随机不动点地震反演方法.pdf
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1、地震反演可以通过地表观测数据来推测地下介质模型参数,因此地震反演技术自提出至今都是储层预测最常用的手段之一不动点地震反演方法()通过将求解目标泛函转换为寻找目标泛函不动点来获得准确与高分辨率的反演结果由于 对地震信号的振幅变化具有较高的敏感性,因此即使地震剖面存在部分弱反射区域,利用 仍然可以获得较为准确的反演结果然而 存在抗噪能力不足以及多解性强等问题为提高 的抗噪能力及实用性,本研究将随机反演框架引入至不动点反演理论,提出随机不动点地震反演方法()此外,利用纵波阻抗的初始模型计算得到初始反射系数,并将初始反射系数与初始模型约束引入反演框架及目标泛函,有效提高了反演方法的鲁棒性及计算效率具体
2、地,首先对以待反演参数初始模型为均值的高斯分布进行随机抽样并利用不动点理论判定抽样结果是否被接受在此基础上对反演参数初始模型进行更新,并利用更新后的反演结果进行下一轮抽样与判定,直至残差小于阈值或迭代次数大于设定值因此,通过反复执行“随机过程”与“不动点修正”来使得初始模型逐渐逼近真实解,并最终收敛于目标泛函的不动点由于本方法具有一定的随机性,因此需要进行多次反演并以多次反演结果的均值作为最终反演结果最后,模型以及实际资料测试结果表明本方法有效的提高了 抗噪能力,且本方法的反演结果较 的反演结果具有更高的地层分辨率,并保持了良好的横向连续性关键词不动点;随机;地震反演;计算效率;抗噪性;分辨率
3、 :中图分类号 收稿日期 ,收修定稿基金项目国家自然科学基金(,)和中国博士后科学基金()联合资助第一作者简介裴松,男,年生,博士研究生,研究方向为油气地球物理理论与方法 :通讯作者印兴耀,男,年生,教授,博士生导师,研究方向为油气地球物理理论与方法 :犛 狋 狅 犮 犺 犪 狊 狋 犻 犮 犳 犻 狓 犲 犱 狆 狅 犻 狀 狋 狊 犲 犻 狊 犿 犻 犮 犻 狀 狏 犲 狉 狊 犻 狅 狀 ,犆 犺 犻 狀 犪犝 狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔狅 犳犘 犲 狋 狉 狅 犾 犲 狌 犿犛 犮 犺 狅 狅 犾 狅 犳犌 犲 狅 狊 犮 犻 犲 狀 犮 犲 狊,犙 犻 狀 犵 犱 犪 狅 ,
4、犆 犺 犻 狀 犪犔 犪 犫 狅 狉 犪 狋 狅 狉 狔犳 狅 狉犕 犪 狉 犻 狀 犲犕 犻 狀 犲 狉 犪 犾犚 犲 狊 狅 狌 狉 犮 犲 狊,犙 犻 狀 犵 犱 犪 狅犖 犪 狋 犻 狅 狀 犪 犾犔 犪 犫 狅 狉 犪 狋 狅 狉 狔犳 狅 狉犕 犪 狉 犻 狀 犲犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲犪 狀 犱犜 犲 犮 犺 狀 狅 犾 狅 犵 狔,犙 犻 狀 犵 犱 犪 狅 ,犆 犺 犻 狀 犪犛 犺 犪 狀 犱 狅 狀 犵犘 狉 狅 狏 犻 狀 犮 犻 犪 犾犓 犲 狔犔 犪 犫 狅 狉 犪 狋 狅 狉 狔狅 犳犇 犲 犲 狆犗 犻 犾犪 狀 犱犌 犪 狊,犙 犻 狀 犵 犱 犪 狅 ,犆
