概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用.pdf

第 35 卷 第3期2023年 6 月六盘水师范学院学报Journal of Liupanshui Normal UniversityVol.35 No.3Jun.2023杨彦坡，等：概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用杨彦坡，宁宝权，陈跃，王宣（六盘水师范学院数学与统计学院，贵州 六盘水 553004）摘要：概率对偶犹豫模糊集由于能够同时表达随机性与模糊性而被广为关注，而距离测度在模式识别、医疗诊断、多属性决策等诸多可以使用概率对偶犹豫模糊集进行建模的研究领域中起着至关重要的作用。但目前已有的概率对偶犹豫模糊集的距离依然存在一定的缺陷，因此，首先定义了概率对偶犹豫模糊元隶属度和非隶属度的上界、下界、均值、标准差与犹豫度，从不同侧面来反映其隶属度与非隶属度的取值信息；其次，基于以上所定义的5个指标提出了两个概率对偶犹豫模糊元之间的标准汉明距离、标准欧氏距离、标准广义距离及其加权形式，并且证明了所提出的新的概率对偶犹豫模糊距离及其加权形式均满足三角不等式；同时我们还研究了两个概率犹豫模糊集之间的标准汉明距离、标准欧氏距离、标准广义距离及其加权形式。最后，通过一个医疗诊断的例子说明提出的距离测度的有效性与实用性。关键词：概率对偶犹豫模糊集；距离测度；三角不等式；医疗诊断中图分类号：O225文献标识码：A文章编号：1671-055X（2023）03-0112-09DOI：10.16595/j.1671-055X.2023.03.012由于现实世界的复杂性以及人类认知的局限性，人们对一些事物的描述难以做到精确。于是，扎德（Zadeh）1在1965年提出了模糊集这一数学对象，用来量化具有模糊性的社会生产生活现象，以便进一步利用数学的方法为人们的社会生产实践提供更可靠的指导性意见。模糊集一经提出，就产生了巨大影响并被学者们广泛接受与深入研究。托拉（Torra）和鸣川（Narukawa）2,3认为单单一个隶属度值不能反映人们的犹豫性这一心理现象，于是提出了允许存在多个隶属度值的犹豫模糊集。因犹豫模糊集能够更好地描述模糊现象，从而引起了很多学者的关注，如徐（Xu）和夏（Xia）4研究了犹豫模糊集的信息测度、距离以及相似度，朱（Zhu）等人5提出了多种犹豫模糊融合算子并将其应用到多属性决策制定中，李（Li）等人6，7给出了犹豫度的定义并将其运用到构造犹豫模糊集之间的距离中。阿塔纳索夫（Atanassov）8提出能够同时从隶属度与非隶属度两方面表达模糊信息的直觉模糊集。为了使得模糊集能够同时从多方面充分反映人们认知的模糊性与不确定性，朱（Zhu）等人9结合犹豫模糊集和直觉模糊集的优势提出了对偶犹豫模糊集。对偶犹豫模糊集的隶属度与非隶属度均由多个值组成，既能从两方面表达模糊信息，又能够反映人们面对事物时常常犹豫不决这一心理特征。之后，学者们对偶犹豫模糊集展开了多方面的深入研究，如王（Wang）等人10和鞠（Ju）等人11，12研究了对偶犹豫模糊集的融合算子，苏（Su）等人13和王（Wang）等人14研究了犹豫模糊集的距离测度。近年来，郝（Hao）等人15意识到在实际生活中模糊性和随机性经常同时发生，而以往的各种模糊集仅能反映模糊信息却忽略了取值的概率信息，因此提出了概率对偶犹豫模糊集并将其应用到风险评估当中。赵（Zhao）等人16研究了概率对偶犹豫模糊环收稿日期：2023-03-06基金项目：六盘水师范学院2022年一流本科课程培育项目“概率论与数理统计”(2022-03-012)；六盘水师范学院2022年一流本科课程培育项目“高等数学”(2022-03-028)。作者简介：杨彦坡，男，主要从事模糊集理论、智能决策研究；宁宝权，男，在读博士，教授，主要从事智能决策、模糊信息测度研究；陈跃，男，土家族，讲师，主要从事模糊集理论、粗糙集理论、三支决策、拟阵研究；王宣，女，讲师，主要从事模糊数学、冲突分析研究。-112杨彦坡，等：概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用境下的多属性群决策制定，加格（Garg）和考尔（Kaur）17用概率对偶犹豫模糊集量化脑出血患者的手势信息，为对病人的进一步诊断治疗提供了基础，宁（Ning）等人18从离散和连续、有序和无序视角系统地提出了概率对偶犹豫模糊集的距离与相似度，为概率对偶犹豫模糊环境下的决策制定奠定了理论基础。在模式识别、数据挖掘、医疗诊断、多属性决策制定等诸多领域中19，距离测度起到了十分关键的作用。当有模糊性存在时，这些实际问题常常须用模糊集来阐述，于是对各种模糊集的距离进行研究成为学者们关注的热点20。通过阅读文献，发现研究者们对概率对偶犹豫模糊集的距离研究仍比较少，这严重阻碍了概率对偶犹豫模糊集的实际应用。本文从理论与实际需要出发，基于概率对偶犹豫模糊元的5个重要指标10个数值表示提出了概率对偶犹豫模糊元以及概率对偶犹豫模糊集的标准化汉明距离、标准化欧氏距离与标准化推广距离及其赋权形式并将其推广到概率对偶犹豫模糊集上。1预备知识简要回顾模糊集、犹豫模糊集、对偶犹豫模糊集以及概率对偶犹豫模糊集的定义。下文中，总是用非空有限集合X=x1,x2,xn表示论域。