高中数学竞赛中递推数列问题的求解策略.pdf
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1、48中学数学研究2023 年第 9 期(上)高中数学竞赛中递推数列问题的求解策略宁夏银川一中(750000)潘长江摘要高中数学竞赛中的数列试题,通常以递推公式的形式出现,解题的关键是如何将递推关系转化为通项公式,本文通过典型示例归纳总结这类问题的求解策略.关键词 数学竞赛;递推公式;通项公式;转化策略数列是高中数学竞赛的必考内容,考题通常以递推公式的形式出现,考查数列的通项、前 n 项和及涉及到的数列不等式等问题,体现了转化与化归的数学思想方法,落实直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.解题的关键是如何将递推关系转化为通项,本文通过典型示例归纳总结这类问题的求解策略.1.次数不同,两边取对数
2、例 1(2021 浙江金华高中竞赛)设 a1=1,a2=2,an=2a3n1an2(n 3),则a8 a16(a2+a4)(a4+a8)=.分析题目所给的递推式 an=2a3n1an2(n 3)不含项数 n,且 an,an1,an2的次数不同,通过取对数将其转化为相同次数的项,然后求解.解析 由已知 an 0,所以an=2a3n1an2=an12an1an2anan1=2an1an2,两边取对数得 log2anan1=12log2an1an2+12,令 bn=log2anan1,则 bn=12bn1+12.即bn 1=12(bn1 1)=(12)2(bn2 1)=(12)n2(b2 1).而
3、b2=log2a2a1=1,所以 b2 1=0,于是 bn 1=0,即 bn=1,所以anan1=2(n 3),由于 a1=1,a2=2,所以数列 an 是以 2 为公比,1 为首项的等比数列,所以an=2n1.故a8 a16(a2+a4)(a4+a8)=24.点评解答本题的关键是给已知递推式取对数转化为log2anan1=12log2an1an2+12,再通过换元转化为线性递推关系 bn=12bn1+12,从而求得 bn,然后再求 an.一般地,当所给递推关系不含项数 n,项之间是通过乘除、乘方、开方(不含加减)运算连接,且各项的次数不同,可采用两边取对数,将项的次数化相同,再利用线性递推式
4、来求解.2.隔项递推,分奇偶讨论例 2(2021 全 国 高 中 竞 赛)设 数 列 an 的 首 项a1=a=14,且 an+1=12an,n 为偶数;an+14,n 为奇数,求 an.分析本例所给的递推关系是隔项递推,是奇偶项数列,因而对项数 n 分奇、偶项讨论.解析1当 n 为偶数时,令 n=2m(m N),则an+1=a2m+1=12a2m=12a(2m1)+1=12(a2m1+14)a2m+1=12a2m1+18,由待定系数法易得 a2m+114=12(a2m114),且由已知a114=a14=0,所以数列a2m114是以12为公比,以a14为首项的等比数列,因而a2m1=(a14)
5、(12)m1+14;2当 n 为奇数时,令 n=2m 1(m N),则an+1=a2m=a2m1+14=a(2m2)+1+14=12a2m2+14,由待定系数法易得 a2m12=12(a2m212),且由已知a2=a1+14=a+14,即 a212=a 14=0,所以数列a2m12 是以12为公比,以 a 14为首项的等比数列,因而 a2m=(a 14)(12)m1+12.综上可知,an=(a 14)(12)n21+12,n 为偶数;(a 14)(12)n12+14,n 为奇数.点评本题解答的关键是令 n=2m(m N),n=2m 1(m N),分别将奇、偶项数列转化为 a2m+1=12a2m
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