简单数学建模应用问题100例.pdf
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1、附件2简单数学建模应用问题4M例-l-z-1刖 百“数学建模之解读数学教学过程中学习了一个数学公式后,需要做大量的应用题,通过训练加深理解所学 公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢?理想状态下的公式直接运 用,在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处,所以 对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力 开辟了一条有效的途径,让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式,它是一个动态的过程,通过此过程可以将一个实际的问题,经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等
2、五个具体步骤,转变为 可以用数学方法(公式)来解决的,在理想状态下的数学问题,上述的整个流程统称为数学 建模如果想解决某个实际问题(也许它和数学没有直接的关系),可以按下面流程对问题进行 数学建模。模型准备 先了解该问题的实际背景和建模目的,尽量弄清要建模的问题属于哪 一类学科的问题,可能需要用到哪些知识,然后学习或复习有关的知识,为接下来的数学建 模做准备由于人们所掌握的专业知识是有限的,而实际问题往往是多样和复杂的,模型准 备对做好数学建模问题是非常重要的.二.模型假设 有了模型准备的基础,要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必 要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料,再去除
3、一些次要因素.以主要矛盾 为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就,可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三.模型构成 在模型假设的基础上,选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜 集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构(如数学公式、定理、算法等).做模型构 成时可以使用各种各样的数学理论和方法,但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的 数学方法是建模时要遵循的一个原则.四.模型解析 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机 模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解,其中有些可以借助于计算机 软件来做这些工作。五.模型检
4、验与应用把模型解析得到的结果与实际情况对比,以检验其合理和有效性,检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释,以供 决策者参考称为.不难发现,在上述的五个步骤中,关键的是第三步“模型构成”一一由数字、字母或其 它数学符号组成的,描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。所以说模型构成是数 学建模的核心,它和数学的关系最密切。所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型(即 解决实际问题的数学描述)。通常所说的数学建模实际上就是:寻找有用的数学模型的过程为了避免作业书写中不必要的繁琐,通常用“分析”,“假设”,“模型”,“解析”,“检验”来表示数学建模的五个不同步
5、骤,虽然每题不一定面面俱到,但假设,模型,解析三个步骤 要求明确目录1.接触数学建模2.初识数学建模3.了解数学建模4.认知数学建模5.理解数学建模6.熟悉数学建模7.掌握数学建模8.应用数学建模9.巧用数学建模10.融通数学建模1 一副扑克牌有54张,从中任取 7 8 7。9多少张,可以保证一定有5张牌的花色 3 ,.9是一样的?“4分析 一副扑克共54张牌,除去大、小鬼还有a张牌,其中4种花色各口张在运气最佳的情况下,只需取张牌就可得到同一花色的8张牌。那问题来了,运气最不佳时至少要取多少张牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢?假设 假定至少要取N张扑克牌,才能保证一定有5张牌的花色是
