基于常分数阶拉普拉斯算子的...与衰减参数的全波形反演方法_胡博涛.pdf
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1、第 卷 第期 年月地球物理学报 ,胡博涛,黄超,董良国等 基于常分数阶拉普拉斯算子的黏声方程重建速度与衰减参数的全波形反演方法地球物理学报,():,:,.(),():,:基于常分数阶拉普拉斯算子的黏声方程重建速度与衰减参数的全波形反演方法胡博涛,黄超,董良国,张建明同济大学海洋地质国家重点实验室,上海 摘要地震波在地下介质传播过程中由于非弹性衰减的存在将导致能量损失和相位变化,精确的速度与衰减参数建模对油气识别、提高强衰减介质中地震波成像的质量都起着至关重要的作用常分数阶拉普拉斯算子黏声方程由于完全分离的速度频散项与振幅衰减项的优势,以及在强非均质衰减介质中可以高精度求解的特点,已被应用于速度
2、与衰减参数的建模中本文将二阶常分数阶拉普拉斯算子黏声方程拆分为等价的一阶方程组,并在此一阶方程组的基础上推导出新的梯度公式与伴随方程,建立了一种新的速度与衰减参数同时重建的全波形反演方法相较于原二阶常分数阶拉普拉斯算子黏声方程建立的全波形反演流程,数值实验表明,新建立的反演流程可以有效避免原梯度数值计算中的噪声,尤其是可以有效提高衰减参数梯度的反演精度,从而显著提高反演的收敛速度与反演精度关键词品质因子;分数阶拉普拉斯算子;全波形反演;黏声方程 :中图分类号 收稿日期 ,收修定稿基金项目国家自然科学基金(,),同济大学海洋地质国家重点实验室自主课题()以及中央高校基础研究基金()资助第一作者简
3、介胡博涛,男,年生,硕士研究生,主要从事地震波衰减与反演等方面的研究 :通讯作者黄超,男,研究员,主要从事全波形反演、微地震监测与二氧化碳封存监测方面的研究 :,地 球 物 理 学 报()卷 ;引言地下介质通常是黏弹性的,这种非弹性的衰减将引起地震波传播过程中振幅的衰减与相位的延迟(,)地震勘探中通常采用品质因子来表征地震波在地下介质中的这种衰减效应 建立高精度的速度与模型将对准确补偿地震波振幅损失和相位延迟起到关键作用,可以显著改善带补偿的偏移或者最小二乘偏移的成像精度(,;,;刘伟和张剑锋,;,)此外,品质因子还可用于岩性识别和储层预测,对油气检测也具有重要意义 常规的衰减参数建模方法利用
4、地震波衰减随频率的提高而增强的特点,通过地震数据的频移或者能量谱比等方法来建立粗略的模型(邹鹏和程玖兵,)但此类方法精度不高,且严重依赖速度建模的精度,速度建模的误差将严重影响模型的反演精度(,)基于数据匹配的全波形反演方法()由于充分挖掘了地震信号中的波形信息,理论上可以获得目前地球物理反演方法中最高分辨率的反演结果(,),因而成为目前高精度地质参数建模的重要手段,并在近十几年得到了迅速的发展(,)利用全波形反演技术重建地下模型的建模方法,前人也有了不少的研究(,;,;,;,;,;,;,)波形反演参数建模方法借助数值求解波动方程来预测地震数据,因此利用全波形反演技术实现衰减参数的建模,必然也
5、需要数值求解能够描述地震波衰减机制的黏声或者黏弹波动方程求解黏声或黏弹方程可以在频率域或者时间域进行,在频率域求解用复速度(,)表达的黏声或黏弹方程,因为需要进行大型矩阵的 分解,内存消耗巨大,特别在三维情况下,目前的机器性能往往难以满足,因而限制了该类方法在实际中的应用在时间域求解,则涉及到应力与应变之间的卷积运算,这要求在求解当前时刻的应力和应变时存取以往所有时刻的应力和应变量,对内存的需求同样巨大 为了提高求解的精度并降低内存的消耗,不同的学者利用不同的近似模型得到了不同的近似方程,主要可分为两大类:一类是通过不同物理模型等效近似地球介质的黏弹效应,具有代表性的有 模型(,)、模型(,)
