高考数学大一轮复习课件 课后作业41-50.pdf
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1、课后作业(四十一)直线、平面垂直的判定与性质基础巩固练1.(2021 长沙一中高三测试)已知直线/和平面a,0,且/Uq,则“以是 的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由面面垂直的判定定理可得,若Ya,1邛,则a”,充分性成立;若/Ua,al a则/与用平行或相交或垂直,必要性不成立.所以若Ya,则是a 邛的充分不必要条件,故选A.2.(2022.山东青岛期末)设a,是两个不同的平面,/是一条直线,以下结论正确的 是(A)A.若/_La,a夕,贝U LLB.若/a,6贝Ua万C.若/_La,a邛,贝D.若/a,aLB,贝U/LS【解析】若两平
2、面平行,则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面,故A正 确.若a G=机,I/m,此时满足/a,/,但不满足口,故B不正确.若/_La,a 工B,则可能有/U,也可能有/故C不正确.若/a,a邛,则直线/可能在平面 夕内,可能与平面相交,也可能有/故D不正确.故选A.3.如图,在斜三棱柱A5CAS G中,ZBAC=90,BQXAC,则 G在底面ABC上的射影“必在(A)A.直线A3上B.直线5。上C.直线AC上D.Zk ABC内部【角星析】连接AG(图略),由AC_LAH ACXBCp ABABCi=B,得ACJL平面A5G.VACC平面ABC,:.平面ABCi 平面ABC.:.Ci在平面A
3、BC上的射影H必在两平面的交 线A3上.故选A.4.(2021 浙江卷)如图,已知正方体ABC。一ApBiGA,M,N分别是A。,的中 点,贝U(A)A.直线AQ与直线。1垂直,直线MN平面ABC。B.直线AQ与直线平行,直线MN,平面C.直线与直线相交,直线MN平面A3CDD.直线A0与直线。出异面,直线MNJ_平面BOAS【解析】连接ADX,则AiDXADi,且也为AA的中点.因为AyDl AB,且AD AB=A,所以AQJ_平面AB。,又。pBu平面AE)i,所以由图易知AQ 与 异面,故B,C错误.因为M,N分别为AO”0pB的中点,所以MN加3,又平面 ABCD,A5U平面A3CZ)
4、,所以 MN平面A3CZ),易知A3与平面3。归1不垂直,则 MN与平面不垂直,故A正确,D错误,故选A.ADtB5.(2 02 1.四川绵阳南山中学开学考试)如图所示,是半圆。的直径,坳垂直于半圆。所在的平面,点。是圆周上不同于A,3的任意一点,M,N分别为 以,V。的中点,则下列结论正确的是(B)A.MN/ABB.平面以1。,平面6。C.MN与所成的角为45。D.0C,平面 VAC【解析】VM,N分别为 侬,VC的中点,:.MN/AC,而ACAA5=A,:.MN/A3不成立,故A不正确;由ACL5C得MN与5C所成的角为90。,故C不正确;:侬 垂直于。所在的平面,5CU。所在的平面,:.
