基于MSD模型的人-桥耦合效应量化分析及简化计算方法.pdf
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1、第41卷第8 期2023年8 月文章编号:10 0 9-7 7 6 7(2 0 2 3)0 8-0 18 0-10市放技术Journal of Municipal TechnologyVol.41,No.8Aug.2023D0I:10.19922/j.1009-7767.2023.08.180基于MSD模型的人-桥耦合效应量化分析及简化计算方法李枫熠,许坤*(北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室,北京10 0 12 4)摘要:基于行人质量-弹簧-阻尼模型建立了人-桥耦合系统运动方程,并采用复模态分析法获取了系统动力特性。在此基础上,量化分析了频率比、质量比和行人间距对桥梁动力特性的影
2、响规律,提出了考虑人-桥耦合效应的简化计算方法。研究表明:对于大跨度人行桥,行人运动会导致结构实际振动频率和阻尼比的改变,其改变程度和规律受质量比、频率比和行人间距以及结构振型影响,如忽略人-桥耦合效应会高估结构响应。通过修正桥梁动力特性并将行人视为步行力施加到人行桥上,计算出的结构响应与考虑人-桥耦合效应的结构响应基本一致,但计算量大幅降低,表明该方法具有较高的精度,可用于快速预估人致振动响应。关键词:人行桥;质量-弹簧-阻尼模型;人-桥耦合效应;量化分析;简化计算中图分类号:U441.3Quantitative Analysis and Simplified Calculation Met
3、hod of Human-Bridge(Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering of Ministry of Education,Bejing University of TechnologyAbstract:Based on pedestrian mass-spring-damping(MSD)model,the governing equation of the human-bridgecoupling system is established,and the dynamic characteristics of
4、 the system are obtained by complex modal analysismethod.On this basis,the influences of the frequency ratio,mass ratio,and pedestrian spacing on the dynamiccharacteristics of the bridge are quantitatively analyzed to propose a simplified calculation method considering thehuman-bridge coupling effec
5、t.The results show that the pedestrian movement will cause changing in the actual vi-bration frequency and damping ratio of the bridge for long-span footbridges.The magnitude and regularity of the dy-namic change are affected by the human-bridge mass ratio,frequency ratio,pedestrian spacing,as well
6、as the bridgemode.Neglecting the human-bridge coupling effect will cause an overestimation of the bridge response.Throughmodifying the dynamic properties of the bridge and a walking force of the pedestrian imposed on the bridge,the cal-culated structural response compares well with that obtained by
