利用一致收敛求和式极限.pdf
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1、利用一致收敛求和式极限舒文豪,邝思颖,胡晓莉*(江汉大学人工智能学院,湖北武汉430056)摘要:和式极限是重要极限问题之一,在数学各分支领域有着广泛的应用。它复杂多样、灵活多变,通常没有固定的解题方法。一道关于函数列一致收敛性的考研题引发了笔者对函数列和式极限问题的思考。通过对和式极限进行适当的变形与整理,构造一致收敛函数,可以巧妙地解决一系列函数列和式极限问题。对所得结论给出了严谨的推理证明,为解决此类问题提供了一般性思路,并通过对典型例题的分析,从而更有利于初学者对此类问题的理解与把握。关键词:一致收敛;和式极限;极限函数中图分类号:O171文献标志码:A文章编号:1673-0143(2
2、023)04-0029-07DOI:10.16389/42-1737/n.2023.04.004The Limit of Sum Form Obtained by Uniformly ConvergentSHU Wenhao,KUANG Siying,HU Xiaoli*(School of Artificial Intelligence,Jianghan University,Wuhan 430056,Hubei,China)Abstract:The limit of sum form is one of the most important limit problem and has a
3、widerange of applications in all branches of mathematics.It is complex,diverse,and flexible,and there is usually no fixed method to solve it.A postgraduate examination question aboutthe uniform convergence of function sequences triggered the author to think about the limit ofsum form with function s
4、equences.By deforming and arranging the limit of the sum formproperly and constructing the uniform convergence function,a series of the limit of the sumform with function sequence problems can be solved skillfully.We give rigorous reasoningproof to the conclusion and provide general ideas for solvin
5、g such problems.Through theanalysis of typical examples,it is helpful for beginners to understand and grasp suchproblems.Key words:uniform convergence;limit of sum form;limit of function0引言笔者先回顾 2022 年华东师范大学硕士研究生入学试题中关于函数列一致收敛性的一道试收稿日期:2022-05-16基金项目:国家自然科学基金资助项目(11501251)作者简介:舒文豪(2001),男,研究方向:人工智能。
6、*通信作者:胡晓莉(1984),女,副教授,博士,研究方向:数学建模、代数和量子信息。E-mail:第 51卷 第 4期2023年 8月江 汉 大 学 学 报(自 然 科 学 版)J.Jianghan Univ.(Nat.Sci.Ed.)Vol.51 No.4Aug.2023江汉大学学报(自然科学版)总第 51卷题,然后拓展到我们所关心的函数列和式极限问题。注:全文中n为正整数,所考虑数域为实数域。设f(x)为在(-,+)上的连续函数,令fn(x)=k=1n1nf()x+kn,其中n=1,2,。证明函数列fn(x)在(-,+)上处处收敛,并指出极限函数。证明fn(x)在任意有限闭区间 a,b
7、上一致收敛。说明:该题的主要考点为函数列的一致收敛性,进一步思考可以发现这是一道可以推而广之的好题。对于问题,由于函数f(x)连续,给定x0(-,+),对区间 x0,x0+1 进行n等分。有fn(x0)=k=1nx0+1-x0nf()x0+()x0+1-x0nk。由 定 积 分 的 定 义 得limn +fn(x0)=x0 x0+1f(t)dt。由 于x0是 任 意 的,故limn +fn(x)=xx+1f(t)dt。因 此,fn(x)的 极 限 函数为xx+1f(t)dt。对于问题,由于|fn(x)-xx+1f(t)dt=|k=0n-1x+knx+k+1nf()x+kn-f(t)dtk=0n
8、-1x+knx+k+1n|f()x+kn-f(t)dt,(1)根据函数f(x)在闭区间 x0,x0+1 的连续性,故f(x)在 x0,x0+1 上一致连续。0,存在()0,使得当|x-y 时,有|f(x)-f(y)。故任给t x+kn,x+k+1n,当|x+kn-t 时,有|f()x+kn-f(t)0,n N,xn a,b,都有|Sn(xn)-S(xn)supn N,x a,b|Sn(x)-S(x)。所以limn +|Sn(xn)-S(xn)=0。定理 1设f(x)在 a,b 上连续,Sn(x)=k=1n1nf()x+kn。设有序列xn满足limn +xn=x0 a,b,若inf xn+1n,
9、sup xn+1 a,b,有Sn(xn)=k=1n1nf()xn+kn,故limn +Sn(xn)=x0 x0+1f(t)dt。证明设数列xn=x0+n,其中limn +n=0。则由引理 1 可知,函数Sn(x)在任意有限闭302023年第 4期区间上都一致收敛。由引理 1 可得,当xn x0+inf n,x0+sup n时,有limn +|Sn(xn)-S(xn)=0。由于该闭区间上的连续函数是一致收敛的,由文献 1 知Sn(x)和函数S(x)在闭区间上连续,由 Heine 定理可得limn +Sn(xn)=S(x0)=x0 x0+1f(t)dt。推论 1若Sn(xn)=k=1n1nf()x
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