为了描述模糊现象，Zadeh1提出了模糊集的概念。这一概念推广了集合论中元素与集合的关系，将元素严格属于和严格不属于某个集合，弱化为在一定程度上属于这一集合，从而形成了模糊集的定义。定义1.1论域集X上的模糊集定义为A=()x,A()x|xX，其中，A()x是取值于单位区间0,1的一个实数，表示论域X中元素x对集合A的隶属度。在实际决策过程中，人们往往由于难以抉择而犹豫不定，从而给出多个结果。在数学语言下，就表现为多个取值，考虑到人们的这一心理特征，Torra和Narukawa2,3提出了犹豫模糊集的概念。定义1.2论域X上的一个犹豫模糊集表示为E=()x,hE(x)|xX，其中，hE(x)是单位区间0,1的非空有限子集，表示元素x对E的所有可能隶属度取值之集，且称h(x)=hE()x是一个犹豫模糊元。直觉模糊集中引入了非隶属度这一概念，和隶属度一起从两方面更好地表达了模糊信息。Zhu等人9将非隶属度引入到犹豫模糊集中，提出了如下的对偶犹豫模糊集。定义1.3论域X上的对偶犹豫模糊集具有d=()x,h()x,g()x|xX形 式，其 中h(x)和g()x均是单位区间0,1的非空有限子集，分别表示元素x的所有可能隶属度取值之集和所有可能的非隶属度取值之集。此外，0,1,0+1，其中，h()x,g()x;+h+()x=xXmaxh()x,+g+()x=xXmaxg()x .虽然对偶犹豫模糊集能够充分反映模糊现象，但每个取值的可能性相同这一设定仍然不能很好地反映人们的心理现象。实际生活中，由于每个取值可能性大小不同，在描述模糊信息时应把这一分布情况表示出来，于是，郝（Hao）等人15提出了概率对偶犹豫模糊集这一概念。定义1.4论域X上的一个概率对偶犹豫模糊集定义为P=:xX，其中，h(x)|p(x)是元素xX的隶属度及其对应的概率构成之集且h(x)是隶属度集，g(x)|q(x)是x的非隶属度及其对应的概率构成之集且g(x)是非隶属度集。并且，xX,h(x),g(x),0,1，且0+1,其中，-113六盘水师范学院学报+h+()x=xXmaxh()x,+h+()x=xXmaxh()x,+g+()x=xXmaxg()x .并且，对于xX,pp(x),qq(x),有0p,q1，且pp()xp=1,qq()xq=1.此 外，为 了 计 算 与 应 用 上 的 方 便，称p=是一个概率对偶犹豫模糊元，简记为p=。2概率对偶犹豫模糊元的距离测度首先定义几个能够从不同方面反映概率对偶犹豫模糊元内部隶属度与非隶属度取值信息及概率取值信息的量；之后在这几个量的基础上，给出两个对偶犹豫模糊元之间的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离，并证明这三个距离都满足三角不等式；接着，考虑到不同的量可能具有不同的重要性，进一步提出两个对偶犹豫模糊元之间的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离与标准赋权广义距离并指出这三个赋权形式的距离也都满足三角不等式。在对偶犹豫模糊环境中，曾（Zeng）等人21给出了对偶犹豫模糊元的上界和下界的概念。这里，本文将其推广，给出概率对偶犹豫模糊元的上界、下界的概念。定义2.1对于给定的一个概率对偶犹豫模糊元p=，称p+=为p的上界，称p-=为p的下界，其中()|p+是满足条件p=maxi|pih(x)|p(x)ipi的隶属度概率对|p，()|q+是满足条件q=mini|qig(x)|q(x)iqi的 非 隶 属 度 概 率 对|q，()|p-是 满 足 条 件p=mini|pih(x)|p(x)ipi的隶属度概率对，()|q+是满足条件q=maxi|qig(x)|q(x)iqi的非隶属度概率对。注2.1在()|p+的定义中，若有多个隶属度概率对的隶属度与概率乘积均达到最大值，本文取概率最大的那一对，在()|q+的定义中，若有多个非隶属度概率对的非隶属度与概率乘积均达最小值，取概率最小的那一对，其余的情况可类似给出。为了反应概率对偶犹豫模糊元在取值方面的信息，给出其上界的值以及下界的值的定义。定义2.2对于概率对偶犹豫模糊元p=，称a()p+=a()|p+,a()|q+=maxi|pi(x)|p(x)ipi,mini|qi(x)|q(x)iqi和a()p-=a()|p-,a()|q-=mini|pi(x)|p(x)ipi,maxi|qi(x)|q(x)iqi，分别为上界p+与下界p-的值。接下来，对于概率对偶犹豫模糊元，为了衡量取值的平均情况以及取值在均值附近的波动程度，给出概率犹豫模糊元的均值与标准差这两个指标。定义2.3对于概率对偶犹豫模糊元p=，称m()p=mh|p,mg|q=1l()h|pi|pih|pipi,1l()g|qi|qig|qiqi和v()p=vh|p,vg|q=1l()h|pi|pih|p()ipi-mh|p2,1l()g|qi|qig|q()iqi-mg|q2，分别为p的均值与标准差，其中l()h|p与l()g|q分别表示h|p和g|q中的元素个数。-114杨彦坡，等：概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用为了反映决策者的心理特征，提出概率对偶犹豫模糊元的犹豫度这一概念。定义2.4对于概率对偶犹豫模糊元p=，称u()d=uh|p,ug|q=1-1l(h|p),1-1l(g|q)为p的犹豫度。