Pearson-Ⅲ型负偏频率曲线的权函数参数估计方法.pdf
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1、水 文JOURNAL OF CHINA HYDROLOGY第43卷第3期2023年6月Vol.43 No.3Jun.,2023DOI:10.19797/ki.1000-0852.20220295收稿日期:2022-08-08网络首发日期:2023-06-13网络首发地址:https:/ 水资源工程与调度全国重点实验室,湖北 武汉430072;2.中国科学院 地理科学与资源研究所 陆地水循环与地表过程重点实验室,北京100101;3.河海大学 水文水资源学院,江苏 南京210024)摘要:Pearson-型水文频率计算以正偏序列为主,但在处理水库水位、潮位序列时常出现负偏的情况。针对正偏序列的权
2、函数参数估计方法,通过公式推导将其拓展应用到负偏序列,完善了这一水文参数估计方法体系。统计试验表明相比常规矩法,权函数参数估计方法能显著提高对Cs估计的无偏性,并在有效性方面有所提升。比较权函数框架下的三种参数估计方法,发现二阶权函数矩法(WFM2)整体优于一阶权函数矩法(WFM1),利用权函数矩结合法(WFM3)对Cv(或s)进行估计的前提是要确保Cs的估计优于Cv,否则其不如WFM1和WFM2的参数估计结果。以某潮位站年最高潮位序列和某水文站年最高水位序列进行了实例验证,拟合优度检验表明WFM2方法的拟合误差小、精度高,是所有比较方法中应用效果最好的方法。关键词:Pearson-型分布;负
3、偏特性;权函数法;蒙特卡洛试验;水文频率分析中图分类号:P333;TV11文献标识码:A文章编号:1000-0852(2023)03-0001-081研究背景水文频率线型选择与线型参数估计是水文频率计算的两个关键问题。计算Pearson-型水文频率参数的权函数法是马秀峰基于矩法求矩差提出的一种参数估计方法,目前已得到广泛应用。该方法增加了均值附近数据的权重,减小了远端数据的作用。因此在用样本矩代替总体矩时,减少了丢失的端矩面积,从而降低了求矩误差,提高了Cs的估计精度1-2。但刘治中认为权函数法主要通过-x和Cv来推求Cs,因而-x和Cv的计算误差将直接影响Cs估值的精度,于是提出利用数值积分
4、结合权函数法估计水文系列的分布参数3。刘光文又在数值积分权函数法的基础上提出了数值积分双权函数法,旨在提高 Cv 和 Cs 的估计精度4。但陈元芳通过统计试验分析认为,文献3-4的两种方法对文献1的方法并无改进。文献3-4利用理想样本还原原则作为评价方法优劣的标准存在较大缺陷,建议采用更符合统计学思想的无偏性和有效性作为评价标准,并指出文献1中Cv仍使用矩法估计,需要进一步探索5。梁忠民在文献1的基础上提出一种不需引入第二权函数即可在权函数法框架下同时估计Cv和Cs的方法,认为该法的整体估计水平与概率权重矩法相当,同时具有很好的稳健性6。但其评价标准仍是基于理想样本,需要进行统计检验。现行的权
5、函数法均是基于文献1所提出的权函数框架对正偏水文序列进行的推导。实际上,在分析水库水位、潮位序列时常出现负偏的情况7-9。对于负偏水文序列,学者们开展了大量研究。如蔡体录从Pearson-型曲线的对称性角度出发论述了利用正偏模比系数K值表计算负偏分布的方法10。李兴拼等给出了基于矩法的正负偏转换公式11。张家鸣等通过分析Pearson-型曲线自身的特点,提出利用伽马函第43卷水 文数的相关调用,避开传统查表方法来拟合负偏水文序列7。胡诗松等从正负偏频率曲线的转换关系出发,提出了比矩法精度更高的负偏水文序列的极大似然估计方法12。然而,上述方法存在着正负偏序列转化、计算精度不足或计算过程复杂等问
6、题。本文拟从正偏序列权函数法的推导出发,证明权函数法在负偏序列中的适用性。并用统计试验验证负偏权函数框架下各种权函数法的无偏性和有效性。最后,以某潮位站的年最高潮位数据和某水文站的年最高水位数据进行实例分析和验证。2研究方法2.1负偏权函数框架水文频率计算中常用的Pearson-型概率密度函数表述如下13:f()x=|()x-1()e-()x-(1)式中:、分别为形状参数、比例参数和尺度参数。0时,与传统正偏Pearson-型分布概率密度函数相同,随机变量X有下限;4或Cs0F-1()p,1+,0时,估计正偏;当BXk0时,估计负偏。SXk越小,估计值与给定真值的相对均方误差越小,估计方法的有
7、效性越好。3.2试验结果通过统计试验得到统计参数及设计值的无偏性和有效性的部分结果如表2和表3所示。总体参数EX=1.0Cv=1.0Cs=-2.0EX=1.0Cv=1.0Cs=-3.0n5010050100方法CMWFM1WFM2WFM3CMWFM1WFM2WFM3CMWFM1WFM2WFM3CMWFM1WFM2WFM3EX0.50%0.50%0.50%0.50%-0.20%-0.20%-0.20%-0.20%0.31%0.31%0.31%0.31%-0.05%-0.05%-0.05%-0.05%Cv2.11%2.11%2.11%5.06%1.27%1.27%1.27%3.72%1.42%1.