7、considering the human-bridge coupling effect.How-ever,the computation is significantly reduced which indicates that the proposed method can be used for a quickanalysis of the human-induced vibration response of the footbridge because of the good accuracy.Key words:footbridge;mass-spring-damping(MSD)
8、model;human-bridge coupling effect;quantitative analysis;simplified calculation收稿日期:2 0 2 3-0 5-0 2基金项目:国家自然科学基金面上项目:大跨桥梁多模态涡振控制的惯容增效机制及方法(52 17 8 447)作者简介:李枫熠,男,在读硕士研究生,主要研究方向为桥梁人致振动控制。通讯作者:许坤,男,副教授,博士,主要研究方向为桥梁结构动力学与振动控制。引文格式:李枫熠,许坤.基于MSD模型的人-桥耦合效应量化分析及简化计算方法J.市政技术,2 0 2 3,41(8):18 0-18 8,30 3.(LI
9、FY,XU KQuantitative analysis and simplified calculation method of human-bridge interaction based on MSD modelJJ.Journal of municipal tech-nology,2023,41(8):180-188,303.)文献标志码:AInteractionBasedonMSDModelLi Fengyi,XuKun*Beijing 100124,China)第8 期随着经济的发展和人民生活水平的提高,在保证基本跨越功能和通行能力的基础上,人们对于人行桥提出了地标性、观光性等更高
10、层面的要求。为满足上述要求,工程师设计出了新型大跨度人行桥。这些人行桥具有结构轻柔、特征频率和阻尼比低等特点,在行人作用下容易发生大幅振动现象。以伦敦千禧桥为代表的典型人致振动事件2 1使得桥梁工程界对于人行桥的人致振动问题愈发重视。目前大多数设计规范将行人模拟为施加在结构表面的移动步行力。但已有研究表明,将行人模拟为步行力会高估结构的响应3,且进一步改进步行力的表达式并不会提高结构响应的预估精度4。这是因为现有设计规范忽略了行人与结构之间的相互作用(human-structureinteraction,HSI),即人-桥耦合效应。针对人-桥耦合效应的研究,早期一般将行人视为静态的附加质量5,
11、进而考虑由于行人质量带来的结构特征模态频率的降低。Archbold6提出将行人模拟为质量-弹簧-阻尼(mass-spring-damper,MSD)模型,采用该方法计算得到的结构加速度与实际响应仅存在不到10%的误差,且远低于将行人模拟为步行力的响应。Kim等7 进一步提出将行人模拟为两自由度质量-弹簧-阻尼模型,但其计算结果比步行力模型高出了34%。随着生物力学的发展,复杂行人模型也被引人到土木工程领域,如倒立摆模型(inverted-pendulummodels,IPMs)和全身链接段模型(w h o l e b o d y l i n k-s e g m e n t m o d e l
12、s),但倒立摆模型由于大量的假设,其计算结果并不具备普遍性8;全身链接段模型由于自由度过多,难以在真实结构分析中使用9。因此,目前人-桥耦合效应研究主要基于行人的质量-弹簧-阻尼模型(即MSD模型)进行,通过建立MSD-桥梁耦合系统,一方面分析行人对结构动力特性的影响,另一方面分析结构振动对行人步态参数的影响,例如步频、相位角、步幅和步速等10 针对行人对结构动力特性的影响,Zivanovic 等对一个足尺人行结构的测试表明,无论是移动的人还是静止的人,均会带来结构阻尼的增加;此外,静止的人会带来结构频率的增加,而移动的人会带来结构频率的降低。Dong等12 针对德国奥博豪森的Olga人行桥的