6、一样的。模型 逆向思考问题(考虑极端情况)解析 在运气最不好的情况下,每种花色各有4张,再加大、小鬼2张,共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能。所以 =4x 4+2+1=19检验 即从14张扑克牌中任取N张,可以保证一定有B张牌的花色是一样的.在很多情况下采用逆向地思考问题,可以使解题思路清晰、便捷.练习题从开始写后面的自然数,一直写到I Mo问:总共要写多少个“”?【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑,猫便紧追。猫的步子大,它跑5 步的路程,老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快,猫跑2步的时间,老鼠能跑3步。问:按此速度猫能追得上老鼠吗?如果能,它要跑多少步才能
7、追到呢?假设 此题两间可归结为一个问题:假定猫跑x步就能追上老鼠模型 求猫与老鼠之间频率的最小公倍数解析 由频率关系可知,老鼠跑3x 3=9步的时间等于猫跑2x 3=6步的时间.根据路程关系知,猫跑I步其中有I步是追上老鼠的路程可得本题的数学模型为10-2=06解得x=60(步)检验 由此可见,按照现有速度,猫要跑S步才能追得上老鼠.练习题从日历上查得2015年元旦是星期四,请你推算出2017年元旦为星期几?31用长为40米的篱笆,一面靠墙围成一个养鸡场。现有如下三个方案:方案一:围成一个等腰三角形状,其面积记为S;方案二:围成一个长方形,其面积记为s2;方案三:围成一个半圆形,其面积记为S3
8、/,/(1)求方案一的最大面积;(2)求方案二的最大面积;(3)比较三个方案,哪个方案所围成的面积最大,最大面积为多少?分析 方案三其面积3=我(定值),S,2均可求其最大值,取三者中的最大值。P 一假设 设三角形的顶角为a,则根据三角形的正弦定理S,=9仓必0 20?sin a 200 sin a1 2设长方形宽为,则S2=%(40-2x)模型 定义函数:/=SpSz.SsLax为三者中取最大值.解析 由200sina知,当且仅当=时,S的最大值为2H平方米.2由S2=x(40-2%)知,当且仅当=10时,S2的最大值为2平方米.$3=口 254.65平方米 P所以,S2,S31Mx=53检
9、验 在三个方案中,方案三所围成的面积最大(围成一个半圆形),最大面积约为 254.65平方米.练习题某单位招聘了b名新员工,总经理要把他们安排在三个组,每组两人,问共有多少种 安排方式?【4】国庆长假期间,小李需要租用了汽车租赁公司一辆桑塔拉汽车外出旅游.汽车租赁公 司与小李签订的租车合同中约定,次日下午I时前交车按一天计,交车时验车.租车的收费 标准见表.车型基本租金(元/辆、天)里程收费(元/km)桑塔纳2005小李在国庆前一天到租车公司取了车,同时交付了 元押金.长假第天下午,时,他还车时支付了 X元租车费(含押金).问小李驾车行驶了多少假设 I小李的租车费为,元,汽车行驶了而*.2.租
10、车时间不到一天按一天计.3小李在租车期间没有造成汽车损坏,2BM元租车费为基本租金与驾车里程收费 之和.模型 一次函数丁二丘+的对应关系解析 由问题知道,小李共租用了 天汽车.租车费用,为基本租金AX,与汽车行程 费用加之和.因此,租车费用与车程之间的关系为y=200 x 5+5x即 y=5x 4-1000将31H代入公式中的y,得2800=5%+1000解得了=360(碗)由此可知,国庆期间小李驾车行驶了号练习题某电影院第一次买票不到30张,每张票价41元,第二次卖票不少于30张,其中29张 的票价是40元,其余的每张票价30元,这两次票房收入公2351元,那么这两次共卖出电 影票多少张?【
11、5】小黑去菜市场回来,告诉爸爸他一共买了 4样菜:4根黄瓜、3个西红柿、I个土 豆、,个辣椒。“黄瓜每根I分钱,辣椒每个分钱,”小黑对爸爸说,“一共花了 I元9 角钱。”“这笔帐不对,”爸爸笑着说,一定是算错了。”“您还不知道土豆每个多少钱、西红柿每个多少钱,怎么就知道错了呢:”“你再算一遍吧,肯定是错了。”爸爸肯定地说。小黑又仔仔细细算了一遍,真的是算错了。怪了,爸爸是怎么知道的呢1:分析 如果小黑说法无误,那么3个西红柿加I个土豆共花去I元零I分,假设 西红柿与土豆的价格分别为、y分.模型 不定方程的整数解解析 根据条件得:3x+6y=101=y=1013-6因为101不是3的正整数倍,所
12、以101-3%不能被6整除,即y没有正整数解,也就是说土豆的价格无论为几分,其“3个西红柿加I个土豆”不可能一 共花去I元零I分.检验重要的是要理清内在的逻辑关系对于不定方程的求解需化为分式比较容易分 析.练习题有一个四位数,其值与它各位上的数子之和为1972,问此四位数为何?【6】有人邀请A,昆C,D,瓦厂六个人参加一个会议,这六个人有些奇怪,他们提出了如 下要求:1.A 8两人至少有一人参加会议2.A,E,尸三人中有二人参加会议3.8和。两人一致决定,要么两人都去,要么两人都不去。4.A,。两人中只有一人参加会议5.C,。两人中也只有一人参加会议6.如果。不去,那么后也决定不去请在满足上述