5、VABC,又ACn0L=A,平 面0LC,又5CU平面V8c.平面 平面VBC,故B正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,故D不正确.故选B.6.(多选)(2 02 1 河北唐山模拟)如图,在以下四个正方体中,直线A3与平面CD石垂 直的是(BD)DB【解析】对于A,易证A5与。石所成角为45。,则直线A3与平面CD石不垂直;对于B,易证A5_LC,ABLED,且。石nD=E 贝平面CE出;对于C,易证A3 与。石所成角为60。,则直线A5与平面 8石不垂直;对于D,易证即JL平面A3C,则 EDAB9同理石CLA5,可得A3,平面CDE故选BD.7.(多选)(2022.山东泰安模拟)在
6、三棱锥PA5C中,能证明APBC的条件是(ACD)A.APLPB,APPCB.AP1PB,BCLPBC.平面 平面”C,BCLPCD.平面5c【解析】因为APPC,PBCPC=P,所以AP,平面P 8C,又5CU平 ffiP BC,所以AP L5C,故A项能证明;因为平面平面AP C,BCLPC,所以5C,平面AP C,又AP U平面AP G 所以AP L5C,故C项能证明;由A知D项能证明;B 项中的条件不能判断出AP _L3c故选ACD.8.如图所示,在四棱锥PABC。中,必,底面A5C。,且底面各边都相等,M是PC 上的一动点,当点M满足。加工尸。(或5加工)时,平面MB。,平面P CD
7、(只要填写一 个你认为是正确的条件即可)【解析】连接AC,贝因为BO底面A5CD 所以又B4nAe=A,所以平面PAC,所以BDPC,所以当OMJ_P。(或时,即有P CX 平面M8D而P CX平面P CD,所以平面M3。J_平面P CDAB9.(2019北京卷)已知/,根是平面。外的两条不同直线,给出下列三个诊断:/_Lm;m/a;/_La以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题 若/L加,/La则加a(若加a,/La,则帆 L/)【解析】l m,小a时,/与a可能相交,也可能平行,故。/今;当/JLzn,/_La时,由于机是平面a外的一1条直线,故相a,即今;若加
8、a,/_La时,11.机必然成立,即今.故正确命题为若/_!_相,/_La,则小。或若加a,/JLa,则加/.10.在三棱锥尸一45。中,平面E4CJ_平面ABC,ZP CA=90,ABC是边长为4的 正三角形,P C=4,/是AB边上的一动点,则尸M的最小值为2书.pMBc【解析】连接CM,则由题意知P CJ_平面ABC,可得P CX CM,所以PM=P CHa iA 要求P M的最小值只需求出CM的最小值即可,在ABC中,当 时CM有最小值,此时有。加=4*卓=25,所以P M的最小值为2 sn.(2021.全国乙卷)如图,四棱锥尸一A5CD的底面是矩形,尸ZU底面A5CD,M为 3C的中
9、点,且尸(1)证明:平面平面尸5。;(2)若尸求四棱锥PA3CD的体积.【解】(1)证明:因为尸底面ABC。,AMU底面A5CD 所以尸OLAM.又因为 PBAM,PDCPB=P,所以AM_L平面PBD.又 AMU平面PAM,所以平面平面 PBD.(2)由(1)知AM,平面尸50,又5OU平面尸&),所以在矩形 A5CD 中,设 A0=2 x(x0),则由 可得NMA3+NA5O=90。,而NADB+ZABD=90,所以 NAOB=NMAR在 RtZk ABM 和 RtZVM3 中,ta nZMAB=An%,f c AB 1 g、X 1 口口V ta n/ADB=云,所以i=i?即=所以AO=
10、g,所以四棱锥尸一A3c Z)的22,体积 Vp-ABCD=2矩形 ABCD,PD=g XyX 1X1=3,12.(2022保定九校联考)在平行六面体ABC。一ApBCQi中,AAX=AB,ABB.求证:(1)A5平面A/C;(2)平面 A55iAi_L 平面 ABC.【证明】(1)在平行六面体A5CDApBCQi中,AB/A.B,.因为A加平面ApBC,AJ?iU平面AS G 所以A3平面AS C.(2)在平行六面体ABC。一ApBCA中,四边形AMA为平行四边形.又因为A4i=A3,所以四边形A551A1为菱形,所以A3i,A/.因为 AS BiG,BCBC,所以 AS,5c又因为415n
11、ApBU平面A。,5CU平面A。,所以AS,平面ApBC,又因为A5U平面A5BAi,所以平面A551Al,平面4 pBe能力提升练13.(2022.福建福州质检)已知a,b是两条异面直线,直线c与m匕都垂直,则下列 说法正确的是(C)A.若u平面a,贝U q_LaB.若 c d_平面 a,贝U b/aC.存在平面a,使得c _La,aUa,b/aD.存在平面a,使得ca,Z?_La【解析】对于A,满足c U平面a,且c与异面直线,Z?均垂直,则可能在。内,也可能与。相交,也可能与a平行,故错误;对于B,满足平面。时,直线与直线 可能其中一条在平面。内,故错误;对于C,若Z?a,则a内一定存在
12、一条直线Z/,使得匕,又知且与Z?为两条异面直线,所以与一定相交,又知c _L6,b/bf,所以c _LZ?,又知c _L,a与相交,所以c _La,故正确;对于D,如果_La,b.La,则6,这与条件中,6是两条异面直线相矛盾,故错误,因此选C.14.(多选)(2022.山东实验中学高三模拟)九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂 直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳 马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如图,在“堑堵”ABCA/iG 中,ACXBC,且A4i=A5=2.则下列说法正确的是(ABD)A,四棱锥BA.ACC.为“阳马”B.四面
