两矩阵和的Drazin逆表示.pdf
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1、 第6 1卷 第4期吉 林 大 学 学 报(理 学 版)V o l.6 1 N o.4 2 0 2 3年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3d o i:1 0.1 3 4 1 3/j.c n k i.j d x b l x b.2 0 2 2 4 8 1两矩阵和的D r a z i n逆表示郭 丽,王安琪,侯 宇,栾 天(北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林1 3 2 0 1 3)摘要:考虑两个矩阵之和的D r a z i n逆的表示.对于n阶矩阵P
2、,Q,利用C l i n e公式及D r a z i n逆的性质给出在P2Q P2=0,P3Q P=0,P Q3=0,P Q2P=0,P2Q P Q=0等条件下两矩阵和P+Q的D r a z i n逆的表达式.关键词:广义逆;D r a z i n逆;指标中图分类号:O 1 5 1.2 1 文献标志码:A 文章编号:1 6 7 1-5 4 8 9(2 0 2 3)0 4-0 7 3 9-0 6R e p r e s e n t a t i o n so fD r a z i nI n v e r s eo fS u mf o rT w oM a t r i c e sGUOL i,WANGA
3、n q i,HOUY u,L UANT i a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,B e i h u aU n i v e r s i t y,J i l i n1 3 2 0 1 3,J i l i nP r o v i n c e,C h i n a)A b s t r a c t:W ec o n s i d e r e dt h er e p r e s e n t a t i o no ft h eD r a z i ni n v e r s e so ft h es u mf o rt w
4、om a t r i c e s.F o rn-t ho r d e rm a t r i c e sPa n dQ,t h ee x p r e s s i o no f t h eD r a z i ni n v e r s eo f t h es u mf o rt w om a t r i c e sP+Qw a sg i v e nb yu s i n g t h eC l i n e f o r m u l aa n d t h ep r o p e r t i e so fD r a z i n i n v e r s eu n d e r t h e c o n d i t i
5、 o n s s u c ha sP2Q P2=0,P3Q P=0,P Q3=0,P Q2P=0,P2Q P Q=0,e t c.K e y w o r d s:g e n e r a l i z e d i n v e r s e;D r a z i n i n v e r s e;i n d e x收稿日期:2 0 2 2-1 2-0 5.第一作者简介:郭 丽(1 9 8 0),女,汉族,博士,教授,从事广义逆理论及其应用的研究,E-m a i l:g u o m i n g l i 9 51 6 3.c o m.通信作者简介:栾 天(1 9 8 0),女,汉族,博士,教授,从事广义逆计算
6、的研究,E-m a i l:l u a n t i a n 1 6 3.c o m.基金项目:吉林省科技发展计划项目(批准号:Y D Z J 2 0 2 2 0 1 Z Y T S 6 4 8;Y D Z J 2 0 2 2 0 1 Z Y T S 3 2 0)、吉林省教育厅科学技术研究规划项目(批准号:J J KH 2 0 2 1 0 0 2 8 K J;2 0 1 4 2 1 3)和北华大学研究生创新项目(批准号:2 0 2 20 3 1;2 0 2 20 0 2).0 引 言设nn表示nn阶复矩阵的集合.Ann,满足r a n k(Ak+1)=r a n k(Ak)的最小非负整数k,称为
7、A的指标,记为i n d(A)=k.对矩阵A,存在唯一的Xnn,满足A X=X A,X A X=X,Ak+1X=Ak,X称为A的D r a z i n逆1,记X=Ad,A=I-A Ad.D r a z i n逆及其推广在微分方程、积分方程、算子理论、统计学、控制论、M a r k o v链和最优化等领域应用广泛.矩阵和的D r a z i n逆表示问题一直是D r a z i n逆讨论的热点,目前已取得了很多研究成果:D r a z i n2在环中给出了元素a,b在a b=b a=0条件下a+b的D r a z i n逆表达式;H a r t w i g等3在P Q=0的条件下给出了P+Q的D
8、 r a z i n逆表达式;Y a n g等4在P Q P=0,P2Q=0条件下给出了P+Q的D r a z i n逆表达式;文献5-9 分别在一定条件下给出了P+Q的D r a z i n逆表达式.本文在P2Q P2=0,P3Q P=0,P Q3=0,P Q2P=0,P2Q P Q=0等条件下,给出P+Q的D r a z i n逆表达式.引理13 设P,Qnn,且i n d(P)=r,i n d(Q)=s,如果P Q=0,则有(P+Q)d=Qs-1i=0Qi(Pd)i+1+r-1i=0(Qd)i+1PiP.引理21 设Amn,且Bnm,则有(A B)d=A(B A)2)dB.引理31 0
