Gronwall不等式的推广.pdf
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1、Gronwall不等式的推广石婷,孙甜,张辉*(安庆师范大学 数理学院,安徽 安庆 246133)摘要:Gronwall不等式是数学理论研究和应用的重要工具之一。经典的Gronwall不等式在现代偏微分方程理论研究中具有举足轻重的地位。本文通过系列的数学分析方法对其进行了改进和推广,该研究结果不仅丰富了Gronwall不等式的理论,同时也扩大了其应用范围。关键词:Gronwall不等式;分离变量;积分求解;积分因子中图分类号:O177.1文献标志码:A文章编号:1007-4260(2023)02-0010-04Generalization of Gronwall InequalitySHI T
2、ing,SUN Tian,ZHANG Hui*(School of Mathematics and Physics,Anqing Normal University,Anqing 246133,China)Abstract:Gronwall inequality is a crucial tool in mathematical theory and its applications.The classical Gronwall in-equality is fundamental to modern mathematics,especially in the study of partial
3、 differential equations.In this paper,the classi-cal Gronwall inequality is improved and extended by various methods of mathematical analysis.These results not only enrichthe corresponding theory but also enlarge the application scope of Gronwall inequality.Key words:Gronwall inequality;separate var
4、iables;integral solution;integral factorGronwall不等式是一类非常重要的不等式,其广泛应用在数学的各个分支。该不等式主要通过微分或积分等方式获得未知函数的数值估计,在利用偏微分方程进行能量估计方面尤为重要。然而,经典的Gronwall不等式在具体应用时有一定的局限性。许多学者对该不等式进行了改进和推广1-8。例如,文献1研究了具有多个奇异点的广义Gronwall不等式。文献2将经典的Gronwall不等式应用到由实际问题所提出的偏微分方程组。文献4通过构造辅助函数,得到了证明Gronwall不等式的一个新方法,拓宽了学术思维。也有学者运用多种数学方
5、法对一般的Gronwall不等式进行延拓,推广了高阶线性不等式、一阶线性Gronwall不等式等,且其推广结果有着广泛应用6-8。本文从经典的Gronwall不等式出发,对其基本结构进行了改进并获得相应结果。与其他文献相比,本文推广方式没有改变不等式的基本结构,而形式也没有变复杂,可以使读者更好理解其基本思想,为开展深入研究提供了有益参考。1经典Gronwall不等式经典的积分型Gronwall不等式可以表述如下9:收稿日期:2022-04-11基金项目:安徽省质量工程项目(2020mooc271)和安庆师范大学研究生学术创新项目(2021yjsXSCX046)作者简介:石婷(1998),女,
6、安徽安庆人,安庆师范大学数理学院硕士研究生,研究方向为偏微分方程。E-mail:通信作者:张辉(1980),男,安徽桐城人,博士,安庆师范大学数理学院副教授,硕士生导师,研究方向为偏微分方程。E-mail:DOI:10.13757/34-1328/n.2023.02.0022023年5月第29卷第2期安庆师范大学学报(自然科学版)Journal ofAnqing Normal University(Natural Science Edition)May 2023Vol.29 No.2第2期定理1设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数,且满足不等式E(t)c0tE()d+M,(1)其中,
7、c、M均为正常数,则对任意的t 0,T,有E(t)Mect。证明记I(t)=0tE()d,有I(0)=0且dIdt=E(t),则不等式(1)可转化为dIdt cI(t)+M,(2)上式两边同时乘以e-ct,得到ddt(e-ctI(t)Me-ct,将不等式两边同时对t积分,有I(t)Mc(ect-1),(3)将公式(3)代入公式(2),得到E(t)=dIdt M(ect-1)+M Mect,则定理1成立。2Grownwall不等式的推广通过改变经典的积分型Gronwall不等式条件,如定理1的不等式(1),考虑被积函数的幂次发生改变、常系数换成变系数,以及被积函数再乘以一个函数的多种组合情况,可
8、得到定理2-8。2.1对积分号内E(t)的次数进行改进文献10推广了n维空间下的Gronwall不等式,但其被积函数的幂次为1。在本文中,我们将讨论被积函数的幂次不再是1时,即当E(t)的次数满足0 1的两种情形(此时讨论的是一维空间,n维空间可以类似推导),分别得到如下两个结论。定理2设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数,且满足不等式E(t)c0tE()d+M,0 1,(4)其中,c、M均为正常数,则对任意的t 0,T,有E(t)c(1-)t+M1-11-。证明记I(t)=0tE()d,有I(0)=0且I(t)=E(t),则不等式(4)可转化为I(t)(cI(t)+M)-1,将上式
9、两边同时对t积分,有(cI(t)+M)1-c(1-)t+M1-,由条件可知0 0,有cI(t)+M c(1-)t+M1-11-,由E(t)cI(t)+M可得I(t)E(t)-Mc,将其代入上式得E(t)c(1-)t+M1-11-。证毕。由定理2可知,当被积函数E(t)的次数为0 1,(5)其中,c、M均为正常数,则对任意的t 0,T,有E(t)c(1-)t+M1-11-。证明令I(t)=0tE()d,有I(0)=0且I(t)=E(t),则不等式(5)可转化为I(t)(cI(t)+M),分离变量得到I(t)(cI(t)+M)-1,将上式两边同时对t积分,得(cI(t)+M)1-c(1-)t+M1
10、-,由条件可知 1,则1-0,有cI(t)+M c(1-)t+M1-11-,由E(t)cI(t)+M可得I(t)E(t)-Mc,将其代入上式可得E(t)c(1-)t+M1-11-。证毕。2.2对常数c和M进行改进同时改变定理1中c、M的条件,利用分离变量的方法,找到合适的积分因子,从而也能够找到一个石婷,孙甜,张辉:Gronwall不等式的推广 11安庆师范大学学报(自然科学版)2023年E(t)的控制函数。定理4设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数,c(t)、M(t)为正连续函数,且满足不等式E(t)c(t)0tE()d+M(t),(6)则对任意的t 0,T,有E(t)c(t)e0
11、tc()d0te-0sc()dM(s)ds+M(t)。证 明令I(t)=0tE()d,有I(0)=0且I(t)=E(t),则 不 等 式(6)可 转 化 为I(t)-c(t)I(t)M(t),将两边同时乘以e-0tc()d,有 I(t)-c(t)I(t)e-0tc()d M(t)e-0tc()d,同时对两边t积分,得e-0tc()dI(t)0tM(s)e-0sc()dds,由E(t)c(t)I(t)+M(t)得I(t)E(t)-M(t)c(t),将其代入上式有E(t)c(t)e0tc()d0te-0sc()dM(s)ds+M(t)。证毕。2.3对积分号内E(t)乘以一个正连续函数来改进在定理1
12、基础上将被积函数乘以一个正连续函数k(t),推导发现,利用变量分离和通过找合适的积分因子的方法,也可以得到类似于定理1的结论,即找到一个E(t)的控制函数。定理5设E(t)是定义在0,T 上的一个非负连续函数,k(t)为正连续函数,且满足不等式E(t)c0tk()E()d+M,(7)其中,c、M均为正常数,则对任意的t 0,T,有E(t)Me0tck()d成立。证明令I(t)=0tk()E()d,有I(0)=0且I(t)=k(t)E(t),则不等式(7)可转化为I(t)-cI(t)k(t)Mk(t),将上式两边同时乘以e-0tck()d,有e-0tck()dI(t)-Mce-0tck()d,同
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