8、42%1.42%0.30%0.57%0.57%0.57%-0.42%Cs-15.17%2.43%0.22%2.43%-9.97%2.26%0.09%2.26%-20.93%-1.29%0.71%-1.29%-14.61%-0.89%0.25%-0.89%X0.01%12.22%0.70%1.82%2.01%7.75%-0.24%0.72%0.76%11.70%0.75%-0.14%-0.14%7.88%0.76%-0.25%-0.25%X0.1%10.84%0.33%1.33%1.62%7.06%-0.40%0.50%0.60%11.48%0.73%-0.17%-0.15%7.81%0.76%
9、-0.25%-0.26%X1%7.99%-0.49%0.27%0.75%5.37%-0.82%-0.06%0.17%10.65%0.61%-0.31%-0.26%7.46%0.69%-0.30%-0.31%X10%2.35%-1.71%-1.40%-0.54%1.55%-1.43%-1.00%-0.47%6.50%-0.39%-1.30%-1.16%4.90%-0.01%-0.80%-0.87%表2统计参数和设计值的无偏性计算结果Table2Results of statistical parameters and design values about unbiasedness表3统计参数和
10、设计值的有效性计算结果Table 3Results of statistical parameters and design values about effectiveness总体参数EX=1.0Cv=1.0Cs=-2.0EX=1.0Cv=1.0Cs=-3.0n5010050100方法CMWFM1WFM2WFM3CMWFM1WFM2WFM3CMWFM1WFM2WFM3CMWFM1WFM2WFM3EX14.00%14.00%14.00%14.00%10.06%10.06%10.06%10.06%14.21%14.21%14.21%14.21%10.26%10.26%10.26%10.26%Cv
11、36.03%36.03%36.03%36.85%23.79%23.79%23.79%25.59%43.52%43.52%43.52%43.33%28.79%28.79%28.79%29.04%Cs36.13%29.49%30.68%29.49%29.08%21.99%21.26%21.99%32.83%24.55%27.52%24.55%27.97%18.46%18.97%18.46%X0.01%19.64%11.52%11.26%11.81%14.01%8.40%7.82%7.95%15.86%9.87%6.76%6.78%11.55%9.50%4.84%4.84%X0.1%17.42%10
12、.89%10.28%10.97%12.86%8.12%7.38%7.61%15.45%9.83%6.69%6.74%11.41%9.47%4.82%4.82%X1%13.29%9.56%8.39%9.27%10.31%7.34%6.28%6.67%14.14%9.59%6.40%6.55%10.79%9.26%4.74%4.74%X10%5.90%6.65%4.86%5.79%4.83%5.04%3.68%4.13%8.67%7.99%5.04%5.41%7.24%7.71%3.98%4.02%4第3期陈斐等:Pearson-型负偏频率曲线的权函数参数估计方法(1)四种方法对EX、Cv的估计结
13、果基本无区别,都能达到无偏。WFM3在权函数基础上调整了,因此Cv估计值与前三种方法有所区别。从试验结果来看,大部分参数方案下,WFM3对的调整没有起到改善作用,这是因为根据权函数Cs调整时存在参数估计的误差累积。但在方案六中,调整起到了改善作用,这是因为序列偏态程度较大时,CM对Cv、Cs的估计误差过大,这样根据权函数Cs调整得到的Cv有着较明显的改善。因此,在偏态程度较小时,不建议再对进行调整;若要根据Cs调整,需确保Cs的估计优于Cv。(2)常规矩方法对Cs估计的无偏性存在较大偏差,而基于权函数框架下的估计方法能显著降低这种偏差,使估计达到无偏。以方案五、样本容量n=50为例,CM 对