注2.2由生活经验可知，面对一个模糊决策问题时，人们越是犹豫不决，给出的结果数目越多，因此犹豫度应是一个关于结果数目的增函数，定义2.4中给出的定义符合这一要求。接下来，基于上述概率对偶犹豫模糊元p的上界p+的值、下界p-的值、均值、标准差以及犹豫度5个指标共10个量，我们给出概率对偶犹豫模糊元p1和p2的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离。定 义 2.5对 于 概 率 对 偶 犹 豫 模 糊 元p1=和p2=，分别称d1()p1,p2=110|a1()|p+-a2()|p+|a1()|p-a2()|p-+|a1()|q+-a2()|q+|a1()|q-a2()|q-+|m1h|p-m2h|p+|m1g|q-m2g|q+|v1h|p-v2h|p+|v1g|q-v2g|q+|u1h|p-u2h|p+|u1g|q-u2g|q,d2()p1,p2=110a1()|p+-a2()|p+2+a1()|p-a2()|p-2+(a1()|q+)-a2()|q+2+a1()|q-a2()|q-2+()m1h|p-m2h|p2+()m1g|q-m2g|q2+()v1h|p-v2h|p2+()v1h|p-v2h|p2)+()u1h|p-u2h|p2+()u1g|q-u2g|q212,d3()p1,p2=110|a1()|p+-a2()|p+|a1()|p-a2()|p-+|a1()|q+-a2()|q+|a1()|q-a2()|q-+|m1h|p-m2h|p+|m1g|q-m2g|q+|v1h|p-v2h|p+|v1h|p-v2h|p+|u1h|p-u2h|p)+|u1g|q-u2g|q1,1,为p1与p2的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离。在距离的公理化定义中，要求满足三角不等式。下面，说明p1与p2的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离满足这一要求。定理2.1设p1,p2,p3是三个概率对偶犹豫模糊元，则d1()p1,p3d1()p1,p2+d1()p2,p3，即标准汉明距离d1满足三角不等式。证明：由基本的绝对值三角不等式可得：d1()p1,p3=110|a1()|p+-a3()|p+|a1()|p-a3()|p-+|a1()|q+-a3()|q+|a1()|q-a3()|q-+|m1h|p-m3h|p+|m1g|q-m3g|q+|v1h|p-v3h|p+|v1g|q-v3g|q+|u1h|p-u3h|p+|u1g|q-u3g|q110|a1()|p+-a2()|p+|a1()|p-a2()|p-+|a1()|q+-a2()|q+|a1()|q-a2()|q-+|m1h|p-m2h|p+|m1g|q-m2g|q+|v1h|p-v2h|p+|v1g|q-v2g|q+|u1h|p-u2h|p+|u1g|q-u2g|q-115六盘水师范学院学报+110|a2()|p+-a3()|p+|a2()|p-a3()|p-+|a2()|q+-a3()|q+|a2()|q-a3()|q-+|m2h|p-m3h|p+|m2g|q-m3g|q+|v2h|p-v3h|p+|v2g|q-v3g|q+|u2h|p-u3h|p+|u2g|q-u3g|q=d1()p1,p2+d1()p2,p3,从而标准汉明距离d1满足三角不等式。定理2.2标准欧氏距离d2与标准广义距离d3均满足三角不等式。类似于定理2.1，并利用闵可夫斯基不等式，可以立即给出此定理的证明，在此略去。在很多情况下，这5个指标10个量的重要程度不同，考虑到这点，给出如下的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离以及标准赋权广义距离。定 义 2.6对 于 概 率 对 偶 犹 豫 模 糊 元p1=和p2=，以及满足条件0wi1,i=1,2,10且i=110wi=1的权重向量w=()w1,w2,w10T，分别称dw1()p1,p2=w1|a1()|p+-a2()|p+w2|a1()|p-a2()|p-+w3|a1()|q+|-a2()|q+w4|a1()|q-a2()|q-+w5|m1h|p-m2h|p+w6|m1g|q-m2g|q+w7|v1h|p-v2h|p+w8|v1g|q-v2g|q+w9|u1h|p-u2h|p+w10|u1g|q-u2g|q,dw2()p1,p2=w1a1()|p+-a2()|p+2+w2a1()|p-a2()|p-2+w3a1()|q+-a2()|q+2+w4a1()|q-a2()|q-2+w5()m1h|p-m2h|p2+w6()m1g|q-m2g|q2+w7()v1h|p-v2h|p2+w8()v1h|p-v2h|p2+w9()u1h|p-u2h|p2+w10()u1g|q-u2g|q212,dw3()p1,p2=w1|a1()|p+-a2()|p+w2|a1()|p-a2()|p-+w3|a1()|q+|-a2()|q+w4|a1()|q-a2()|q-+w5|m1h|p-m2h|p+w6|m1g|q-m2g|q+w7|v1h|p-v2h|p+w8|v1h|p-v2h|p+w9|u1h|p-u2h|p+w10|u1g|q-u2g|q1,1,为p1与p2 的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离与标准赋权广义距离。