采用C F EM均匀剖分,使得人工边界0上的节点与0上的等分点重合.若对-1进行直边三角形剖分,则边界化为多边形边界,边界误差增大.因此,本研究将两顶点落在上的直边三角形替换成曲边三角形T-,这样就得到曲边三角形剖分-.取T-,用P
12、i=(xi,yi)(i=1,2,3)表示T-的顶点坐标,其中P1P3为曲边.通过在-1上采用曲边元素代替常用的直边图形进行有限元剖分的方法,能够很好地处理求解区域的弯曲边界,进一步减小误差.第1步,将与T-对应的直边三角形T用面积坐标表示,作如下线性变换:x=3i=1xii,y=3i=1yii.其中:1=1-;2=;3=.第2步,为了使得T对应的曲边三角形也能与参考单元一一映射,在T的线性变换的基础上,作如下非线性变换5:x=x0(,)+(1-)(),y=y0(,)+(1-)().其中:43吉首大学学报(自然科学版)第4 4卷()=11-(s1+s-3)-x1-x-3);()=11-(s1+s
13、-3)-y1-y-3);x=(s);y=(s).这里:s-3=s3-s1;x-3=x3-x1;y-3=y3-y1;(0)=(0)=0.通过一一映射得到曲边三角形剖分-,进而得到-1上的协调有限元空间Sh(-1).记(-1)=vh|vhSh(-1),从而得到带截断数N的D-N交替算法的离散化格式7:()选取初始值(0)N h(-1)(一般初始值取0).()在-2上求解离散问题:2u(k)2N h2+2u(k)2N h2=0 2内,u(k)2N h=(k)N h 0上.(5)()在-1上求解混合边值问题:D(u(k)1N h,vh)=-(a nxu(k)2N hx+b nyu(k)2N hy)vh
14、ds.(6)()计算或者输入松弛因子k,令(k+1)N h=ku(k)1N h+(1-k)(k)N h 0上.(7)()令k=k+1,转至步骤().同理,可得与(5)(7)式等价的离散迭代格式:()选取初始值(0)N h(-1).()求解如下变分问题:求u(k)N hv1h,使得D1(u(k)1N h,vh)+D2(k)N h,vh|)=-(a nxu(k)2N hx+b nyu(k)2N hy)vhds vhv1h.(8)()计算或者输入松弛因子k,令(k+1)N h=ku(k)1N h+(1-k)(k)N h.将(8)式表示成如下线性方程组形式:K1 1K1iOKi0Ki iKi0OK0i
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