5、 犺 犻 狀 犪犚 犲 狊 犲 犪 狉 犮 犺 犐 狀 狊 狋 犻 狋 狌 狋 犲狅 犳犈 狓 狆 犾 狅 狉 犪 狋 犻 狅 狀犪 狀 犱犇 犲 狏 犲 犾 狅 狆 犿 犲 狀 狋,犛 狅 狌 狋 犺 狑 犲 狊 狋 犗 犻 犾 犪 狀 犱犌 犪 狊犉 犻 犲 犾 犱犆 狅 犿 狆 犪 狀 狔,犘 犲 狋 狉 狅 犆 犺 犻 狀 犪,犆 犺 犲 狀 犵 犱 狌 ,犆 犺 犻 狀 犪犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋 ,()地 球 物 理 学 报()卷 ,(),“”“”,犓 犲 狔 狑 狅 狉 犱 狊 ;引言地震反演作为储层地球物理的核心内容,可以有 效 预 测 与 地 震 响 应 相 符 合 的
6、 地 下 模 型 参 数(,;韩宏伟等,)地球物理学家利用预测所得的地下参数即可对地下储层进行刻画(,付欣等,;赵容容等,;陈国飞等,)随着我国油气勘探的不断深入与发展,勘探目标已逐渐由常规储层向隐蔽储层、薄互层储层等复杂油气藏转变(印兴耀等,;田新等,),而勘探目标的转换也同时对反演方法的精度提出了更高的要求叠后地震反演作为储层预测最常用的手段之一(马良涛等,),其优势在于叠后地震反演通常以阻抗为反演目标,而阻抗相较于其他 数 据 具 有 更 高 的 分 辨 率(,)因此,在阻抗反演结果中,地球物理学家们可以发现更加丰富的地下介质信息(,)然而,地震反演方法的不适定性以及多解性无疑都给复杂储
7、层的精确刻画带来了巨大的挑战地震反演方法的多解性与不适定性是固有的、不可避免的(,)因此如何缓解这些问题成为了近年来业界研究的热点为了缓解反演多解性以获取稳定的反演结果,地球物理学者将目光聚焦于 两 个 方 面:()对 于反 演 误差 的 度 量(,;,;,)以及()在反演框架或目标泛函中添加先验信息与正则化项(崔岩,王彦飞,)然而对于地球物理反演,向目标泛函中添加正则化项虽然可以缓解反演不适定问题,但反演结果的优劣极其依赖于正则化参数的选择(代荣获等,)此外,将初始模型约束引入至反演目标泛函可以有效缓解反演多解性、提高反演方法的抗噪能力以及反演结果的横向连续性(李坤等,)为提高反演分辨率、获
8、得更为精确的反演结果,各种反演方法层出不穷而该方法主要分为两大类:第一类为挖掘地震信号中的属性,并将其加入反演目标泛函来获取更高分辨率的反演结果;第二类则是利用各种新的反演算法来获取更加精确的反演结果对于第一类方法,频率域地震反演通过分别求取地震信号与子波的频谱用以构建频率域约束项并将其加入目标泛函,该方法可以实现多频率解耦,从而获得更加精确的反演结果(,;,;,)此外,将地震信号与子波根据频带范围分解为多尺度信期裴松等:随机不动点地震反演方法号,利用多尺度信号及多尺度子波可以进行符合层序地层学的精确反演(印兴耀等,)对于第二类方法,不同算法的优势各不相同,如匹配追踪与基追踪算法 可以 获 得
9、 反 射 系 数 稀 疏 解(,)、基于贝叶斯理论的随机反演方法可以有效衡量反 演的 不确定性(,;,)、而多道反演可以通过添加横向约束获得具有更高横向连续性的反演结果(,;,;,)通过将求解反演目标泛函转换为寻找目标泛函不动点来获得反演结果 对地震振幅微弱变化较为敏感,即使在地震剖面的弱反射区域仍然可以获得较为稳定的反演结果(,)然而,由于 对振幅变化的高敏感性,因此 的抗噪能力略显不足,且多解性问题依然存在为了缓解以上问题,本文提出随机不动点地震反演方法 将随机反演框架引入不动点反演理论,首先对以待反演参数初始模型为均值的高斯分布进行随机抽样,并利用不动点理论对抽样结果进行接受或拒绝的判识