定理3.3标准赋权汉明距离dw1、标准赋权欧氏距离dw2与标准赋权广义距离dw3均满足三角不等式。证明：利用闵可夫斯基不等式，立即可知此定理成立。3概率对偶犹豫模糊集的距离测度基于概率对偶犹豫模糊元的三种距离测度给出两个概率对偶犹豫模糊集之间的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离测度及其赋权形式，并指出他们均满足三角不等式。定义3.1设X=x1,x2,xn是非空有限论域集，P1=:xX和P2=:xX是定义在X上的两个概率对偶犹豫模糊集，则称-116杨彦坡，等：概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用d1()P1,P2=110ni=1n|a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+|a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-+|a()1()x1|q1()x1+-a()2()xi|q2()xi+|a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-+|mh1|p1()xi-mh2|p2()xi)+|mg1|q1()xi-mg2|q2()xi+|vh1|p1()xi-vh2|p2()xi+|vg1|q1()xi-vg2|q2()xi+|uh1|p1()xi-uh2|p2()xi+|ug1|q1()xi-ug2|q2()xi,d2()P1,P2=110ni=1na()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+2+a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-2+a()1()x1|q1()x1+-a()2()xi|q2()xi+2+a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-2+()mh1|p1()xi-mh2|p2()xi2)+()mg1|q1()xi-mg2|q2()xi2+()vh1|p1()xi-vh2|p2()xi2+()vg1|q1()xi-vg2|q2()xi2+()uh1|p1()xi-uh2|p2()xi2+()ug1|q1()xi-ug2|q2()xi212,d3()P1,P2=110ni=1n|a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+|a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-+|a()1()x1|q1()x1+-a()2()xi|q2()xi+|a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-+|mh1|p1()xi-mh2|p2()xi)+|mg1|q1()xi-mg2|q2()xi+|vh1|p1()xi-vh2|p2()xi+|vg1|q1()xi-vg2|q2()xi+|uh1|p1()xi-uh2|p2()xi+|ug1|q1()xi-ug2|q2()xi1,1，为概率对偶犹豫模糊集P1与P2之间的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离。定义3.2称d1()P1,P2=110ni=1nw1|a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+w2|a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-+w3|a()1()x1|q1()x1+-a()2()xi|q2()xi+w4|a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-+w5|mh1|p1()xi-mh2|p2()xi+w6|mg1|q1()xi-mg2|q2()xi+w7|vh1|p1()xi-vh2|p2()xi+w8|vg1|q1()xi-vg2|q2()xi+w9|uh1|p1()xi-uh2|p2()xi+w10|ug1|q1()xi)|-ug2|q2()xi,d2()P1,P2=110ni=1nw1a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+2+w2a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-2+w3a()1()x1|q1()x1+-a()2()xi|q2()xi+2+w4a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-2+w5()mh1|p1()xi-mh2|p2()xi2+w6()mg1|q1()xi-