关于N型映射的周期点计数和Devaney混沌性.pdf

收稿日期:2022-04-13基金项目:国家自然科学基金项目(11771265);广东省基础与应用基础研究基金项目(2020B1515310018,2023A1515030199)作者简介:叶瑞松(1968),男,教授,博士,硕士生导师,主要从事分歧理论及其数值计算、分形混沌、信息安全研究.第 38 卷第 2 期徐 州 工 程 学 院 学 报(自 然 科 学 版)2023 年6 月Vol.38 No.2Journal of Xuzhou Institute of Technology(Natural Sciences Edition)Jun.2023关于 N 型映射的周期点计数和 Devaney 混沌性叶瑞松,任甜甜,高曼钰(汕头大学 理学院,广东 汕头 515063)摘要:探讨了 N 型映射的周期点的计数问题,提供了周期点的具体计算公式;进一步从实数的三进制表示的角度,阐释了 N 型映射的 Devaney 混沌性.关键词:N 型映射;周期点;Devaney 混沌性中图分类号:O415.5 文献标志码:A 文章编号:1674-358X(2023)02-0001-07动力系统是一门历史悠久的学科,也是当今热门的研究领域,在混沌理论研究中发挥了极其重要的作用.混沌是用来刻画动力系统复杂性的一个重要概念,动力系统是混沌的载体.混沌的动力系统具有拓扑转迁性,具有任意周期的稠密周期点集,以及对初值的敏感性等复杂动力学行为1-2.混沌的概念首先由 Li 等在文献3中提出,即所谓 Li-Yorke 混沌3.后来,Devaney 对 Li-Yorke 混沌进行改造,提出了一种被广泛采用的混沌定义,即 Devaney 混沌4.经典三角帐篷映射、Bernoulli 移位映射和 Logistic 映射的混沌性及其周期点的计数问题,已有很成熟的研究,结论是早已公认的事实5-10.石勇国11给出了 N 型映射到帐篷映射的半共轭精确表达式,证明了所构造的半共轭同胚映射是无处可微的连续函数,这类半共轭函数具有分形曲线的特性12.如果映射 f 半共轭于映射 g,则映射 f 的动力学性质至少像映射 g 一样复杂,所以文献11的结果也间接解释了 N 型映射具有 Devaney 混沌性.关于 N 型映射的 Devaney 混沌性的直接证明,本文将从实数的三进制表示角度来进行刻画,通过构造 N 型映射的周期点和周期轨数的具体计算模式,为该类映射的周期点计算提供一些启示,并且通过具体构造稠密的轨道,证明了 N 型映射的Devaney 的混沌性.1 预备知识关于动力系统,有一些基本的概念和定义,本节将作简略的介绍.下文中,所有 f 的周期点组成的集合记为 Per(f),f 的不同 k-周期轨数记为 P(k),一个数字 b0,1,2的取补运算记为 b-,b-=2-b,几个数字组成的无限循环小数 0.b1b2bkb1b2bk表示为 0.b1b2bk,m 可以整除 k 记为 m|k.定义 1 设(X,)为度量空间,f:XX 是从 X 到自身的映射.对任意 x0X,在 f 的迭代作用下,生成xk+1=f(xk)=fk(x0),k=0,1,称为 x0的前向轨道,记为 O+f(x0)=xk=fk(x0),k=0,1,.xk+1=f(xk),k=0,1,确定了一个离散动力系统.定义 2 周期点和最终周期点.1)如果对于某个 x0X,存在某个正整数 n,满足 x0=fn(x0),并且对于所有小于 n 的正整数 0k0,使得对任意 xX 及 x 的-领域 B(x,),总存在 yB(x,),n0,使得(fn(x),fn(y).3)f 的周期点集合在 X 上稠密.N 型映射如(1)所定义,其图形如图 1(a)所示,是一个三线段连起来的分段连续函数11.图 1(b)为 N型映射 T(x)自身迭代 2 次的函数 T2(x)的图像.T(x)=3x,x0,1/3),-3x+2,x1/3,2/3),3x-2,x2/3,1.(1)图 1 N 型映射 T(x)及迭代复合 2 次 T2(x)的图形2 周期点的计算本节深入讨论如何计算 N 型映射的周期点.由于 N 型映射的 3 个线段斜率为 3 和-3,将一个实数乘以3,在三进制表示中,实际上就是简单的移位操作运算,因此一个数乘以 3 的运算可以得到直观的解释.