14、Cs 估计的无偏性偏差达到-15.17%,而WFM1和WFM2(WFM3对Cs的估计与WFM1相同,不再赘述,下同)的结果偏差则降为2.43%和0.22%。观察所有试验方案的结果发现,WFM2都比WFM1的无偏性偏差更低,如图2所示。就无偏性而言,WFM2优于WFM1。相对偏差/%5CMWFM1WFM2WFM30-5-10-15-20-25501005010050100501005010050100方案一方案二方案三方案四方案五方案六注:横坐标中“50”、“100”分别代表“样本容量n=50”、“样本容量n=100”(图34同)。图2对Cs估计的无偏性结果Fig.2Estimation res
15、ults ofCsabout unbiasedness(3)四种参数估计方法的有效性都存在较大偏差,尤以Cs偏差最大。随偏态程度升高,Cv有效性偏差升高,而Cs有效性偏差降低。Cv有效性偏差升高的原因是偏态程度升高后,序列中随机变量关于均值的不对称性增强,二、三阶中心矩的值明显增大,因此参数求解误差会逐渐增大17。而Cs有效性偏差降低的原因是SX为相对性指标,当Cs的给定真值增加后,其相对误差反而略有降低。(4)WFM1和WFM2对Cs估计的有效性相比CM整体有所提升。以方案五、样本容量 n=100 为例,CM 对 Cs 估计的有效性偏差达到 29.08%,而 WFM1和 WFM2 则降为 2
16、1.99%和 21.26%。但当偏态程度较小时(如Cs=-0.5),WFM1和WFM2对Cs估计的有效性相比 CM 没有起到改善作用,都呈现出较大偏差,如图3所示。这是因为序列越接近正态,用偏态分布的样本矩代替总体矩时偏差越大。观察WFM1和 WFM2 在所有试验方案的表现中发现,二者有效性相当。(5)同一参数方案和样本容量,设计频率越低,设计值无偏性和有效性偏差越大。这是因为参数估计的误差在高分位数上会被放大18。观察所有参数方案下各设计频率对应的设计值发现:样本容量n=50 时,WFM1 和 WFM2 下各设计值有效性偏差能控制在 15%以内;样本容量 n=100 时,WFM1 和 WFM
17、2下各设计值有效性偏差能控制在10%以内。如图4所示。相对偏差/%CM1009080706050403020100501005010050100501005010050100WFM1WFM2WFM3方案一方案二方案三方案四方案五方案六图3对Cs估计的有效性结果Fig.3Estimation results ofCsabout effectiveness4实例分析为更好地说明权函数法在水文序列负偏时的适用性,以某潮位站 19602003 年的年最高潮位数据11和某水文站19471976年的年最高水位数据10(已减去基准水位 50.00 m 以提高频率计算精度,后期求出设计值再加上基准水位)作为算
18、例进行实例分析和验证。参数估计方法选用正偏矩法(PCM)、负偏矩法(NCM)、一阶权函数矩估计法(WFM1)、二阶权函数矩5第43卷水 文估计法(WFM2)、权函数矩结合估计法(WFM3)。需要说明的是,这里的NCM即前文中的CM,更名是为了与PCM加以区分。引入PCM(直接取Cs=3Cv)是为了验证负偏水文序列如果仍沿用正偏矩法进行拟合的合理性。上述参数估计方法对算例进行参数估计的结果如表4所示。为对比各方法对负偏水文序列拟合的好坏,需进行拟合优度检验。检验方法选用PPCC检验值19、离差平方和(OLS)、相对离差平方和(WLS)2、Kolmogorov-Smirnov检验值(KS)20。检
19、验方法的计算公式如表5所示。选取的四种拟合优度检验方法能分别从不同角图4对于指定频率设计值估计的有效性结果Fig.4Estimation results of design values for Specify frequency about effectiveness表4年最高潮位和年最高水位的参数估计结果Table 4 Results of parameter estimation for annual maximum tide level and water level估计方法PCMNCMWFM1WFM2WFM3年最高潮位EX1.1071.1071.1071.1071.107Cv0.10