13、测试表明,当该桥达到最大行人通过率时,结构振动频率由1.8 0 Hz降低到了1.7 2 Hz,而阻尼比则由0.5%增加到了1.9%。王彩锋13以简支梁李枫熠等:基于MSD模型的人-桥耦合效应量化分析及简化计算方法1人一桥系统运动方程如图1所示,行人MSD模型由3部分组成:行人质量m行人运动刚度bg以及行人运动阻尼cl4。根据行人MSD模型参数,可以计算得到行人的步行频率f和阻尼比,如式(1)所示。7777/777图1单自由度MSD模型Fig.1 Single degree of freedom(SDOF)MSD modelP2Tmp近年来,学者们采用行人步态试验获取MSD模型参数,但不同学者给
14、出的参数存在一定差异。daSilva等15认为体重为7 0 kg、步行频率为2 Hz的行人振动固有频率为2.7 6 1Hz,阻尼比为54.2%;Toso等16 研究表明,行人固有频率为2.0 8 9Hz,阻尼比平均值为47.1%;Zhang等17 研究认为,行人振动频率在1.7 8 1.9 2 Hz之间,阻尼比在2 3.3%38.9%之间。笔者在上述文献取值范围内,根据陈政清等18 所测得的数据,取行人频率为1.8 2 Hz,根据Shahabpoor19的研究,取阻尼比为30%,频率和阻尼比均为其研究中正态分布的均值。行人质量则依据第五次国民体质监测公报取成人平均体重7 3kg。将考虑人-桥耦
15、合效应的系统命名为人一桥耦合系统,将不考虑人-桥耦合效应的系统命名为人一桥非耦合系统。当有一队由np个行人组成的人群通过桥梁时,将其视为稳态匀速行人流,人-桥非耦合181第1阶模态为例,系统分析了行人步行特性和MSD模型参数对结构动力特性的影响。考虑到大跨度人行桥一般采用较为复杂的结构形式,所以基于简支梁的研究结果可能无法反映大跨度人行桥的人-桥耦合效应。笔者在既有研究的基础上,以某大跨度人行斜拉桥为例,分析了MSD模型参数对结构动力特性的影响,在此基础上提出了考虑人-桥耦合效应影响的人致振动简化分析方法。(1)4mf,mpmpCp市放技术182Journal of Municipal Tec
16、hnology系统和人-桥耦合系统的示意图如图2、3所示。图中,fp。表示第z个行人的步行力,x。表示第z个行人所第41卷在的位置,v表示行人速度,up表示第z个行人的竖向动位移。(t)P,n+p.n(t)(t)u(xn,t)Xn-1图2 人-桥非耦合系统Fig.2 Pedestrian-bridge uncoupling systemmp.aTup,n+1kP.n+1行人在桥上的状态可通过状态函数表示3。记第z个行人到达桥梁左端(上桥)的时间为t,到达桥梁右端(下桥)的时间为t=t,+L/v。则第z个行人的状态函数A(t)定义为:A.(t)=H(t-t.)-H(t-t-L/v)=1 t,tt
17、,+L/v。(2)式中:H()为Heaviside函数。由于H(0)=1/2与上文规定不符,故定义H(O)=1,以满足行人状态函数的定义,则A,(t)=1表示第z个行人在桥上,A(t)=0表示第z个行人不在桥上。假定桥梁总自由度数为N,则整个系统的运动方程可表示为:M(ji+Ciy+Kiy=,。式中:M、C、K 分别为人-桥系统的质量、阻尼和刚度矩阵;iy为广义位移向量;f)为广义力向量。对于人-桥非耦合系统,矩阵元素如下所示:M=E;C=C;K=K;1y/=(q1,q2,qn/;A.(t)bi(x.)l=f=1化2-1Lmp:up,nCp,n+1Cp.nV(t)T.n+1M2=1mp.Up.
18、n-1kp.n-1Cp,n-1t)Xn-1L图3人-桥耦合系统Fig.3 Pedestrian-bridge coupling system艺nA.(t)v(x.)z=1MCc=diag(2i01,25i02,.,25ion);Kc=diag(wi,w2,.,w)。00tt式中:Emm为nxn阶单位矩阵;q;为广义坐标;()为第z个行人所在位置处的振型幅值。o tt,+L/v对于人-桥耦合系统,矩阵元素如下所示:EM=M,TCe+CepCi21C=C21CK.+KepK121K=K21K(3)(y/=1q1,q2,qn,up,1,up.2,.A.(t)pi(x.)=f2=1(4)npA.(t)
19、(x.)(5)z=1(6)(7)A,(t)2(x.)M2m.Tup,2-12-1Cp.-1V(t)-1,up.np/;A.(t)d2(x:)M12=1T,0,0,.,0;MNmp.1A;(t)M(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)M2(15)mp.2 A2(t)(16)mp.n,A,(t)第8 期李枫熠等:基于MSD模型的人-桥耦合效应量化分析及简化计算方法183CpA.(t)MI2=1M1Cp21A.(t)2-1M2Cp212A.(t)Cp.2A.(t)2=1M2CpiNA.(t)=1M1Cp2vA.(t)2=1M2(17)CpMA.(t)MuA.(t)M21A.(t)M2M
