q-Ramanujan渐近公式及q-Ramanujan R-函数.pdf
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1、Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1659-1666http:/q-Ramanujan 渐近公式及 q-Ramanujan R-函数1鲍琪2 王淼坤*2,3褚玉明(1华东师范大学数学科学学院上海2 0 110 0;2 湖州师范学院理学院洋3杭州师范大学数学学院杭州31112 1)摘要:该文将Gauss超几何函数2 Fi的Ramanujan渐近公式及其相关的RamanujanR-函数推广到了基本超几何级数2 1的情形.一方面,给出了2 1的q-Ramanujan渐近公式并定义了q-Ramanujan R-函数;另一方面,着重研究了q-Ramanujan R-函数,证明了包
2、括级数展开式,完全单调性和参数q的单调性在内的一些分析性质作为应用,推导得到q-Ramanujan R-函数的几个渐近不等式。关键词:q-Ramanujan渐近公式;q-Ramanujan R-函数;q-模拟.MR(2020)主题分类:33D05;33D155中图分类号:0 17 4.6文章编号:10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-16 59-0 81背景介绍在本文中,规定0 q0,记I(a)=J t a-1e-t d t 为 Gamma 函数,其对数导数(a)=I(a)/r(a)为 Psi 函数.对任给a,b,cEC且c0,-1,-2,,G a u s s 超几何函数定义为1,a
3、1,Cn=0(c,n)n!其中(a,n)为移位阶乘函数:当 0时,(a,0)=1;当 n N时,(a,n)=a(a+1)(a+2).(n 1)=T(n)/T(a)众所周知,Gauss 超几何级数在拟共形映照理论,解析函数论,模方程理论等数学分支及其物理学、工程学等其它学科都具有重要的应用,众多特殊函数和初等函数都是它的特殊情形和极限情况(参见文献2-5)特别地,当c=+b时,称2Fi(a,b;c;a)为零平衡超几何函数.Ramanujan 给出了零平衡超几何函数当1时的渐近公式,即 Ramanujan渐近公式.I(a)r(b)2F1T(a+6)fientia浙江湖州3130 0 0;文献标识码
4、:Aa,b(a,n)(b,n)2F1a,6;6+log(1-)=R(a,b)+O(1-)log(1-),(1.1)其中R(c,y)=-2-b(a)-b(y),a,y E(0,o0)收稿日期:2 0 2 2-0 7-0 1;修订日期:2 0 2 3-0 3-17E-mail:基金项目:国家自然科学基金(117 0 117 6,1190 10 6 1)Supported by the NSFC(11701176,11901061)*通讯作者(1.2)1660为 Ramanujan R-函数或 Ramanujan 常数3,6,=_lim78 1/k log n)=0.5772156649.k=-1为
5、 Euler-Mascheroni 常数.当 y=1-(0 0,Rey 0,(q;q)I,()(1-q)-=(1-q)-II(qm;q)0n=o-qn+8ba(c)=log(1-Q)+log q Zn=11-qm特别地,当q1时,。和分别退化为经典的和函数.此外,()满足如下高阶导数公式11(1.6)k=1设 ai=1,bj=1为两个复数列,且对所有的j=1,2,,s 有 b;q-,则关于变量的基本超几何级数定义为10,12 a1,a2,*.ar;q,之b1,b2,.:,bs其中(a1,a2,.,a;)n=(a1;q)n(a2;Q).(a;q)nm引理 1.12 对-b0,21满足如下渐近公式