现将位于0,1中的数 x 写成三进制的形式:x=b1 3-1+b2 3-2+b3 3-3+=(0.b1b2b2)3,bi0,1,2,i=1,2,.为了方便起见,在不引起混淆的情况下,将三进制表示 x=(0.b1b2b2)3,简写为 x=0.b1b2b2.1)当 x0,1/3)时,b1=0,则T(x)=3x=3 (b1 3-1+b2 3-2+b3 3-3+)=b1.b2b3=0.b2b3.2)当 x 1/3,2/3)时,b1=1,b1=1,T(x)=-3x+2=3 (1-x)-1=3 (0.222-0.b1b2b2)-1=3 0.b1b2b3-1=b1.b2b3-1=0.b2b3.3)当 x2/3,1时,b1=2,T(x)=3x-2=3 (b1 3-1+b2 3-2+b3 3-3+)-2=0.b2b3.从上面的分类计算可以看出,所有运算对象看成三进制时,当 x0,1/3)和 x2/3,1时,T(x)的运算是一个移位运算,当 x1/3,2/3)时,T(x)的运算是移位和取补运算的复合.显然,如果点 x0为动力系统f 的一个 n-周期点,则在三进制表示下,x0应该是一段数字的无限循环,类似于十进制的循环小数的形式.在这种循环模式下,n-周期点的形式和个数将变得容易得到.下面来探讨周期点的计算问题.在 x0的三进制表示中,当小数点后第一位的位值 b1=0,2 时,迭代函数值 T(x0)可以将 b1移掉即可,而当 b1=1 时,迭代函数值 T(x0)将 b1移掉以后需要将后续的位值全部取补.由于取补运算是一个开关运算,偶数次取补操作等于不操作,相当于不用取补运算,奇数次取补操作相当于操作一次取补运算,所以希望不用根据迭代过程中得到 xk=Tk(x0)来判断下一次迭代函数的值 xk+1=T(xk)是否需要取补操作,而是根据初始的 x0的表示就可以直接判断,这样就可以确定 x0是否具有循环模式了.显然,x0的三进制表示中的 bk前2徐州工程学院学报(自然科学版)2023 年第 2 期面的位值段 b1b2bk-1中有偶数个 1 时,这时若 bk=1 时,需要 bk+1bk+2中的位值全部取补,否则,则可以不用取补,节约了取补的运算.将迭代的过程改写为公式(2):xk=Tk(x0)=Tk(0.b1b2b3)=0.bk+1bk+2,当 bk=0,2 且 b1b2bk-1中有偶数个 1,0.b-k+1b-k+2,当 bk=0,2 且 b1b2bk-1中有奇数个 1,0.b-k+1b-k+2,当 bk=1 且 b1b2bk-1中有偶数个 1,0.bk+1bk+2,当 bk=1 且 b1b2bk-1中有奇数个=0.bk+1bk+2,当 b1b2bk中有偶数个 1,0.b-k+1b-k+2,当 b1b2bk中有奇数个 1.(2)公式(2)说明,当 b1b2bk有偶数个1 时,可以移掉前面的 b1b2bk,便得到 xk=Tk(x0);当 b1b2bk有奇数个 1 时,可以移掉前面的 b1b2bk,再对后面的位值取补,便得到 xk=Tk(x0).根据这个规则,可以确定周期点的形式.1)若一个点 x 满足 x=0.b1b2bk,且 b1b2bk中有偶数个 1,则 Tk(x)=x.所以 x 是一个周期点,其周期整除 k,即是 k 的因数.举个例子,比如 k=3,则下面这些点均是周期点,周期整除 3,即为 1 或 3:0.0,0.2,0.011,0.110,0.121,其中 0.0=0,0.2=1 是 1-周期点,即不动点,而 0.011=213,0.110=613,0.121=813是 3-周期点,这 3 个点构成一个 3-周期轨.可以进一步确定所有这样的周期点,其周期整除 k:x=0.b1b2bkb1b2bk,3kx=b1b2bk+0.b1b2bk=b1b2bk+x,假设 p=b1b2bk,则 x=p3k-1.任何一个满足偶数个 1 的 b1b2bk,均可以给出一个周期点 x,其周期为 k 的因子.2)若一个点 x 的形式为 x=0.b1b2bk满足 b1b2bk中有奇数个 1,则由迭代规则,知道 Tk(x)x,所以这种点 x 的周期不可能为 k 的因子.为了找出这种类型的周期点,将 x 的形式确定为以 b1b2bkb1b2bk无穷循环的模式:x=0.b1b2bkb1b2bkb1b2bkb1b2bk,比如下面这些点:0.1=12,0.001221=114,0.012210=314,0.122100=914,其中12是 1-周期点,即不动点,而114,314,914是 3-周期点,这 3 个点构成一个 3-周期轨.