20、A,(t)2=1MNdi(x)-Cp,.11.(t)Md2(x1)(t)M2C2=:d(xi)M(t)P,1Cp.2n2A,(t)M12A,(t)M2A,(t)M2kp2A.(t)2=1MNdi(x2)-Cp,2A2(t)M1d2(x2)2(t)M2P,2:d(x2)M2(t)P,2Cp.MNINA.(t)M2nA.(t)2=1M2NNA,(t)Z=1MN中(xm)-Cp.nMd2(xm-Cp.npM2:d(xm)Cp.npMN(t)(t)(18);(19)(22)-Cp.1 i(xi)A(t)-Cp.2 i(x2)A2(t)C21=:-Cp.n,bi(xm,)A,(t)C,=diag(cp1
21、/A(t),cp2A2(t),.p.A,(t);di(x1)Ai(t)Md2(x(t)K12=M2:d(x)MN-kp,ibi(xi)A(t)-kp.2i(x2)A2(t)K21=:-kp.npbi(xm)Am(t)K,=diag(hp,Ai(t),kp2A2(t),.,kpmpAm,(t)。式中:;=(x.);(x:)。2系统动力特性求解令式(3)中(fg)=0,可得人-桥耦合系统自由振动-Cp.1 2(xi)A(t)-Cp.2 2(x2)A2(t):)-Cpm,b2(xm,)A,(t)d(x2)A2(t)M1d2(x2M2:d(x2(t)MN-kp.i2(xi)A;(t)-kp22(x2)
22、A2(t):-kp.mp,d2(xmn)Am,(t)-Cp.1 n(xi)A(t)-Cp.2(x2)A2(t):-Cpn,bn(xm)Am(t)M1中2(x2(t)p,npd(xm2(t)MNvp,np-kp.in(xi)A(t)-kp.2(x2)A2(t):-kpunpn(xm)Am,(t)运动方程:Mij+C(y+Kiy=O。人群上、下桥过程中,式(2 5)中的质量矩阵、阻(20)(21)M2,:(23)(24)(25)市放技术184Journal of Municipal Technology尼矩阵和刚度矩阵的元素及维数均为时变矩阵,传统的振型分解法无法解耦,因此需采用复模态法131求解
23、人-桥耦合系统的模态参数,引人:CMM0(K 0 K=(0-M 则式(2 5)的状态空间方程为:M(z+K(z=0。设式(2 7)的解为:iz/=pe。式中:s为特征值;为特征向量。将式(2 8)代人式(2 7)得特征方程:(29)求解式(2 9)得到N+np对复共轭特征值,其中桥梁的特征值记为si则桥梁第i阶固有频率和阻尼比分别为:f=2元利用Matlab自编程序求解式(30),时间步长取Tab.1 Parameters and curves of 1st and 3th vibration modes of the pedestrian bridge振型阶数固有频率/Hz10.791第41
24、卷0.01s,可得到考虑人-桥耦合效应的桥梁固有频率和阻尼比。3案例分析3.1桥梁参数及人致振动响应以某双塔双索面人行斜拉桥为例,其长度为(26)215m,其中主跨为110 m,两边跨分别为52.5m,桥面宽度为6 m,其模型如图4所示;人行桥第1阶和第3阶竖弯模态动力特性如表1所示。由于第3(27)阶振型的固有频率最接近行人步行频率,因此以第3阶振型为例,利用4阶龙格库塔法求解桥梁的振(28)动响应,时间步长取为0.0 1s,行人步速统一取为1.075 m/s。(sM+K)=0。Re(s;)/;,=Isil(30)表1人行桥1、3阶振型参数和振型形状阻尼比/%0.4图4桥梁模型图Fig.4
25、Bridge model振型形状31.9990.4该研究中行人荷载表达式为:f(t)=730 x0.306xsin(2x1.82t)。(31)图5分别给出了桥上有40、32 0、8 0 0 人时,人-桥耦合系统和人-桥非耦合系统的位移和加速度响应对比。从图5可以看出,人-桥耦合系统的响应较人一桥非耦合系统的响应更小,而且随着行人数量的增加,两个系统的响应幅值相差越来越大,并且响应出现了相位差。这表明两个系统的振动频率出现了较为明显的差异。由以上结果可得,考虑人-桥耦合效应的结构响应小于不考虑人-桥耦合效应的结构响应,因此忽略行人对结构动力特性的改变会导致明显的计算误差。3.2频率比和质量比影响
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