概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用.pdf
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1、第 35 卷 第3期2023年 6 月六盘水师范学院学报Journal of Liupanshui Normal UniversityVol.35 No.3Jun.2023杨彦坡,等:概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用杨彦坡,宁宝权,陈跃,王宣(六盘水师范学院数学与统计学院,贵州 六盘水 553004)摘要:概率对偶犹豫模糊集由于能够同时表达随机性与模糊性而被广为关注,而距离测度在模式识别、医疗诊断、多属性决策等诸多可以使用概率对偶犹豫模糊集进行建模的研究领域中起着至关重要的作用。但目前已有的概率对偶犹豫模糊集的距离依然存在一定
2、的缺陷,因此,首先定义了概率对偶犹豫模糊元隶属度和非隶属度的上界、下界、均值、标准差与犹豫度,从不同侧面来反映其隶属度与非隶属度的取值信息;其次,基于以上所定义的5个指标提出了两个概率对偶犹豫模糊元之间的标准汉明距离、标准欧氏距离、标准广义距离及其加权形式,并且证明了所提出的新的概率对偶犹豫模糊距离及其加权形式均满足三角不等式;同时我们还研究了两个概率犹豫模糊集之间的标准汉明距离、标准欧氏距离、标准广义距离及其加权形式。最后,通过一个医疗诊断的例子说明提出的距离测度的有效性与实用性。关键词:概率对偶犹豫模糊集;距离测度;三角不等式;医疗诊断中图分类号:O225文献标识码:A文章编号:1671-
3、055X(2023)03-0112-09DOI:10.16595/j.1671-055X.2023.03.012由于现实世界的复杂性以及人类认知的局限性,人们对一些事物的描述难以做到精确。于是,扎德(Zadeh)1在1965年提出了模糊集这一数学对象,用来量化具有模糊性的社会生产生活现象,以便进一步利用数学的方法为人们的社会生产实践提供更可靠的指导性意见。模糊集一经提出,就产生了巨大影响并被学者们广泛接受与深入研究。托拉(Torra)和鸣川(Narukawa)2,3认为单单一个隶属度值不能反映人们的犹豫性这一心理现象,于是提出了允许存在多个隶属度值的犹豫模糊集。因犹豫模糊集能够更好地描述模糊现
4、象,从而引起了很多学者的关注,如徐(Xu)和夏(Xia)4研究了犹豫模糊集的信息测度、距离以及相似度,朱(Zhu)等人5提出了多种犹豫模糊融合算子并将其应用到多属性决策制定中,李(Li)等人6,7给出了犹豫度的定义并将其运用到构造犹豫模糊集之间的距离中。阿塔纳索夫(Atanassov)8提出能够同时从隶属度与非隶属度两方面表达模糊信息的直觉模糊集。为了使得模糊集能够同时从多方面充分反映人们认知的模糊性与不确定性,朱(Zhu)等人9结合犹豫模糊集和直觉模糊集的优势提出了对偶犹豫模糊集。对偶犹豫模糊集的隶属度与非隶属度均由多个值组成,既能从两方面表达模糊信息,又能够反映人们面对事物时常常犹豫不决这
5、一心理特征。之后,学者们对偶犹豫模糊集展开了多方面的深入研究,如王(Wang)等人10和鞠(Ju)等人11,12研究了对偶犹豫模糊集的融合算子,苏(Su)等人13和王(Wang)等人14研究了犹豫模糊集的距离测度。近年来,郝(Hao)等人15意识到在实际生活中模糊性和随机性经常同时发生,而以往的各种模糊集仅能反映模糊信息却忽略了取值的概率信息,因此提出了概率对偶犹豫模糊集并将其应用到风险评估当中。赵(Zhao)等人16研究了概率对偶犹豫模糊环收稿日期:2023-03-06基金项目:六盘水师范学院2022年一流本科课程培育项目“概率论与数理统计”(2022-03-012);六盘水师范学院2022
6、年一流本科课程培育项目“高等数学”(2022-03-028)。作者简介:杨彦坡,男,主要从事模糊集理论、智能决策研究;宁宝权,男,在读博士,教授,主要从事智能决策、模糊信息测度研究;陈跃,男,土家族,讲师,主要从事模糊集理论、粗糙集理论、三支决策、拟阵研究;王宣,女,讲师,主要从事模糊数学、冲突分析研究。-112杨彦坡,等:概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用境下的多属性群决策制定,加格(Garg)和考尔(Kaur)17用概率对偶犹豫模糊集量化脑出血患者的手势信息,为对病人的进一步诊断治疗提供了基础,宁(Ning)等人18从离散和连续、有序和无序视角系统地提出了概率对偶犹豫模糊集
