关于N型映射的周期点计数和Devaney混沌性.pdf
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1、收稿日期:2022-04-13基金项目:国家自然科学基金项目(11771265);广东省基础与应用基础研究基金项目(2020B1515310018,2023A1515030199)作者简介:叶瑞松(1968),男,教授,博士,硕士生导师,主要从事分歧理论及其数值计算、分形混沌、信息安全研究.第 38 卷第 2 期徐 州 工 程 学 院 学 报(自 然 科 学 版)2023 年6 月Vol.38 No.2Journal of Xuzhou Institute of Technology(Natural Sciences Edition)Jun.2023关于 N 型映射的周期点计数和 Devane
2、y 混沌性叶瑞松,任甜甜,高曼钰(汕头大学 理学院,广东 汕头 515063)摘要:探讨了 N 型映射的周期点的计数问题,提供了周期点的具体计算公式;进一步从实数的三进制表示的角度,阐释了 N 型映射的 Devaney 混沌性.关键词:N 型映射;周期点;Devaney 混沌性中图分类号:O415.5 文献标志码:A 文章编号:1674-358X(2023)02-0001-07动力系统是一门历史悠久的学科,也是当今热门的研究领域,在混沌理论研究中发挥了极其重要的作用.混沌是用来刻画动力系统复杂性的一个重要概念,动力系统是混沌的载体.混沌的动力系统具有拓扑转迁性,具有任意周期的稠密周期点集,以及
3、对初值的敏感性等复杂动力学行为1-2.混沌的概念首先由 Li 等在文献3中提出,即所谓 Li-Yorke 混沌3.后来,Devaney 对 Li-Yorke 混沌进行改造,提出了一种被广泛采用的混沌定义,即 Devaney 混沌4.经典三角帐篷映射、Bernoulli 移位映射和 Logistic 映射的混沌性及其周期点的计数问题,已有很成熟的研究,结论是早已公认的事实5-10.石勇国11给出了 N 型映射到帐篷映射的半共轭精确表达式,证明了所构造的半共轭同胚映射是无处可微的连续函数,这类半共轭函数具有分形曲线的特性12.如果映射 f 半共轭于映射 g,则映射 f 的动力学性质至少像映射 g
4、一样复杂,所以文献11的结果也间接解释了 N 型映射具有 Devaney 混沌性.关于 N 型映射的 Devaney 混沌性的直接证明,本文将从实数的三进制表示角度来进行刻画,通过构造 N 型映射的周期点和周期轨数的具体计算模式,为该类映射的周期点计算提供一些启示,并且通过具体构造稠密的轨道,证明了 N 型映射的Devaney 的混沌性.1 预备知识关于动力系统,有一些基本的概念和定义,本节将作简略的介绍.下文中,所有 f 的周期点组成的集合记为 Per(f),f 的不同 k-周期轨数记为 P(k),一个数字 b0,1,2的取补运算记为 b-,b-=2-b,几个数字组成的无限循环小数 0.b1
5、b2bkb1b2bk表示为 0.b1b2bk,m 可以整除 k 记为 m|k.定义 1 设(X,)为度量空间,f:XX 是从 X 到自身的映射.对任意 x0X,在 f 的迭代作用下,生成xk+1=f(xk)=fk(x0),k=0,1,称为 x0的前向轨道,记为 O+f(x0)=xk=fk(x0),k=0,1,.xk+1=f(xk),k=0,1,确定了一个离散动力系统.定义 2 周期点和最终周期点.1)如果对于某个 x0X,存在某个正整数 n,满足 x0=fn(x0),并且对于所有小于 n 的正整数 0k0,使得对任意 xX 及 x 的-领域 B(x,),总存在 yB(x,),n0,使得(fn(
6、x),fn(y).3)f 的周期点集合在 X 上稠密.N 型映射如(1)所定义,其图形如图 1(a)所示,是一个三线段连起来的分段连续函数11.图 1(b)为 N型映射 T(x)自身迭代 2 次的函数 T2(x)的图像.T(x)=3x,x0,1/3),-3x+2,x1/3,2/3),3x-2,x2/3,1.(1)图 1 N 型映射 T(x)及迭代复合 2 次 T2(x)的图形2 周期点的计算本节深入讨论如何计算 N 型映射的周期点.由于 N 型映射的 3 个线段斜率为 3 和-3,将一个实数乘以3,在三进制表示中,实际上就是简单的移位操作运算,因此一个数乘以 3 的运算可以得到直观的解释.现将
7、位于0,1中的数 x 写成三进制的形式:x=b1 3-1+b2 3-2+b3 3-3+=(0.b1b2b2)3,bi0,1,2,i=1,2,.为了方便起见,在不引起混淆的情况下,将三进制表示 x=(0.b1b2b2)3,简写为 x=0.b1b2b2.1)当 x0,1/3)时,b1=0,则T(x)=3x=3 (b1 3-1+b2 3-2+b3 3-3+)=b1.b2b3=0.b2b3.2)当 x 1/3,2/3)时,b1=1,b1=1,T(x)=-3x+2=3 (1-x)-1=3 (0.222-0.b1b2b2)-1=3 0.b1b2b3-1=b1.b2b3-1=0.b2b3.3)当 x2/3,