进一步确定所有这种类型的周期点,其周期整除 k:x=0.b1b2bkb-1b-2b-kb1b2bkb-1b-2b-k,3kx=b1b2bk+0.b-1b-2b-kb1b2bkb-1b-2b-k=b1b2bk+1-x,假设 p=b1b2bk,则 x=p+13k+1.任何一个满足奇数个 1 的 b1b2bk,均可以给出一个周期点 x,其周期为 k 的因数.综合上述分析可知,满足 Tk(x)=x 的 x 有 3k个,对应的周期点是循环小数,是有理数.反之,不一定成3叶瑞松,等:关于 N 型映射的周期点计数和 Devaney 混沌性立,即有理数不一定是周期点.但是可以证明,有理数是周期点或最终周期点.实际上,在十进制中,有理数的小数部分最终可以表示为以一段数字循环节无限循环的形式,在三进制中,也是如此,因此有理数在 N 型映射迭代作用下,不断将小数点后的位值移掉,作用一定次数后,将使得非循环部分移掉,最终得到以数字段循环节无限循环的小数,即是最终周期点.根据上面计算周期整除 k 的周期点的计算公式p3k-1和p+13k+1,将周期3 的周期点及周期轨罗列为不动点:0,1/2,1;2-周期点及周期轨:1/4,3/4,1/5,3/5,2/5,4/5;3-周期点及周期轨:1/13,3/13,9/13,4/13,12/13,10/13,5/13,11/13,7/13,2/13,6/13,8/13,1/14,3/14,9/14,2/14,6/14,10/14,5/14,13/14,11/14,4/14,12/14,8/14.每个大括弧中的点组成一个周期轨,不动点个数为 3,2-周期点和不动点个数之和为 9,3-周期点和不动点个数之和为 27,符合上面的理论分析.可以进一步分析一般的 k-周期点的个数 kP(k),同时也就可以计算出不同的 k-周期轨的个数 P(k).由于满足 Tk(x)=x 的 x 有3k个,其中包含所有整除 k 的真因数 m 为周期的m-周期点,得到kP(k)=3k-m|k1m kmP(m).(3)应用公式(3),便可以递归地计算出所有周期的周期点个数以及周期轨数.例如,当 k=6 时,其真因子为1,2,3.由(3)得到 6-周期点 696 个,不同的 6-周期轨数为 116:6 P(6)=36-(1 P(1)+2 P(1)+3 P(3)=729-(3+6+24)=696,P(6)=116.当 k 从 1 变化到 10,计算 k-周期点个数和周期轨个数如表 1 所示.表 1 周期点个数和周期轨数周期点个数/轨数k123456789103k3927812437292 1876 56119 68359 049kP(k)3624722406962 1846 48019 65658 800P(k)33818801163128102 1845 880对于一般的 k 值,可以对其进行质数幂分解,假设 k=pr11pr22prtt,其中 p1,pt为互不相同的质数,r1,rt1,引进记号ki=k/pi,i=1,t;kij=k/(pipj),1 i j t,kijl=k/(pipjpl),1 i j l t,k12t=k/(p1p2pt),由文献13的定理,得到 k-周期点个数和周期轨数的显式表达式,即kP(k)=3k-i3ki+i j3kij-i j 0,选取 n 使得13n.假设 x 的三进制表示为0.b1b2bn,若 Tk(x0)的三进制表示中前 n 位也是 b1b2bn,则|Tk(x0)-x|i=n+123i=13n,即 x0的第 k 次迭代 Tk(x0)落入 x 的 领域.构造 x0的方法如下:用 An表示由 0,1,2 构成的长度为 n 的数字段的集合,则|An|=3n,不妨记为 An=rn1,rn2,rn3n,规定 rn1,rn2,rn3n按照字典排序列出,即小数在前,大数在后.将所有 An的数列出,不同长度的按照长度短的数字段放前面,长度长的数字段放后,这样得到 A=i=1Ai.将 A 具体写出为012长度1 00 01 02 10 11 12 20 21 22长度2 000 001 002 010 011 012 020 021 022 222长度3,(5)考虑到 N 型映射迭代作用时,不仅仅是简单的移位操作,而且还会碰到取补操作,所以在连接过程中,需要对 A 的某些数字段做取补操作,这样可以确保迭代过程中,这些数字段取补操作后,就返回 A 中原来的数字段.