mg2|q2()xi2+w7()vh1|p1()xi-vh2|p2()xi2+w8()vg1|q1()xi-vg2|q2()xi2+w9()uh1|p1()xi-uh2|p2()xi2+w10(ug1|q1()xi)-ug2|q2()xi212,d3()P1,P2=110ni=1nw1|a()1()xi|p1()xi+-a()2()xi|p2()xi+w2|a()1()xi|p1()xi-a()2()x1|p2()x1-+w3|a()1()x1|q1()x1+-a()2()xi|q2()xi+w4|a()1()x1|q1()x1-a()2()x1|q2()x1-+w5|mh1|p1()xi-mh2|p2()xi+w6|mg1|q1()xi-mg2|q2()xi+w7|vh1|p1()xi-vh2|p2()xi+w8|vg1|q1()xi-vg2|q2()xi+w9|uh1|p1()xi-uh2|p2()xi+w10|ug1|q1()xi)|-ug2|q2()xi1,1,为概率对偶犹豫模糊集P1与P2之间的标准赋权汉明距离、标准赋权欧氏距离与标准赋权广义距离。定理3.1概率对偶犹豫模糊集P1与P2之间的标准汉明距离、标准欧氏距离与标准广义距离及其各自对应的赋权形式均满足三角不等式。4概率对偶犹豫模糊集的距离测度在医疗诊断中的应用模糊集的距离测度在模式识别、聚类分析、医-117六盘水师范学院学报疗诊断、多属性决策制定以及多属性群决策制定等诸多领域中有着广泛的应用，作为模糊集中能够较好地反映真实决策信息的概率对偶犹豫模糊集，对其距离测度的研究及应用有着较大价值。本研究通过一个医疗诊断的例子，说明提出的距离测度的合理性与实用性。现有 3 种疾病，P1（病毒性发热）、P2（疟疾）、P3（伤寒），3种症状S1（咳嗽）、S2（头痛）、S3（体温），根据医生经验，各种疾病以及与其对应症状的数据列在如表1所示的表中。表1疾病与症状对应数据P1P2P3S10.6|0.3,0.4|0.5,0.3|0.2,0.2|0.7,0.0|0.30.6|0.4,0.3|0.2,0.1|0.4,0.3|0.2,0.2|0.80.5|0.6,0.4|0.1,0.2|0.3,0.5|0.6,0.3|0.4S20.7|0.3,0.5|0.3,0.3|0.2,0.2|0.2,0.3|0.4,0.1|0.60.9|0.3,0.8|0.1,0.7|0.4,0.6|0.2,0.1|0.7,0.0|0.30.4|0.3,0.3|0.3,0.2|0.1,0.1|0.3,0.4|0.6,0.3|0.4S30.5|0.4,0.3|0.6,0.5|0.3,0.4|0.4,0.2|0.30.5|0.4,0.3|0.6,0.5|0.3,0.4|0.3,0.3|0.40.4|0.5,0.3|0.5,0.6|0.2,0.5|0.4,0.4|0.4现有3个病人，通过自身评估或医疗设备检查得出的各种症状数据列于如表2所示的表中。表2病人病情数据A1A2A3S10.9|0.3,0.7|0.4,0.5|0.3,0.1|0.4,0.0|0.60.5|0.3,0.4|0.3,0.2|0.4,0.5|0.3,0.3|0.70.9|0.3,0.7|0.2,0.6|0.5,0.1|0.3,0.0|0.7S20.4|0.2,0.3|0.3,0.2|0.3,0.1|0.2,0.5|0.6,0.4|0.40.5|0.3,0.4|0.2,0.3|0.3,0.1|0.2,0.4|0.4,0.3|0.60.7|0.3,0.4|0.1,0.3|0.3,0.1|0.3,0.2|0.6,0.1|0.4S30.4|0.6,0.3|0.4,0.5|0.3,0.4|0.3,0.2|0.40.2|0.6,0.1|0.4,0.7|0.6,0.6|0.3，0.5|0.10.3|0.5,0.2|0.5,0.5|0.4,0.4|0.3,0.3|0.3这些数据均用概率对偶犹豫模糊元表示，其中隶属度概率对表示有某种症状的程度，非隶属度 概 率 对 表 示 没 有 对 应 症 状 的 程 度。设X=S1,S2,S3，则 疾 病Pi()i=1,2,3和 病 人Aj()j=1,2,3的症状情况均可以看作是X上的概率对偶犹豫模糊集，仍分别记为Pi()i=1,2,3和Aj()j=1,2,3，通过分别计算Aj与Pi之间的距离就可以判定病人Aj的患病情况，具体地说，就是与概率对偶犹豫模糊集Aj距离最小的Pk就是病人Aj所患疾病。使用标准欧氏距离，分别计算概率对偶犹豫模糊集Aj()j=1,2,3和Pi()i=1,2,3之间的距离并给出诊断结果。如表3所示。表3概率对偶犹豫模糊集Aj()j=1,2,3和Pi()i=1,2,3之间的距离A1A2A3P1d2()A1,P1=0.1501d2()A2,P1=0.0815d2()A3,P1=0.0447P2d2()A1,P2=0.0981d2()A2,P2=0.0922d2()A3,P2=0.0579P3d2()A1,P3=0.0748d2()A2,P3=0.0716d2()A3,P3=0.0825minid2()A1,Pi=0.0748minid2()A2,Pi=0.0716minid2()A3,Pi=0.0447-118杨彦坡，等：概率对偶犹豫模糊集的距离测度及其在疾病诊断中的应用由表3的计算结果可知，病人A1和A2患了疾病P3（伤寒），而病人A3患了疾病P1（病毒性发热）。