6、以及标准线性体模型()(,);另一类则是通过数学模型来近似等效介质在地震波频带范围内所呈现的常特征(,)在这两类模型中,第一类模型对应的黏弹或黏声方程在数值求解过程中依然增加了方程和表征参数的个数,且表征参数与品质因子往往没有显式的数学表达关系,增加了参数反演的难度(,)第二类模型中比较有代表性的方程是 ()提出的分数阶方程以及由此衍生出的一系列修正方程(,;,;,)但在这些方程中,普遍存在空间导数的阶数随衰减参数空间变化的问题,使得在求解该类方程时要求介质的衰减参数在空间平缓变化,因而无法准确模拟强非均质性介质情况下的地震波传播 非均质介质条件下求解空变阶数的拉普拉斯算子可以采用加权近似(,
7、)或者低秩分解方法(,;,),但需要进行额外的矩阵低秩分解 为解决此问题,等()首次尝试利用常分数阶拉普拉斯算子近似空变阶数的拉普拉斯算子,数值结果表明该方程可以较好地模拟 介质中传播距离小于 时的地震波传播,但对于 的介质其模拟精度有所降低 随后,等()基于该常分数阶拉普拉斯算子黏声方程讨论了速度双参数全波形反演方法 和 ()则利用级数展开以及系数优化技术提出了一种基于常分数阶拉普拉斯算子的黏声方程该方程中分数阶拉普拉斯算子导数为常数,可以在强非均质性介质中方便求解 此外,上述常分数阶拉普拉斯算子黏声方程均保留了主控振幅衰减和速度频散项分离的特点,为带补偿的偏移成像和波形反演提供了便利为了将
8、常分数阶拉普拉斯黏声方程应用到速度与参数的建模中,和 ()基于他们提出的黏声方程进一步推导了相应的梯度和伴随方期胡博涛等:基于常分数阶拉普拉斯算子的黏声方程重建速度与衰减参数的全波形反演方法程,建立了黏声全波形反演流程 但直接基于该二阶常分数阶黏声方程建立的全波形反演流程在梯度的数值计算中容易出现强烈的数值噪声,需要进行额外的滤波处理(,)处理的效果取决于参数的经验选择,且附加的处理不仅带来计算量的增加,同时也将影响梯度的精度,进而降低反演的精度,特别是对弱参数建模的影响尤为明显(,)此外,由于参数与速度参数的耦合特性,参数建模精度的降低最终也将反过来影响速度参数的反演精度,从而影响后续偏移成
9、像的质量 针对这个问题,本文通过数值测试,分析了梯度计算中数值噪声的产生机制,基于降阶的思想,提出一套新的黏声方程全波形反演流程 利用新的反演流程进行全波形反演,可以有效避免反演过程中的噪声问题,实现了在不额外增加计算量的前提下,提高速度与衰减参数同时建模的精度与反演的收敛速率本文将从 和 ()的常分数阶拉普拉斯算子黏声方程出发,首先分析基于二阶黏声方程导出的梯度公式在计算中产生数值噪声的原因然后针对该噪声的形成机制,基于降阶的思路,提出基于降阶后的一阶方程组推导对应的双参数反演的梯度与伴随方程,建立新的速度与衰减参数反演流程 最后,通过数值实验验证方法的正确性与有效性方法原理 考虑介质黏滞效
10、应的全波形反演方法考虑介质黏滞效应的全波形反演方法,要求所采用的黏声控制方程能够准确描述地震波在传播过程中的吸收衰减效应 和 ()提出的常分数阶拉普拉斯算子黏声方程,由于其与空间参数无关的分数阶拉普拉斯算子和分离的速度频散项与振幅衰减项,具有数值求解精度高、振幅补偿方便的特点,可以方便地应用到全波形反演中 该常分数阶拉普拉斯算子黏声方程可记为:(,)(,)()()(,)()(,),()其中,为地震波传播速度,(,)为压力场,为参考 角 频 率,为 与 品 质 因 子相 关 的 参 数 (),.().鉴于该方程的优势,目前已有了基于该方程建立全波形反演流程来重建速度和衰减参数的研究(,;,)基于