6、(1og)L,(a)r,(b)(1-q)Ta(a+b)(-log g)un+1 X=L,(q,db)+2n=01-qn+1其中La(q,db)=2ba(1)-ba(a)-ba(b).证设 a,b,c,d,eE R,且满足abc=de,lcl0,当y=c-(00;0.(3.1)1-qqlog!qc-1og!%+2ba(1)-20ba(1-q?1-qc-28(1+)2(2n)!n=1证令fi(c)=(1)a(cc),f2(c)=a(1)a(a1),利用 的递推公式(参见文献14(1.10)式)化简得 fi(a)+f2(n)=Ra(z,-2)+2易知()(a)=T1(-1)n+1(2),故(0)=(
7、-1)n+1(e)且ji(a)具有如下麦克劳林级数n!n=1(1+)2C2n21-q(3.2)n!!n=1No.6同理 f)(0)=-n)(1),f2(a)有如下麦克劳林级数nn!n=1结合(3.2)和(3.3)式得Ra(c,c-a)+定理中的第一个等式得证。另一方面,(3.1)式表明Ra(c,c-a)-=22g(1)-=2ba(1)-a(a+1)-ba(1+c-)=fs(a).计算得 ()=-(+1)+(-1)n+1)(1+c-z),于是()=(-1)+1 1)4(/(1+)故 fs()在=c/2处有 Taylor 级数+2(n)()fs(ac)=f332n!n=1=2ba(1)-2g(1+
8、22=2ba(1)-2a(2n)!2n=1定理中的第二个等式得证.在定理3.2 中令=1,便得Ra()的级数展开式.定理3.3对任意E(0,1/2),Rg()有如下级数展开式qlog!Ra():1-qn=1gl-log4+20(1)-20aqlog!1-q1-q1-2根据定理3.3,便得推论3.1记g=2bg(1)=2ba(1/2),下列结论成立(1)函数 rn(a)=R(a)+是(0,1/2)上的绝对单调函数.作为结论,r1(a)从(0,/2)上递增且向下凸.特别地,对任意的E(0,1/2)和qE(0,1),成立不等式qlog%Ra(a)2(1-q鲍琪等:q-Ramanujan 渐近公式及q
9、-Ramanujan R-函数f2(a)=-Z1-qlogqqlog1-qCn2(-1+1-1g)n!n=18(2n)(-1)+1bg(1),Xn!1-q16638(3.3)(-1)nbagn)(c)+ban!n=1qc-alog q1-qc-222Vqlogq)_qlog!q+1一1Vq-1-q(1)log q1-qc-2nC2(2n)X(2n)!n=12(3.4)2n(3.5)(3.6)16642)数 r()=R()+(0/2 到(a+4 4)上述减且向下凸.特别地,对任意的E(0,i/2)和qE(0,1),成立不等式数学物理学报qVol.43 A1-Vq,1-(3.9)1-VQ1-qVq
10、log!qlog!221aq+21-VQ1-q1-q1-q1-q1-:证(1)由(3.4)式得80=-2ri()n=1(2n)!(1.6)式表明对任意 n E N,有8(2n)(1)=(log g)2n+1)k=11-qk将上式代入(3.8)式,不难发现,r1()是(0,1/2)上的绝对单调函数,故r1(c)在(0,1/2)上递增且向下凸,根据(3.8)式,易知r(0)=0:由Ra()的定义得r1(1/2)=g+%:不等式(3.6)显然成立.(2)由(3.5)式得同理,(1.6)式表明:对任意nEN有32容易证明,对任意给定的nN,函数(-1/2)2n在(0,1/2)上递减且向下凸:将上式代入
11、(3.9)式,可以看出,r2(a))在(0,1/2)上递减且向下凸。因为r2(a)=1(a)+1%2,所以qlog!qlogql-a log!十(2n1)3(2mr2(ac)=2ba(1)-22a2,(2n)logQ)2n+1k=11-qk(3.7)2n(3.8)0.1-Vq2n(2n)!2n=180时,limqhlogq=0,结合(1.5)式,得_limRa()=0.依文献15,定理1,q0+ba(a)=-log(1-)+log aZn=0-qn+1-将其代入(2.8)式得qn+1(1-q*-1)8Ra(a)=log q)(1-qn+1)(1-qnm)+log a)n=(0q0+88qn+1
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