10、利用判识结果对待反演参数进行更新,并利用更新结果进行下一次抽样与判定,直至误差小于阈值或迭代次数达到设定值时迭代停止此外,由于本方法具有一定的随机性,为了缓解随机性并进一步降低多解性的影响,本方法采取了进行多次反演并利用多次反演结果的均值来表示最终的反演结果的反演策略最后,模型及实际资料测试结果表明本方法有效提高了 的抗噪能力此外,本方法反演结果的精度与分辨率均高于 ,且保持了良好的横向连续性不动点反演理论不动点在数学领域中是指“被函数映射到其自身的一个点”(,;,)具体地:设(犡,犱)为距离空间,映射犜:犡犡,若存在,)使得犱(犜(狓),犜(狔)犱(狓,狔),那么可以通过 构 造 迭 代 方
11、 程犳(狓犻)狓犻(,;,)来得到方程不动点,此时的犳(狓)称为压缩映射不动点狓犻可以表示为:犳(狓犻)狓犻,()此时不动点迭代方程为:狓犖犳(狓犖)()对于地震反演,经典的正演模型可以表示为:犇犌犿,()其中犇,犌与犿分别表示地震观测数据,地震子波矩阵(本研究采用 雷克子波)以及反射系数向量若犻与犞犘 犻表示地下第犻层的密度与纵波速度,则第犻层的纵波阻抗可以表示为犐 犘犻犻犞犘 犻在此基础上,相应的反射系数犿犻便可以利用公式犿犻(犐 犘犻 犐 犘犻)(犐 犘犻 犐 犘犻)计算得到若要得到不动点地震反演方程,需遵从公式()以及公式()的两个步骤目标函数不动点可以表示为:犿(犐犠)犿 犱狓犳(狓
12、),()其中犐为一单位阵,犠 犌犙,犙为一阻尼阵,为一小量,本文 为定值此处需要给出犳(犿)(犐犠)犿 犱为一压缩映射的条件,也即满足犱(犳(犿),犳(犿)犱(犿,犿)本文采取二范数进行推导:犱(犳(犿),犳(犿)犱(犐犠)犿 犱,(犐犠)犿 犱)(犐犠)犿(犐犠)犿(犐犠)(犿犿)(犐犠)(犿犿)犻狀犻(犐犠)(犐犠)(犿犿)犻狀犻(犐犠)(犐犠)犱(犿,犿),()其中表示矩阵共轭转置,为特征值由于犠与犐均为实矩阵,因此共轭转置矩阵等于转置矩阵(用表示),故:(犐犠)(犐犠)(犐犠犠犠犠),()因此:犻狀犻犐()犠犐()()犠 犻狀犻犐犠犠犠()犠 犻狀犻(犠犠犠犠)()由于本研究中 为定值
13、因此,只需令 犻狀犻(犠犠犠犠)(,)即可为方便读者实现本方法,笔者通过数值模拟(本研究使用的地地 球 物 理 学 报()卷震数据与子波均已经过归一化处理)给出了一组数据供读者使用,当(,此时 犻狀犻(犠犠犠犠)(,),也即 犻狀狘犻(犠犠犠犠)狘 故存在,)使得犱(犳(犿),犳(犿)犱(犿,犿)成立,此时初始模型可以快速收敛至模型值,误差量级 为 需要 说 明的是,不动点反演中迭代初始值是通过纵波阻抗初始模型计算所得到的反射系数初始模型,而非是任意初始值,因此进一步缓解了多解性,提高了收敛效 率对 于 初 始 值,若犘 犐 犘,犐 犘,犐 犘狀为纵波阻抗低频模型,则第一次迭代所使用的初值模型
14、为:犕犿 犳,犿 犳,犿 犳,犿 犳狀,其中犿 犳犻(犉犻 犉犻)(犉犻 犉犻),犉犘 本证明不但提供了一个可用的参数范围,还提供了一种参数确定的流程因此,地震反演不动点迭代方程可以表示为:犿犖犐()犠 犿犖 犱狓犖犳(狓犖)犅()在地震反演领域,初始模型约束通常被用来降低反演方法的噪声敏感度初始模型约束可以表示为:犐 犘 犔 犿,()其中犐 犘 与犔分别代表纵波阻抗初始模型以及积分矩阵其具体形式为:犐 犘 犐 犘犐 犘,犐 犘犐 犘,犐 犘狀犐 犘,犔熿燀燄燅,(烅烄烆)根据公式()可得初始模型约束的不动点形式解为:犿犖(犐 犔)犿犖 犐 犘 ()同理,对于公式(),的取值范围为 ,将公式(