13、体4GC5为“鳖席”2C.四棱锥54ACG体积的最大值为QD.过点A分别作AELAJ?于点石,A尸,AC于点尸,贝U石尸,【解析】因为底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,所以在“堑 堵”ABCAS G 中,ACBC,侧棱 AAiJ_平面 ABC因为 AAi_L5C,X ACBC,_S AAAC=A,则平面AAiGC 所以四棱锥34ACG为“阳马”,故A项正确.由ACL5C,得 A1C1BC,X A1C1C1C ja CiCnBC=C,所以 AiG_L平面 BBGC所以 AG J_5G,则AbBG 为直角三角形.又由平面A4CC,得AbBC为直角三角形.由“堑堵”的定义可得4G
14、C 为直角三角形,CGB为直角三角形,所以四面体小一GC3为“鳖腌”,故B项正确.在底面 有 4=AC2+BC22 ACXBC,即 ACXBC2,当且仅当 AC=BC 时取等号.VB-AXACCX=1?45A1ACG XBC=jAAi XACXBC=jACXBC 一,-,一七,0,所以 B 错误;因为AB=(2,l,0),BC=(-3,1,1),所以 c os AB,BCID。J=当空=耳,所以C错误;设平面ABC的法向量=Q,y,z),因为后=(2,0),ABBCAC=(-1,2,1).所以nAB=O,n-AC=Ol2 x+j=0,x+2 y+z=0.令 x=l,则平面ABC的一个法向量为=
15、(1,2,5),所以D正确.故选D6.如图,在大小为45。的二面角A跖一。中,四边形AB尸E,四边形GDEb都是边 长为1的正方形,则以。两点间的距离是(D)C.1 D.43一市【解析】;BD=BF+FE+ED,:.|BD|2=I丽 2+1 曲2+1 访+2RFFE+2FEED+2BFED=1+1+1也=3隹故|砺|=13啦.故选D.7.如图所示,在正方体ABC。一ApBiGA中,棱长为,M,N分别为和AC上 的点,AiM=AN=,则MN与平面B8GC的位置关系是(B)A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面B81GC内【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由于A*AN=冰,(a,2a aT,3
16、)9(l a 2a0,2a37则M町,3)一 a,MN)a C3,又GQJ_平面BBiGC,所以GA=(。,,0)为平面531GC的一个法向量.因为赢。1:0,所以而V,。山1,又 MN平面551GC,所以MN平面33GC故选B.8.在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,。为3C的中点,E为AO的1,I.I中点,则布=2十承十不.(用。,4。表示)1【解析】由题意得0E=(O4+0D)=OB+OQ719.已知。=(1,0,1),0=(x,l,2),且。力=3,则向量。与的夹角为“【解析】.=x+2=3,:.x=l,.b=(l,l,2).,ab 3 小-C0 S b 团一也X册2.与
17、b的夹角为?10.在空间直角坐标系。一孙Z中,已知点41,0,2),5(021),点。,。分别在X轴,y轴上,且那么|8|的最小值是【解析】设。(0,0),D(0,yO),因为 A(l,0,2),3(0,2),所以4b=(1,y,-2),BC=(x,-2,-1).因为 AOJ_5C,所以4b布=x2 y+2=0,BP x+2y=2.因为=(x,yO),所以|无尸=y(22丁)2十人n.如图,平行六面体A5C。一ApBiGA中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两 两夹角为60。.求AG的长;求BDX与AC夹角的余弦值.【解】记AB=q,AD=b,AAx=c,则=|用=|c|=l,a,b=c=c
18、,a=60,Ub bCCU 2,一 fl 1 11AC1=(abc)2a2b2c22(a-bbcc-a)=1+1+1+2 X 5+5+5=6?.|AGI=&,即AG的长为班.(2)由得,BDx=b+c-a,AC=a+b,|血=隹丽=血BDAC=(b+c)(+6)=户一a2-ba-c-bb-c 1./.c osaBDi,AC)=BDVAC yj 6mu aci6-:.AC与BD夹角的余弦值为2 66.12.(2022.广东六校第一次联考)在四棱锥尸A5CD中,四边形A5CD是平行四边形,平面PAB与平面PCD的交线记为m,已知PABCD的体积为16且港2PG-PC.(1)证明:C。机;(2)求三
19、棱锥AEFG的体积.【解】(1)证明::四边形ABCD是平行四边形,:.AB/CD.:A3U平面 BL 86平面 B45,C。平面B4A:CDU平面尸CD,平面B43 A平面尸CD=根,:.CD/m.-3 1-A(2)VP=tPB,PF=PA,i-9 1 3 3 AE F=2*4,AABP=gAABP?3 VaEFG=VgEFA=gabp-:PG=1PC,/VgABP=2 C-ABP VaEFG=4 VCABP g VpABCD=2 能力提升练13.设A,B,C,。是空间中不共面的四点,且满足ABAC=O,ACAD=O,BAD=0,则5。是(B)A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.