20、90.1090.1090.1090.102Cs0.327-0.762-0.920-0.981-0.92037.5226.8844.7264.1544.72650.830-21.772-18.040-16.913-19.2420.3691.4231.3691.3531.353年最高水位EX6.9426.9426.9426.9426.942Cv0.3090.3090.3090.3090.294Cs0.928-0.575-0.853-0.897-0.8534.64712.1075.4924.9755.4921.004-1.621-1.092-1.039-1.1472.31414.41211.9731
21、1.73011.730(a)设计频率p=0.01%(b)设计频率p=0.1%(c)设计频率p=1%(d)设计频率p=10%2018161514121086420CMWFM1WFM2WFM3偏差10%偏差15%100505010050100501005010050100方案一相对偏差/%方案二方案三方案四方案五方案六2018161514121086420CMWFM1WFM2WFM3偏差10%偏差15%100505010050100501005010050100方案一相对偏差/%方案二方案三方案四方案五方案六2018161514121086420CMWFM1WFM2WFM3偏差10%偏差15%10
22、0505010050 10050 10050 10050 100方案一相对偏差/%方案二方案三方案四方案五方案六2018161514121086420CMWFM1WFM2WFM3偏差10%偏差15%100505010050 10050 10050 10050 100方案一相对偏差/%方案二方案三方案四方案五方案六6第3期陈斐等:Pearson-型负偏频率曲线的权函数参数估计方法度反映拟合效果好坏7。PPCC检验法反映拟合值和样本值的相关性,数值越大拟合效果越好。OLS 和WLS反映拟合值和样本值的误差累积和相对误差累积,数值越小拟合效果越好。KS检验法反映拟合值和样本值的最大误差,数值越小拟合
23、效果越好。各估计方法的最终检验值结果如表6所示。表6拟合优度检验结果Table 6Results of goodness-of-fit test估计方法PCMNCMWFM1WFM2WFM3年最高潮位PPCC0.96410.99190.99270.99280.9927OLS0.04460.01280.01230.01240.0193WLS0.05650.01580.01400.01360.0229KS0.13550.07180.06380.06080.0822年最高水位PPCC0.94490.99360.99500.99500.9950OLS13.73142.55602.44972.49143.
24、7018WLS1.05730.22560.19870.19720.2931KS1.57551.11391.09571.09431.2315综合两算例各指标结果可以看出,WFM1 和WFM2拟合优度最好,WFM3和NCM次之,PCM拟合优度最差。选取权函数矩估计中拟合效果最好的WFM2与PCM、NCM进行配线比较。如图5所示。从图5中可以直观地看出:WFM2和NCM的参数估计结果对序列的拟合效果优于PCM,WFM2又略优于NCM。PCM的拟合效果差是因为对于负偏水文序列强行按正偏方式处理,使得端点处的数据拟合出现严重错误。WFM2略优于NCM在于其对Cs估计的精度提升。本例中因序列偏态程度不大,
25、且潮位和水位本身变化较小,所以NCM的估计结果仍具有一定精度。因此,在参数估计时,可将NCM的估计结果作为参数估计的初值。需要说明的是,WFM2对应的频率曲线在高水位部分的设计值仍存在一定的偏差,这是因为权函数法在引入正态概率密度函数对低阶矩进行加权时,为了降低端矩误差会削弱远离样本均值的数据点的作用,因此在极值点处可能会出现些许偏差。事实上,在水文频率分析中,经验频率曲线中高尾与低尾部分经验点据分布趋势不一致,常常不能用一条光滑的理论频率曲线来拟合所有经验点据21。若设计者更关注高尾表5拟合优度检验计算公式Table 5Calculation formula for goodness-of-
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