7、的距离与相似度,为概率对偶犹豫模糊环境下的决策制定奠定了理论基础。在模式识别、数据挖掘、医疗诊断、多属性决策制定等诸多领域中19,距离测度起到了十分关键的作用。当有模糊性存在时,这些实际问题常常须用模糊集来阐述,于是对各种模糊集的距离进行研究成为学者们关注的热点20。通过阅读文献,发现研究者们对概率对偶犹豫模糊集的距离研究仍比较少,这严重阻碍了概率对偶犹豫模糊集的实际应用。本文从理论与实际需要出发,基于概率对偶犹豫模糊元的5个重要指标10个数值表示提出了概率对偶犹豫模糊元以及概率对偶犹豫模糊集的标准化汉明距离、标准化欧氏距离与标准化推广距离及其赋权形式并将其推广到概率对偶犹豫模糊集上。1预备知
8、识简要回顾模糊集、犹豫模糊集、对偶犹豫模糊集以及概率对偶犹豫模糊集的定义。下文中,总是用非空有限集合X=x1,x2,xn表示论域。为了描述模糊现象,Zadeh1提出了模糊集的概念。这一概念推广了集合论中元素与集合的关系,将元素严格属于和严格不属于某个集合,弱化为在一定程度上属于这一集合,从而形成了模糊集的定义。定义1.1论域集X上的模糊集定义为A=()x,A()x|xX,其中,A()x是取值于单位区间0,1的一个实数,表示论域X中元素x对集合A的隶属度。在实际决策过程中,人们往往由于难以抉择而犹豫不定,从而给出多个结果。在数学语言下,就表现为多个取值,考虑到人们的这一心理特征,Torra和Na
9、rukawa2,3提出了犹豫模糊集的概念。定义1.2论域X上的一个犹豫模糊集表示为E=()x,hE(x)|xX,其中,hE(x)是单位区间0,1的非空有限子集,表示元素x对E的所有可能隶属度取值之集,且称h(x)=hE()x是一个犹豫模糊元。直觉模糊集中引入了非隶属度这一概念,和隶属度一起从两方面更好地表达了模糊信息。Zhu等人9将非隶属度引入到犹豫模糊集中,提出了如下的对偶犹豫模糊集。定义1.3论域X上的对偶犹豫模糊集具有d=()x,h()x,g()x|xX形 式,其 中h(x)和g()x均是单位区间0,1的非空有限子集,分别表示元素x的所有可能隶属度取值之集和所有可能的非隶属度取值之集。此
10、外,0,1,0+1,其中,h()x,g()x;+h+()x=xXmaxh()x,+g+()x=xXmaxg()x .虽然对偶犹豫模糊集能够充分反映模糊现象,但每个取值的可能性相同这一设定仍然不能很好地反映人们的心理现象。实际生活中,由于每个取值可能性大小不同,在描述模糊信息时应把这一分布情况表示出来,于是,郝(Hao)等人15提出了概率对偶犹豫模糊集这一概念。定义1.4论域X上的一个概率对偶犹豫模糊集定义为P=:xX,其中,h(x)|p(x)是元素xX的隶属度及其对应的概率构成之集且h(x)是隶属度集,g(x)|q(x)是x的非隶属度及其对应的概率构成之集且g(x)是非隶属度集。并且,xX,h
11、(x),g(x),0,1,且0+1,其中,-113六盘水师范学院学报+h+()x=xXmaxh()x,+h+()x=xXmaxh()x,+g+()x=xXmaxg()x .并且,对于xX,pp(x),qq(x),有0p,q1,且pp()xp=1,qq()xq=1.此 外,为 了 计 算 与 应 用 上 的 方 便,称p=是一个概率对偶犹豫模糊元,简记为p=。2概率对偶犹豫模糊元的距离测度首先定义几个能够从不同方面反映概率对偶犹豫模糊元内部隶属度与非隶属度取值信息及概率取值信息的量;之后在这几个量的基础上,给出两个对偶犹豫模糊元之间的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离,并证明这三个距离都满
12、足三角不等式;接着,考虑到不同的量可能具有不同的重要性,进一步提出两个对偶犹豫模糊元之间的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离与标准赋权广义距离并指出这三个赋权形式的距离也都满足三角不等式。在对偶犹豫模糊环境中,曾(Zeng)等人21给出了对偶犹豫模糊元的上界和下界的概念。这里,本文将其推广,给出概率对偶犹豫模糊元的上界、下界的概念。定义2.1对于给定的一个概率对偶犹豫模糊元p=,称p+=为p的上界,称p-=为p的下界,其中()|p+是满足条件p=maxi|pih(x)|p(x)ipi的隶属度概率对|p,()|q+是满足条件q=mini|qig(x)|q(x)iqi的 非 隶 属 度 概 率 对
13、|q,()|p-是 满 足 条 件p=mini|pih(x)|p(x)ipi的隶属度概率对,()|q+是满足条件q=maxi|qig(x)|q(x)iqi的非隶属度概率对。注2.1在()|p+的定义中,若有多个隶属度概率对的隶属度与概率乘积均达到最大值,本文取概率最大的那一对,在()|q+的定义中,若有多个非隶属度概率对的非隶属度与概率乘积均达最小值,取概率最小的那一对,其余的情况可类似给出。为了反应概率对偶犹豫模糊元在取值方面的信息,给出其上界的值以及下界的值的定义。定义2.2对于概率对偶犹豫模糊元p=,称a()p+=a()|p+,a()|q+=maxi|pi(x)|p(x)ipi,mini