13、条件的基础上,推断最后究竟有哪几个人出席了会议。分析 找出其中关系最少的F,以此为突破口,所以从条件2开始讨论。假设 由条件2分别假定F不参加会议A不参加会议E不参加会议,分三种情况讨论模型 利用数学中的数理逻辑用语(充分条件)“n解析 由条件2不妨假定F不参加会议,则都参加。由此根据条件4推知。不参力口,由条件6知后也决定不去,和前面“A,石都参加”矛盾。所以假定F不参加 会议是错的。假定F参加会议,则A不参加会议,1参加。由条件1知8参加,由条件3知。也参加,条件5知。不参加,条件6知E也不参加,与前面“E参加”矛盾。假定F参加会议,则A参加且E不参加会议,由条件4知。不参加,由条件6 知
14、也不参加(相符),由条件5知。参加会议,由条件3知3参加会议,与条件1 A,8两人至少有一人参加会议不矛盾。检验 由上知A,民C,尸参加会议,不参加会议练习题树林里住着小精灵姐妹俩,姐姐上午说真话,下午说假话;妹妹则和姐姐相反。一位猎 人在树林里迷了路,正巧遇上姐妹俩,并交了朋友。猎人问:“谁是姐姐?”高个儿的说:“是我”。矮个儿的也说:“是我”。猎人又问:“现在是什么时间了?”高个儿的说:“是上午”。矮个儿的说:“是下午”。请推断现在是上午还是下午,哪位是姐姐?【编某企业现有甲种原料 W千克,乙种原料2“千克。计划用这两种原料生产L两种 产品共“件,已知生产一件11产品要用甲种原料3千克,乙
15、种原料3千克;生产一件产 品需要用甲种原料4千克,乙种原料I千克按要求安排卜两种产品的生产件数,求共有 几种安排方案?分析(I)这是一个生产方案优化的问题,可以用数学的方法解决(3)在现有的条件下,估计有若干种方案。Q)为了讨论的方便,可将所给条件列一张表需甲原料(千克)需乙原料(千克)A产品.3产品4N假设(I)设可生产上产品工件,生产,产品y件;(2)W千克甲种原料与千克乙种原料均够用模型 解二元一次方程及不等式组解析根据所给条件有x+y=50-9x+4y 3603%+10yy18j 20ye 18,19,209(50-j)+4j 3603(50-j)+10j x=312 4 8 16 3
16、2检验 按题意验证当箱子里原来有31只梨时,题目条件符合.练习题去年某种货物的进价为S元,公斤,今年该货物的进口量增加了一半,进口价增加了AK问今年该货物的进口价是多少?【方】暑假里,班里共3名学生,其中有姓赵、姓钱、姓孙、姓李、姓周各I位,为了进 行社会调查,需要分成个小组,现要使每个小组的姓都不同,该如何分呢:分析 题目没有问共有多少种分法,而是问如何分,也就是说只要找出方法即可,如何 描述把事情说清楚是关键.假设 以姓氏赵、钱、孙、李、周分成,组,每组I人,用对应的字符4,男,G,2,耳*=1,2,3,4,5,6)表示.用一个大圆作为辅助工具,将其I等分,把46=1,2,3,4,5,6)
17、依次放在圆上的I个等弧上,再将B(i=1,2,3,4,5,6)依次放在圆上的b个等弧上,对C%Ei作同样的操作.此时大圆上已有5个字符(次序以4,耳,D Ei=1,2,3,4,5,6)排列).从圆上任一字符开始,依次两个一组,两个一组,所得9个小组中每个小组的 姓都不同.模型”等分圆特征的利用”.解析 根据分析、假设的讨论即得问题的解答.检验 巧妙利用几何图形,借助其几何特征,使问题的讨论更有条理,这也是一种数学模型.练习题I人参加项活动,要求每人只能参加I项活动,而且每项活动参加的人数都不能相 同,问参加人数第四多的活动最多有多少人?【X】小伟与小林百米赛跑,结果当小伟跑到终点时,小林只跑了
18、“米。小林要求再跑一 次,这次小伟的起跑线比小林退后,米,如果他们都用原来的速度跑,那么能同时到达终点 吗:分析 题目的意思是,小伟与小林跑步速度不变的情况下,在第2次百米赛跑中,小 伟要跑米,小林跑I米,是否可以同时达到?假设 两次赛跑在相同的条件下进行.因为第I次赛跑时,小伟跑,米与小林跑“米所用的时间是一样,所以有 图=史=匕=竺竺,其中匕分别为小伟与小林百米赛跑中的速度.匕 为 95第2次赛跑时小伟所用时间为四,小林所用时间为患.匕 模型 比较分数的大少.解析 两者化为同分母,比较分子的大小.=,V,100%V2 v295即小伟所用时间少于小林所用时间.检验 所以说第2次赛跑两人不能同