对于上述任意给定的 x=0.b1b2bn,由于 b1b2bn这长度为 n 的数字串在 A 中一定出现,不妨假设其前面所有数字组成的有限数字串 W 的数字个数为 k,为了确保迭代值 Tk(x0)的前 n 位与 b1b2bn相同,只需统计 W 中 1 的个数 r,若 r 为奇数,则可令 x0中小数点之后第 k+1 位到第 k+n 位的数字串为 b-1b-2b-n;若 r为偶数,则可令 x0中小数点之后第 k+1 位到第 k+n 位的数字串为 b1b2bn,根据迭代公式(2),可知 Tk(x0)的小数点之后前 n 位为 b1b2bn,从而|Tk(x0)-x|13n0,选取 n 使得13n.假设任意 xX 的三进制表示为 0.b1b2bn,则显然存在 n-周期点 q=0.b1b2bn或者 q=0.b1b2bnb-1b-2b-n,前者是 b1b2bn中有偶数个 1,后者 b1b2bn中有奇数个 1.则|q-x|i=n+123i=13n0,假设23n,则对任意的 x,x=0.s1s2sn,令5叶瑞松,等:关于 N 型映射的周期点计数和 Devaney 混沌性y=0.s1s2sn00,当 s1s2sn有偶数个 1,sn+1 0,0.s1s2sn20,当 s1s2sn有偶数个 1,sn+1=0,0.s1s2sn22,当 s1s2sn有奇数个 1,sn+1 2,0.s1s2sn02,当 s1s2sn有奇数个 1,sn+1=2,则当 s1s2sn有偶数个 1,sn+10 时,|x-y|=|i=n+1si3i|13n,|Tn(x)-Tn(y)|=|i=1sn+i3i|sn+1313.当 s1s2sn有偶数个 1,sn+1=0 时,|x-y|=|13n+1+i=n+22-si3i|23n+1,|Tn(x)-Tn(y)|=|13+i=22-sn+i3i|13.当 s1s2sn有奇数个 1,sn+12 时,|x-y|=|i=n+12-si3i|13n,|Tn(x)-Tn(y)|=|i=1s-n+i3i|s-n+1313.当 s1s2sn有奇数个 1,sn+1=2 时,|x-y|=|13n+1+i=n+2si3i|23n+10 和任意的 x,在 x 的 领域中存在 y,即|x-y|,使得|Tn(x)-Tn(y)|13,所以该映射具有对初值的敏感依赖性,证明完毕.4 结语针对 N 型映射的周期点的求解和计数,给出了具体的计算公式,同时也给出其 Devaney 混沌性的一个直接证明.计算和证明采用实数的三进制表示进行刻画,直观地构造了 N 型映射的周期点和周期轨数的具体计算模式,为该类映射的周期点计算提供一些启示,并且通过具体构造稠密的轨道,证明了 N 型映射的Devaney 的混沌性.参考文献:1 GLEICK J.Chaos:Making a new scienceM.New York:Penguin Books,1987.2 STEWART I.Does god play dice?The mathematics of chaosM.London:Blackwell Publishing,1989.3 LI T Y,YORKE J A.Period three implies chaosJ.American 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University,Shantou 515063,China)Abstract:The counting of periodic points of N-type map is discussed and the specific calculation formula of periodic points is presented.Furthermore,the Devaney chaos of N-type map is demonstrated from the perspective of ternary representation of real numbers.Key words:N-type map;periodic point;Devaneys chaos7叶瑞松,等:关于 N 型映射的周期点计数和 Devaney 混沌性