9、设P,Qnn,且i n d(P)=r,i n d(Q)=s,如果P Q P=0,P Q2=0,则有(P+Q)d=Qs-1i=0Qi(Pd)i+1+r-1i=0(Qd)i+1PiP+Qs-1i=0Qi(Pd)i+2Q+r-2i=0(Qd)i+3Pi+1PQ-QdPdQ-(Qd)2P PdQ.1 主要结果定理1 令P,Qnn,且i n d(Q(P+Q)=s,i n d(P(P+Q)=t.如果P2Q P2=0,P3Q P=0,P Q3=0,P Q2P=0,P2Q P Q=0,则有(P+Q)d=s-1i=0(Q(P+Q)(Q(P+Q)i(P(P+Q)d)i+1+t-1i=0(Q(P+Q)d)i+1(P
10、(P+Q)i(P(P+Q)+s-1i=0(Q(P+Q)(Q(P+Q)i(P(P+Q)d)i+2Q(P+Q)+t-2i=0(Q(P+Q)d)i+3(P(P+Q)i+1(P(P+Q)Q(P+Q)-(Q(P+Q)d(P(P+Q)dQ(P+Q)-(Q(P+Q)d)2P(P+Q)(P(P+Q)dQ(P+Q)(P+Q).当n,有(P(P+Q)d)n=i n d(P Q)-1i=0(P Q)(P Q)i(Pd)2(i+n+1)-1+i n d(P2)-1i=0(P Q)d)i+n+1P2i+1P-ni=1(P Q)d)i(Pd)2(n+1-i)-1(P+Q),(Q(P+Q)d)n=Qi n d(Q2)-1i
11、=0Q(Q)2i(P Q)d)i+n+1+i n d(P Q)-1i=0(Qd)2(i+n+1)(P Q)i(P Q)-ni=1(Qd)2i(P Q)d)n-i+1(P+Q),(P(P+Q)=I-i n d(P Q)-1i=0(P Q)(P Q)i(Pd)2i+1+i n d(P2)i=0(P Q)d)i+1P2i+1P(P+Q),(Q(P+Q)=I-i n d(Q2)-1i=0(Q)2i+1(P Q)d)i+1+i n d(P Q)-1i=0(Qd)2i+1(P Q)i(P Q)(P+Q).(1)证明:由D r a z i n逆的定义可得(P+Q)d=(P+Q)(P+Q)2)d.令F=P(P
12、+Q),G=Q(P+Q),由于P2Q P2=0,P Q3=0,P Q2P=0,P2Q P Q=0,因此F G F=0,F G2=0.由引理3可得(F+G)d=Gi n d(G)-1i=0Gi(Fd)i+1+i n d(F)-1i=0(Gd)i+1FiF+Gi n d(G)-1i=0Gi(Fd)i+2G+i n d(F)-2i=0(Gd)i+3Fi+1FG-GdFdG-(Gd)2F FdG.(2)047 吉 林 大 学 学 报(理 学 版)第6 1卷 又由于F=P(P+Q)=P2+P Q,P2Q P2=0,P2Q P Q=0,故由引理3可得Fd=(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)
13、i(P2)d)i+1+i n d(P2)-1i=0(P Q)d)i+1(P2)i(P2)+(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(P2)d)i+2P Q+i n d(P2)-2i=0(P Q)d)i+3(P2)i+1(P2)P Q-(P Q)d(P2)dP Q-(P Q)d)2P2(P2)dP Q=(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+2+i n d(P2)-1i=0(P Q)d)i+1(P2i)P+(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+3Q+i n d(P2)-2i=0(P Q)d)i+3P2i+2PP Q-(P Q)d(
14、Pd)2P Q-(P Q)d)2P2PdQ.经验证有(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+2+(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+3Q=(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+3(P+Q),且i n d(P2)-1i=0(P Q)d)i+1(P2i)P+i n d(P2)-2i=0(P Q)d)i+3P2i+2PP Q=i n d(P2)i=1(P Q)d)i+1P2i-1P(P+Q)+(P Q)dP-(P Q)d)2P Q+(P Q)d)2P2PdQ,所以Fd=(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q
15、)i(Pd)2i+3(P+Q)+i n d(P2)i=1(P Q)d)i+1P2i-1P(P+Q)+(P Q)dP-(P Q)d)2P Q+(P Q)d)2P2PdQ-(P Q)dPdQ-(P Q)d)2P2PdQ=(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+3(P+Q)+i n d(P2)i=1(P Q)d)i+1P2i-1P(P+Q)+(P Q)dP-(P Q)d-(P Q)dPdQ=(P Q)i n d(P Q)-1i=0(P Q)i(Pd)2i+3(P+Q)+i n d(P2)i=1(P Q)d)i+1P2i-1P(P+Q)-(P Q)dPd(P+Q)=(P Q)
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- 矩阵 Drazin 表示
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