19、时到达终点,确切地说还是小伟先到终点.实际上将2次跑步综合起来考虑的话,小伟第2次多跑米的速度肯定比小林第I 次跑余下S米的速度要快.练习题在下列I个()中填上第122屹2,十个数字中的一个(不得 重复),并使各等式成立:()+():()()();()()*()-()()4.认知数学建模【31】学校统计在校学生的体重,现有高一,高二,高三3个年级,已知高一和高二两年级 学生的平均体重为T4,千克,高三年级学生的平均体重为TL3千克.且各年级人数分别为”12问该学校全体学生的平均体重为多少千克:(保留I位小数)假设 由条件知焉=74.0,兀=76.33个年级的人数分别为=100,%=121,%=
20、80模型加权平均值的计算热=+%3/+%+%解析因为看=%十%2一&+%(4+%)玉2=玉+n2X2“玉+n2x2=(100+121)x 74.0=16354所以_ 4%+%2+%&_ 16354+80 x 76.34 23+.+4 100+121+80-74.6(千克)检验 石。士守上是本题的关键点练习题要建造一个容积为立方米,深为4米得长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别 为元,平方米和IH元,平方米,问该水池的最低造价是多少?【8】2MI个学生排成一排,从左向右I至2报数,与从右向左I至报数,其中两种报 数时多是偶数的共有多少人分析 根据题目中条件的周期性,可采用通过局部(I个)结论
21、推广到全体的方法.假设不妨取最右端的局部:1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001 44不难得出,在最右的I个数字中满足条件的只有2个.模型 数型结合法解析 2x2001T=400(人)10检验 两种报数时多是偶数的共有4H人.练习题老板有三个女儿,其中一对为卵生姐妹.把三个女儿的年龄加起来等于15岁,把三个女 儿的年龄乘起来等于44岁,如何求出老板三个女儿的各个年龄?【33】向辉到花店买花,口袋里仅有24元钱,向辉打算买6支玫瑰花和3支百合花,发现 口袋里的钱不够;如果买4支玫瑰和5支百合时,又多出2元多钱.请问买2支玫瑰和买3 支百
22、合哪个价格高?分析此为用不等式来解得应用题假设 设买1支玫瑰要元,买1支百合要y,买6支玫瑰花和3支百合时24元钱不够:6%+3y 24,买6支玫瑰花和3支百合花时多出2元多钱(即22元有余):4%+5y V 22模型 解二元一次不等式组解析由题意得6%+3y 244%+5y V 22(1)(2)消元法解此二元一次不等式组,2x(1)3x(2),消去,得9yv l 8=3yv 6 5x(l)-2x(2),消去%得 18%54=2%6所以2%3y,2支玫瑰比3支百合价格高检验 买2支玫瑰比买3支百合价格贵.在本题模型解析时用到了不等式的基本性质:ab,ca-cb-d,即“大减小得大练习题某中学举
23、行了一次数学解题比赛(满分100),A,B,C,D,E五人的得分是不相等 的整数.A说:“我得了 94分。”B说:“我在五人中得分最高。”C说:“我的得分是A和D的平均分数D说:“我的得分恰好是五人的平均数E说:“我比C多得2分,在我们五人中是第二名。”问:这五个人各得了多少分?34小新开着一艘帆船在河里航行,一阵狂风吹来,把小新的草帽吹落水中,6分钟后 小新才发现草帽被风吹走了,于是开船返回去追,试问小新需要几分钟方可追上落水的草帽.分析此题按帆船逆水与顺水两种情况讨论假设 设船速为米/分,水速为y米/分当船顺水行驶时,船6分钟共向前行驶路程为6(X+y),草帽向前漂的路程为6y,两者相距6
24、%.当船逆水行驶时,船6分钟共向前行驶路程为6(X-y),草帽向后漂的路程为6y,两者相距6(%y)+6y=6%.模型船要追上草帽所需时间=船帽距离/船行速度解析 船要追上草帽所需时间=6犬/%=6(分钟)检验由上述推论可知,船往回返到追上草帽所需时间同等于草帽落水到发现草帽落 水所化时间,此结论对判断能否打捞草帽十分有用.知识链接:幻方是由1到2的自然数按一定规则排成n行,n列的方阵.方阵中每一横行,每一纵列以及 每一条对角线上n个数的和全是相等的.由于它变幻无穷,引来国际众多数学家为之绞尽脑汁.四阶幻方是 被大众所喜闻乐见的一种智力游戏.35问在3点几分时时钟的分针与时针在一条直线上?分析
25、 时针速度是分针速度的工,分针走1分钟相当于顺时钟转动6度(60分钟一 12个周角,等于360度)假设 设3点1分时时钟的分针与时针在一条直线上.时钟的分针与时针在一条直线上有两种可能,其一:分针与时针重合;其二:分针与时针成180度模型(1)分针与时针重合时有6(%-三)=90(分针由3点整时,到分针与时 针重合共追赶上时针90度)(2)分针与时针成180度时有6(x-)=90+180 x 4.解析(1)6(%)=90=%=16(分);12 11X 1(2)6(%-)=90+180=49(分)4 1检验 即3点16分或3点49时,分针与时针在一条直线上.11 11练习题(1)(2)问在4点与
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