14、|qi(x)|q(x)iqi和a()p-=a()|p-,a()|q-=mini|pi(x)|p(x)ipi,maxi|qi(x)|q(x)iqi,分别为上界p+与下界p-的值。接下来,对于概率对偶犹豫模糊元,为了衡量取值的平均情况以及取值在均值附近的波动程度,给出概率犹豫模糊元的均值与标准差这两个指标。定义2.3对于概率对偶犹豫模糊元p=,称m()p=mh|p,mg|q=1l()h|pi|pih|pipi,1l()g|qi|qig|qiqi和v()p=vh|p,vg|q=1l()h|pi|pih|p()ipi-mh|p2,1l()g|qi|qig|q()iqi-mg|q2,分别为p的均值与标准
15、差,其中l()h|p与l()g|q分别表示h|p和g|q中的元素个数。-114杨彦坡,等:概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用为了反映决策者的心理特征,提出概率对偶犹豫模糊元的犹豫度这一概念。定义2.4对于概率对偶犹豫模糊元p=,称u()d=uh|p,ug|q=1-1l(h|p),1-1l(g|q)为p的犹豫度。注2.2由生活经验可知,面对一个模糊决策问题时,人们越是犹豫不决,给出的结果数目越多,因此犹豫度应是一个关于结果数目的增函数,定义2.4中给出的定义符合这一要求。接下来,基于上述概率对偶犹豫模糊元p的上界p+的值、下界p-的值、均值、标准差以及犹豫度5个指标共10个量,我
16、们给出概率对偶犹豫模糊元p1和p2的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离。定 义 2.5对 于 概 率 对 偶 犹 豫 模 糊 元p1=和p2=,分别称d1()p1,p2=110|a1()|p+-a2()|p+|a1()|p-a2()|p-+|a1()|q+-a2()|q+|a1()|q-a2()|q-+|m1h|p-m2h|p+|m1g|q-m2g|q+|v1h|p-v2h|p+|v1g|q-v2g|q+|u1h|p-u2h|p+|u1g|q-u2g|q,d2()p1,p2=110a1()|p+-a2()|p+2+a1()|p-a2()|p-2+(a1()|q+)-a2()|q+2+a1
17、()|q-a2()|q-2+()m1h|p-m2h|p2+()m1g|q-m2g|q2+()v1h|p-v2h|p2+()v1h|p-v2h|p2)+()u1h|p-u2h|p2+()u1g|q-u2g|q212,d3()p1,p2=110|a1()|p+-a2()|p+|a1()|p-a2()|p-+|a1()|q+-a2()|q+|a1()|q-a2()|q-+|m1h|p-m2h|p+|m1g|q-m2g|q+|v1h|p-v2h|p+|v1h|p-v2h|p+|u1h|p-u2h|p)+|u1g|q-u2g|q1,1,为p1与p2的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离。在距离的公理
18、化定义中,要求满足三角不等式。下面,说明p1与p2的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离满足这一要求。定理2.1设p1,p2,p3是三个概率对偶犹豫模糊元,则d1()p1,p3d1()p1,p2+d1()p2,p3,即标准汉明距离d1满足三角不等式。证明:由基本的绝对值三角不等式可得:d1()p1,p3=110|a1()|p+-a3()|p+|a1()|p-a3()|p-+|a1()|q+-a3()|q+|a1()|q-a3()|q-+|m1h|p-m3h|p+|m1g|q-m3g|q+|v1h|p-v3h|p+|v1g|q-v3g|q+|u1h|p-u3h|p+|u1g|q-u3g|q1
19、10|a1()|p+-a2()|p+|a1()|p-a2()|p-+|a1()|q+-a2()|q+|a1()|q-a2()|q-+|m1h|p-m2h|p+|m1g|q-m2g|q+|v1h|p-v2h|p+|v1g|q-v2g|q+|u1h|p-u2h|p+|u1g|q-u2g|q-115六盘水师范学院学报+110|a2()|p+-a3()|p+|a2()|p-a3()|p-+|a2()|q+-a3()|q+|a2()|q-a3()|q-+|m2h|p-m3h|p+|m2g|q-m3g|q+|v2h|p-v3h|p+|v2g|q-v3g|q+|u2h|p-u3h|p+|u2g|q-u3g|
20、q=d1()p1,p2+d1()p2,p3,从而标准汉明距离d1满足三角不等式。定理2.2标准欧氏距离d2与标准广义距离d3均满足三角不等式。类似于定理2.1,并利用闵可夫斯基不等式,可以立即给出此定理的证明,在此略去。在很多情况下,这5个指标10个量的重要程度不同,考虑到这点,给出如下的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离以及标准赋权广义距离。定 义 2.6对 于 概 率 对 偶 犹 豫 模 糊 元p1=和p2=,以及满足条件0wi1,i=1,2,10且i=110wi=1的权重向量w=()w1,w2,w10T,分别称dw1()p1,p2=w1|a1()|p+-a2()|p+w2|a1()|p-