15、)与公式()联合即可得到初始模型约束的 解:犿犖犐()犠 犿犖 犱犿犖(犐 犔)犿犖 犐 犘烅烄烆 犿犖 犃(犿犖)犅(犿犖),()其中,犃(犿犻)(犐犠)犿犻 犱,犅(犿犻)(犐 犔)犿犻 犐 犘 ,与 分别代表时间域地震反演与初始模型约束的步长与代表了时间域地震反演以及初始模型约束的权重,当地震记录含有较强噪声时,应该提高来获得稳定解;当地震数据信噪比较高时,可以增大来获取更加精确的反演结果由于地震记录中存在噪声,且反演多解性问题的存在,通常当犳(狓犻)狓犻时,便可认为狓犻为方程不动点,为可接受误差,也即阈值随机不动点地震反演方法若反射系数为一个长度为狀的向量,即犿犿,犿,犿,犿狀,且服从
16、高斯分布犿犖(犿;犿,),其中犿为均值,为方差为了提高计算效率,犿可由纵波阻抗低频模型给出,方差可从工区测井数据分析中得到此外,方差的估计对反演结果的影响较小,即使方差偏离精确值,也可以获得稳定的反演结果上节提到反射系数初始模型为犿 犳犻(犉犻 犉犻)(犉犻 犉犻),则犿可以表示为:犿犕犿 犳,犿 犳,犿 犳,犿 犳狀()在首次抽样前,需要令狀 犉 犘犿此外,设定集合狊 犉 犘用以记录每次得到的结果第次抽样结果为可以表示为:狀 犉 犘狀 犉 犘犛犗(犖(犿;犿,),()其中犛为 抽 样 步 长 的 控 制 参 数,本 文 设 定 均 为 ;犗为随机抽样符号,表示对以均值为犿,方差为的高斯分布进
17、行随机抽样在抽样的基础上需要判定其是否更接近于方程不动点首先利用公式()计算犳(犿犻)与犿犻的距离 与 :狀狋犳(狀 犉 犘(狋)狀 犉 犘(狋)狀狋犳(狀 犉 犘(狋)狀 犉 犘(狋烅烄烆),()其中:犳(狓)犃(狓)犅(狓)犃(狓)(犐犠)狓 犱犅(狓)(犐 犔)狓 犐 犘烅烄烆 ()在此基础上利用公式()对狀 犉 犘进行更新:狀 犉 犘狀 犉 犘,狀 犉 犘狀 犉 犘,()然后令狊 犉 犘狊 犉 犘狀 犉 犘并将狀 犉 犘重新代入到公式()进行下一轮迭代具体地,若反演的迭代次数为犽,则狊 犉 犘狀 犉 犘,狀 犉 犘,狀 犉 犘狀犽,其中每个狀 犉 犘都为更新后的结果则第一次反演结果可以
18、表示为:犿犽狏犽犻狏狊 犉 犘犻,()其中狏为自由选择的起始点由于本方法同样具有一定的随机性,因此本研究采取多次反演取均值的方式来获得反演结果若反演次数为犮,则可以得到狀 犕 犽犿,犿,犿则最终的反射系数反演结期裴松等:随机不动点地震反演方法果可以表示为:犿 犮犮犼狀 犕 犽犼()利用反射系数反演结果通过道积分可以得到纵波阻抗反演结果犐 犘 ,其公式为:犐 犘 (狋)犐 犘 (狋狋犿(狋)狋)()由此可知,的另一优点在于无需寻求精确的 与的取值范围,因为 并非通过迭代公式求解,其只需判定随机抽样结果的犳(狓)是否更接近于狓,利用更接近的链条进行下次迭代寻找更接近的链条直至收敛,因此即使参数设定
19、为,通过多次迭代依然可找到狓犻令犳(狓犻)狓犻此外,笔者利用本研究所用工区的井资料进行分析并给出了如图所示的反射系数的概率分布图,由图可知反射系数服从高斯分布,进一步说明了本方法的合理性 模型测试为验证方法有效性,本文从真实测井资料中抽取了纵波速度与密度来计算合成了纵波阻抗模型,并利用纵波阻抗计算得到的反射系数与主频为 图反射系数分布图 的雷克子波褶积得到了如图 所示的合成地震记录图展示了本方法的无噪地震记录测试结果,其中灰色曲线为 次反演结果(每次反演的迭代次数为 次),红色曲线为 次反演结果的均值此外,由图、可知,反射系数反演结果与纵波阻抗反演结果均与模型保持了较高的一致性,从而验证了本文
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