液面上耦合振子系统的同步模式_董蔚.pdf
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1、液面上耦合振子系统的同步模式*董蔚1)童浩轩1)张皓玥1)彭韵茹1)狄增如1,2)(1)北京师范大学文理学院,北京师范大学自然科学高等研究院复杂系统国际科学中心,519087,广东珠海;2)北京师范大学系统科学学院,100875,北京)摘要利用 MATLAB 对耦合双节拍器系统模型的动力学方程组进行了数值模拟,发现初始条件决定了系统达到稳态时所呈现的同步模式;探究了液体的黏滞阻力与耦合板的质量对系统同步模式的影响,黏滞阻力的大小与稳态时为反相同步的概率呈正相关关系;耦合板质量与稳态时为反相同步的概率呈负相关关系;在弛豫时间方面,发现同相同步比反相同步的平均弛豫时间更慢;在实验上,搭建液面上的耦
2、合振子系统,使用水、质量分数为 10%的盐水和食用油 3 种黏滞系数不同的液体进行实验,定性地得到了与数值模拟一致的结果.关键词耦合振子系统;非线性系统;同步状态;弛豫时间中图分类号O322DOI:10.12202/j.0476-0301.20222260引言2/3耦合非线性系统中的动力学行为是物理学研究的热点问题之一15.Pantaleone1对节拍器的非线性耦合进行了研究,建立了耦合节拍器系统理论模型,发现了节拍器可出现同相和反相同步,并获得反相同步 出 现 的 概 率 与 摩 擦 力 大 小 呈 正 相 关 的 结 论.Ulrichs 等2研究了节拍器的集体同步行为,发现由大量节拍器组成
3、的系统会出现与 Kuramoto 模型相类似的同步现象.Hu 等3通过实验研究了 3 个完全相同的节拍器(以下简称“全同节拍器”)之间的同步行为,发现了多种同步状态与包络同步行为.Martens 等6通过改进节拍器系统进行试验,发现了嵌入态现象.Czolczyski 等4,67在 2 个全同节拍器系统发现了同相和反相同步 2 种状态,并分析了其吸引域;在 3 个全同节拍器系统观察到相位差为的反相同步;在多个耦合节拍器系统发现了 3 或 5 个集团同步的现象,并在理论上从能量角度出发,解释了集团发生同步现象的成因.Kapitaniak 等8通过将节拍器搭建成环形的网络结构,并将它们通过橡皮筋连接
4、,以此产生相互作用,从而观察到了奇异态.Boda 等9通过改变已有网络结构,发现节拍器的初始频率越快,节拍器的个数越少,同步态出现的概率越大.Wu 等10在2 个节拍器的耦合系统观察和验证了无理数同步态.宋智文11基于数值分析和实验观察 2 方面,获得了节拍器系统的无理数同步现象,并搭建了耦合振荡系统,在合适的实验条件下观察到了 3 整数比同步现象.1耦合双节拍器系统模型采用耦合双节拍器系统模型1012,其运动学方程为mil2i+mixlcos i+cii+miglsin i=Mi,(1)imi、ci、iilgMii5式中:为节拍器的编号;分别为第 个节拍器振子的质量、阻尼系数和摆角;为节拍器
5、横梁中点到振子的距离;为重力加速度;为第 个节拍器振子过中心位置且左右振荡时所具有的自激动力矩.(M+m1+m2)x+Mck(x)2+2i=1mil(icos i(i)2sin i)=0,(2)Mckx式中:为耦合板的质量(量纲为一);为液体黏滞系数;为耦合板的位移.m1=m2=1.00;l=0.248 5;c1=c2=0.01参量分别设定为:,Mi=|0.075mi,(0 i 0),0.075mi,(5 i 0,i 0),0,其他情况.(3)*国家自然科学基金重点资助项目(71731002)通信作者:狄增如(1962),男,博士,教授,博导,国际系统与控制科学院院士.研究方向:复杂系统、复杂
6、网络.E-mail:收稿日期:2022-07-122023-02北京师范大学学报(自然科学版)59(1)JournalofBeijingNormalUniversity(NaturalScience)92数值模拟ck=1.0 M=5.0 x(0)=x(0)=0,1(0)=2(0)=0,1(0)=0.187 2(0)=0.34612=0 x(0)=x(0)=0,1(0)=2(0)=0,1(0)=0.127,2(0)=0.216为1+2=0利用 MATLAB 的 4 阶 Runge-Kutta 法对第 1 章的模型进行数值模拟,其中,.令初始条件,此时系统符合相位差的特征为,呈现完全同相同步状态;
7、,此时系统符合相位差的特征,呈现完全反相同步状态.可见初始条件将决定系统达到稳态时所呈现的同步模式.12图 1 为 2 个节拍器从计时开始后 200.0202.0s 的演化曲线.由图 1 可见,2 个节拍器各自摆角、随时间的变化充分展现了典型的同相和反相同步状态,通过大量模拟后发现系统只呈现 2 种稳定状态,即同相同步状态或反相同步状态,且系统在 200.0202.0s这一时段达到稳态.12图 2 为同步状态的相位差特征随时间的演化曲线.0.251211、2/rad1、2/rad2a 同相同步b 反相同步0.150.050.050.150.250.30.20.100.10.20.3200.02
8、00.5201.0t/st/s201.5202.0200.0200.5201.0201.5202.0图1系统达到稳态时的同步状态0.150.10a 同相同步b 反相同步0.0500.050.100.15010203040t/s50607012/rad0.100.0500.050.10010203040t/s50706012/rad图2同步状态的相位差特征曲线M=5.0探究液体黏滞系数对系统稳态的影响.令,为简单起见,将算法中所需的初始参量分别设定x(0)=x(0)=0;1(0)=2(0)=012为:;2 个节拍器的和均在0.50.5rad 随机取值(图 3).0.500.500.250.250
9、00.250.250.500.501/rad2/rad0.500.2500.250.501/rad0.500.2500.250.501/rada ck=15.0b ck=25.0c ck=35.0图3不同液体黏滞系数的 2 种同步状态吸引域ck如图 3 所示,将结果中对应呈现同相同步特征的区域标记为蓝色,呈现反相同步特征的区域标记为红色.在此基础上,改变,选取 1 万个不同的初始角进行数值模拟,绘制同相同步和反相同步状态的吸引ck域.结果发现:系统稳态为反相同步的概率会随黏滞阻力的增大而增大;当=35.0 时,同相同步状态只在初始角相差较小才会出现,且占比很低.ck=15.0取,探究耦合板的品
10、质对系统稳态模式10北京师范大学学报(自然科学版)第 59 卷x(0)=x(0)=0;1(0)=2(0)=012的影响.仍将初始参量分别设定为:;2 个节拍器的初始角和在0.5+0.5rad 随机取值.采用相同的标记方法,改变耦合板的质量,选取 1万个不同初始角进行数值模拟,绘制同相同步和反相同步状态的吸引域,结果如图 4所示.0.500.500.250.25000.250.250.500.501/rada M=5.0b M=10.0c M=15.02/rad0.500.2500.250.501/rad0.500.2500.250.501/rad图4不同质量耦合板的 2 种同步状态吸引域由图
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