11、方程()建立全波形反演流程,首先建立如下的基于数据匹配的目标函数:(,)()(),()其中,为检波点坐标,为观测数据,为理论合成数据 然后基于黏声方程()推导出介质参数对应的梯度公式()和()来求解方程()这样一个最优化问题:(,)()(,)()(,)()(,)(,),()()(,)()(,)()(,)(,),()其中,(,)为伴随波场,该伴随波场的计算利用了与方程()相同形式的伴随方程梯度()和()基于方程()推导得到,本文记为基于二阶方程的梯度 但直接通过方程()和()数值计算的梯度往往存在较强的噪声干扰(,),影响了反演的效果 下面采用一个简单数值实验来分析此类噪声的产生机制本实验使用均
12、匀介质模型,模型尺寸为 ,离散网格的大小为 实验采用单炮检对的观测方式,炮点位于(,)(,),检波点位于(,)真实模型为均匀介质,其中地震波传播速度为 ,品质地 球 物 理 学 报()卷因子为 初始模型采用速度为 、品质因子为 的均匀模型 图 和 为采用公式()和()计算的第一代梯度,从图 中可以看到明显的数值噪声 为进一步分析此噪声的产生机制,将梯度公式()和()分别分解为三部分:与()有关的项、与()有关的项和剩余项(如表所示)图展示了梯度 和 分解后对应的三个组成部分 从图可以清楚地看出,数值噪声主要来自于与()有关的部分(图 和),其产生原因在于高阶导数的数值求解带来的较大数值误差 而
13、图 中的速度梯度之所以看不到明显的噪声污染,主要在于图 的数值量级远高于图,在三者相加后压制了图 中的数值噪声 但是,衰减参数梯度中含()项(图)与含()项(图)在数值上为同一数量级,二者比不含分数阶项(图)的数值高出两个数量级,含()项中的较高的数值噪声严重污染了最终的梯度(图)可见,图 梯度中的数值噪声主要来源于含()项,减少噪声的关键在于如何避免对高阶导数的直接数值求解图()利用公式()计算的速度的梯度;()利用公式()计算的参数的梯度 ()();()()表二阶梯度各组分表达式 二阶梯度成分分解速度衰减参数含()项()(,;)()(,;)()(,;)()(,;)不含分数阶的项(,;)(,
14、;)含()的项()(,;)()(,;)基于一阶黏声方程组的全波形反演方法为避免在梯度公式中出现高分数阶导数,可以考虑将方程()拆分为三个一阶方程构成的方程组:(,)(,),()(,)(,),()(,)()()(,)()(,)(,).()其中,(,),(),(,)为质点速度,(,)为声学密度,(,)为震源,为参考密度 将()式代入()式可得:(,)()()(,)()(,)(,).()拆分的方程组()、()、()与方程()等价,但相比于方程(),拆分后的方程组利用变量替换的方式将原方程中的高分数阶导数项(如()降阶为低分数阶导数项(如()和(),避免了对波场直接求取()的高分数阶导数,期望以此来实
15、现减少梯度中数值噪声的目标下面,将基于此一阶方程组导出相应的全波形反期胡博涛等:基于常分数阶拉普拉斯算子的黏声方程重建速度与衰减参数的全波形反演方法图基于二阶方程的梯度成分分解:梯度中含()项的成分()速度,()参数;梯度中不含分数阶项的成分()速度,()参数;梯度中含()项的成分()速度,()参数 :()()();()();()()()演方法基于常分数阶拉普拉斯算子的一阶黏声方程组()、()、(),利用拉格朗日乘子法来推导新的速度和衰减参数对应的梯度公式和相应的伴随方程 首先将方程()、()和()作为约束条件引入目标函数(),构造新的目标函数:(,)(,)()()()()(),()其中,、为
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