在这一节里，将距离用于医疗诊断中，将病人的病情与一些病症的临床表现作对比从而判断病人患病情况。这个过程实际上可以借助智能化医疗设备完成，此举既打破了病情诊断的时间空间限制，也可以节约医疗工作者的时间。另外，如果病人病情与数据库中已有的任一种疾病症状都相差很远，即计算出来的距离均大于某个事先设定的阈值，则可以进一步由专业医生对病人诊断治疗，这样就可以大大减轻医生乃至整个医疗系统的压力，从而提高社会医疗水平。5结束语本文定义了概率对偶犹豫模糊元的上界与下界及其值、均值、标准差与犹豫度。基于提出的5个指标给出了概率对偶犹豫模糊元的标准汉明距离、标准欧氏距离、标准推广距离及其赋权形式，并证明了它们均满足三角不等式。将来可研究其他形式如有序距离、连续距离等距离测度，并将它们与现有的距离测度进行比较分析，应用到各行业中去。6参考文献1ZADEH L A.Fuzzy setsJ.Information technology and control,1965,8:338-353.2TORRA V,NARUKAWA Y.On hesitant fuzzy sets and decisionC/IEEE International Conference on Fuzzy Systems,IEEE,2009.3TORRA V.Hesitant fuzzy setsJ.International journal of intelligent systems,2010,25:529-539.4XU Z,XIA M.Distance and similarity measures for hesitant fuzzy setsJ.Information Sciences,2011,181:2128-2138.5ZHU B,XU Z,XIA M.Hesitant fuzzy geometric Bonferroni meansJ.Information Sciences,2012,205:72-85.6LI D Q,ZENG W Y,LI J H.New distance and similarity measures on hesitant fuzzy sets and their applications in multiple criteria decision makingJ.Engineering Applications of Artificial Intelligence,2015,40:11-16.7LI D Q,ZENG W Y,ZHAO Y B.Note on distance measure of hesitant fuzzy setsJ.Information Sciences,2015,321:103-115.8ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy setsJ.Fuzzy Sets and Systems,1986,20:87-96.9ZHU B,XU Z S,XIA M M.Dual hesitant fuzzy setsJ.Journal of Applied Mathematics,2012,2012:1-13.10WANG H J,ZHAO X F,WEI G W.Dual hesitant fuzzy aggregation operators in multiple attribute decision makingJ.Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2014,26:2281-2290.11JU Y B,YANG S D,LIU X Y.Some new dual hesitant fuzzy aggregation operators based on Choquet integral and their applications to multiple attribute decision makingJ.Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2014,27:2857-2868.12JU Y B,ZHANG W H,YANG S D.Some dual hesitant fuzzy Hamacher aggregation operators and their applications to multiple attribute decision makingJ.Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2014,27:2481-2495.13SU Z,XU Z S,LIU H F,et al.Distance and similarity measures for dual hesitant fuzzy sets and their applications in patternrecognitionJ.Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2015,29:731-745.14WANG R G,LI W M,ZHANG T,et al.New distance measures for dual hesitant fuzzy sets and their application to multipleattribute decision makingJ.Symmetry-Basel,2020,12:191-208.15HAO Z N,XU Z S,ZHAO H,et al.Probabilistic dual hesitant fuzzy set and its application in risk evaluationJ.Knowledge-Based Systems,2017,127:16-28.16ZHAO Q,JU Y B,PEDRYCZ W.A method based on bivariate almost stochastic dominance for multiple criteria group decision making with probabilistic dual hesitant fuzzy informationJ.IEEE Access,2020,8:203769-203786.-119六盘水师范学院学报17GARG H,KAUR G.Quantifying gesture information in brain hemorrhage patients using probabilistic dual hesitant fuzzy setswith unknown probability informationJ.Computers and Industrial Engineering,2020,140:106211.18NING B Q,WEI G W,GUO Y F.Some novel distance and similarity measures for probabilistic dual hesitant fuzzy sets andtheir applications to MAGDMJ.International Journal of Machine Learning and Cybernetics,2022,13（12）:3887-3907.19宁宝权,毕迎鑫,邓慧琳.TOPSIS法在高校科研项目评价与决策中的应用 J.六盘水师范学院学报,2012,24（6）:22-27.20陈跃,王宣.基于多重集值信息系统的三支决策 J.六盘水师范学院学报,2022,34（3）:61-73.21ZENG W Y,MA R,LIU Z P,et al.Some novel distance measures between dual hesitant fuzzy sets and their application inmedical diagnosisJ.International Journal of Intelligent Systems,2022,37（11）:8653-8671.Distance of Probabilistic Dual Hesitation FuzzyDistance of Probabilistic Dual Hesitation FuzzySets and Its Application in Disease DiagnosisSets and Its Application in Disease DiagnosisYang Yanpo,Ning Baoquan,Chen Yue,Wang xuan（School of Mathematics and Statistics,Liupanshui Normal University,Liupanshui 553004,China）Abstract:Abstract:Probabilistic dual hesitant fuzzy set(PDHFS)is widely concerned because they can express randomness and fuzziness at the same time.Distance measures play a vital role in many research fields that can use PDHFS to model,such as patternrecognition,medical diagnosis,multi-attribute decision-making,etc.However,the distance of the existing PDHFS still has somedefects.Therefore,the upper bound,lower bound,mean value,standard deviation and hesitant degree of the membership degree(MD)and non-membership degree(NMD)of the PDHF element are defined first,reflecting the value information of their MD andNMD from different aspects;Secondly,based on the five indexes defined above,the s