21、a2()|p-+w3|a1()|q+|-a2()|q+w4|a1()|q-a2()|q-+w5|m1h|p-m2h|p+w6|m1g|q-m2g|q+w7|v1h|p-v2h|p+w8|v1g|q-v2g|q+w9|u1h|p-u2h|p+w10|u1g|q-u2g|q,dw2()p1,p2=w1a1()|p+-a2()|p+2+w2a1()|p-a2()|p-2+w3a1()|q+-a2()|q+2+w4a1()|q-a2()|q-2+w5()m1h|p-m2h|p2+w6()m1g|q-m2g|q2+w7()v1h|p-v2h|p2+w8()v1h|p-v2h|p2+w9()u1h|p-u
22、2h|p2+w10()u1g|q-u2g|q212,dw3()p1,p2=w1|a1()|p+-a2()|p+w2|a1()|p-a2()|p-+w3|a1()|q+|-a2()|q+w4|a1()|q-a2()|q-+w5|m1h|p-m2h|p+w6|m1g|q-m2g|q+w7|v1h|p-v2h|p+w8|v1h|p-v2h|p+w9|u1h|p-u2h|p+w10|u1g|q-u2g|q1,1,为p1与p2 的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离与标准赋权广义距离。定理3.3标准赋权汉明距离dw1、标准赋权欧氏距离dw2与标准赋权广义距离dw3均满足三角不等式。证明:利用闵可夫斯基不等
23、式,立即可知此定理成立。3概率对偶犹豫模糊集的距离测度基于概率对偶犹豫模糊元的三种距离测度给出两个概率对偶犹豫模糊集之间的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离测度及其赋权形式,并指出他们均满足三角不等式。定义3.1设X=x1,x2,xn是非空有限论域集,P1=:xX和P2=:xX是定义在X上的两个概率对偶犹豫模糊集,则称-116杨彦坡,等:概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用d1()P1,P2=110ni=1n|a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+|a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-+|a()1()x1|q1()x1
24、+-a()2()xi|q2()xi+|a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-+|mh1|p1()xi-mh2|p2()xi)+|mg1|q1()xi-mg2|q2()xi+|vh1|p1()xi-vh2|p2()xi+|vg1|q1()xi-vg2|q2()xi+|uh1|p1()xi-uh2|p2()xi+|ug1|q1()xi-ug2|q2()xi,d2()P1,P2=110ni=1na()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+2+a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-2+a()1()x1|q1()x1+-a()2(
25、)xi|q2()xi+2+a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-2+()mh1|p1()xi-mh2|p2()xi2)+()mg1|q1()xi-mg2|q2()xi2+()vh1|p1()xi-vh2|p2()xi2+()vg1|q1()xi-vg2|q2()xi2+()uh1|p1()xi-uh2|p2()xi2+()ug1|q1()xi-ug2|q2()xi212,d3()P1,P2=110ni=1n|a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+|a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-+|a()1()x1|q1()
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- 概率 对偶 犹豫 模糊 距离 测度 及其 疾病诊断 中的 应用
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