8、1时,b1=2,T(x)=3x-2=3 (b1 3-1+b2 3-2+b3 3-3+)-2=0.b2b3.从上面的分类计算可以看出,所有运算对象看成三进制时,当 x0,1/3)和 x2/3,1时,T(x)的运算是一个移位运算,当 x1/3,2/3)时,T(x)的运算是移位和取补运算的复合.显然,如果点 x0为动力系统f 的一个 n-周期点,则在三进制表示下,x0应该是一段数字的无限循环,类似于十进制的循环小数的形式.在这种循环模式下,n-周期点的形式和个数将变得容易得到.下面来探讨周期点的计算问题.在 x0的三进制表示中,当小数点后第一位的位值 b1=0,2 时,迭代函数值 T(x0)可以将
9、b1移掉即可,而当 b1=1 时,迭代函数值 T(x0)将 b1移掉以后需要将后续的位值全部取补.由于取补运算是一个开关运算,偶数次取补操作等于不操作,相当于不用取补运算,奇数次取补操作相当于操作一次取补运算,所以希望不用根据迭代过程中得到 xk=Tk(x0)来判断下一次迭代函数的值 xk+1=T(xk)是否需要取补操作,而是根据初始的 x0的表示就可以直接判断,这样就可以确定 x0是否具有循环模式了.显然,x0的三进制表示中的 bk前2徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期面的位值段 b1b2bk-1中有偶数个 1 时,这时若 bk=1 时,需要 bk+1bk+2中的位值全部取
10、补,否则,则可以不用取补,节约了取补的运算.将迭代的过程改写为公式(2):xk=Tk(x0)=Tk(0.b1b2b3)=0.bk+1bk+2,当 bk=0,2 且 b1b2bk-1中有偶数个 1,0.b-k+1b-k+2,当 bk=0,2 且 b1b2bk-1中有奇数个 1,0.b-k+1b-k+2,当 bk=1 且 b1b2bk-1中有偶数个 1,0.bk+1bk+2,当 bk=1 且 b1b2bk-1中有奇数个=0.bk+1bk+2,当 b1b2bk中有偶数个 1,0.b-k+1b-k+2,当 b1b2bk中有奇数个 1.(2)公式(2)说明,当 b1b2bk有偶数个1 时,可以移掉前面的
11、 b1b2bk,便得到 xk=Tk(x0);当 b1b2bk有奇数个 1 时,可以移掉前面的 b1b2bk,再对后面的位值取补,便得到 xk=Tk(x0).根据这个规则,可以确定周期点的形式.1)若一个点 x 满足 x=0.b1b2bk,且 b1b2bk中有偶数个 1,则 Tk(x)=x.所以 x 是一个周期点,其周期整除 k,即是 k 的因数.举个例子,比如 k=3,则下面这些点均是周期点,周期整除 3,即为 1 或 3:0.0,0.2,0.011,0.110,0.121,其中 0.0=0,0.2=1 是 1-周期点,即不动点,而 0.011=213,0.110=613,0.121=813是
12、 3-周期点,这 3 个点构成一个 3-周期轨.可以进一步确定所有这样的周期点,其周期整除 k:x=0.b1b2bkb1b2bk,3kx=b1b2bk+0.b1b2bk=b1b2bk+x,假设 p=b1b2bk,则 x=p3k-1.任何一个满足偶数个 1 的 b1b2bk,均可以给出一个周期点 x,其周期为 k 的因子.2)若一个点 x 的形式为 x=0.b1b2bk满足 b1b2bk中有奇数个 1,则由迭代规则,知道 Tk(x)x,所以这种点 x 的周期不可能为 k 的因子.为了找出这种类型的周期点,将 x 的形式确定为以 b1b2bkb1b2bk无穷循环的模式:x=0.b1b2bkb1b2
13、bkb1b2bkb1b2bk,比如下面这些点:0.1=12,0.001221=114,0.012210=314,0.122100=914,其中12是 1-周期点,即不动点,而114,314,914是 3-周期点,这 3 个点构成一个 3-周期轨.进一步确定所有这种类型的周期点,其周期整除 k:x=0.b1b2bkb-1b-2b-kb1b2bkb-1b-2b-k,3kx=b1b2bk+0.b-1b-2b-kb1b2bkb-1b-2b-k=b1b2bk+1-x,假设 p=b1b2bk,则 x=p+13k+1.任何一个满足奇数个 1 的 b1b2bk,均可以给出一个周期点 x,其周期为 k 的因数.
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