20、不确定C【角翠析】因为AH BC=AC-AB,所 以丽就=(AD-AB)-(AC-AB)=ADAC-ADAB-ABAC+|AB|2=|AB|20,所以 c osNC50=c os BC,BDBCBD _ _ 0,BCBD所以NC5D为锐角,同理488 与4BOC均为锐角,所以BCD为锐角三角形.故选B.14.(多选)(2021.江苏徐州检测)已知四棱柱A5CDApBCQi为正方体,则下列结论 正确的是(ABC)A.(Al+AZb!+AB02=3A12b./Cc(aJi-a)=oC.向量aBi与向量乖夹角的大小为120。D.正方体ABC。一A/iGA的体积为以方看1病|【解析】不妨设该正方体的棱
21、长为L以DC,为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系。孙z,则 A(1,O,O),5(1,1,0),C(0,l,0),(0,0,0),4(1,0,1),3(1,1,1),因为扇+Ai+a5i=(0,0,1)+(1,0,0)+(0/,0)=(11,-1),所以(乘+Albi+乖1)2=从1+411+4筑1|2=3,又3乘12=3|蕊|2=3c os60=3,.AO2+A1O2=AA1,:.axoao.由于平面 A4CC,平面 ABCD,且平面 A41GCC平面 ABCD=AC,A0U平面 AACC,AOJ_平面A5c o.以05,0C,O4i所在直线分别为轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角
22、坐标系,则 A(0,-1,0),3(小,0,0),C(0,l,0),D(一5,0,0),4(0。5 G(0,2,小).由于晶=(一25,0,0),看i=(0,1,6),AArBD=0X(-2 3)+IX 0+/3 X 0=0,:.BDAAi9 即瓦(2)假设在直线CG上存在点P,使3尸平面D4iG,设币=2公 1,P(x,z),则(%,y-1,z)=2(0,1,小).从而有尸(0,1十九 小入),诵=(一小,1+2,收).设平面。4G的法向量为肛=(%3,为,Z3),的-LAiG,则XA;C1=(0,2,0),而 1=(小,0,黄),则2 y3=,取 3=(1,0,1),因为5尸平面D4iG,
23、则3,与尸,即 nyBP=332=0,得丸=1,即点尸在GC的延长线上,且GC=CP高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作课后作业(四十三)向量法求空间角基础巩固练1.(2021 河南省新乡检测)在四棱锥尸一A5C。中,B4J_平面A3CZ),B4=2,BC=2AB=4,且四边形ABC。是矩形,石是的中点,则异面直线3E与P C所成角的余弦值是A&r 应言口也A 18 6 J8 D 6【解析】根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则尸(。,。,2),B(2,0,0),C(2,4,0),(0,2,1),所以盛=(2,2,1),立;=(2,4,-2),则异面直线3石与P C
24、所成角的余弦值为c os BE,PC=厩囱=/.故选C.BEPC 182.如图,已知长方体ABC。一ApBCQi中,AD=AAi=l,AB=3,为线段A3上一一 L 1点,口凡二彳48,则DC】与平面DiEC所成角的正弦值为(A)A.C.3住 3533B.7D.43A EB【解析】如图,以。为坐标原点,DA,DC,。所在直线分别为x轴,y轴,2轴建立空间直角坐标系,则G(03D,。1(。,。/),(1,1,0),。(0,3,0),。1=(。,3,1),i=(l,L-1),OC=(0,3,-1).设平面。归C的法向量为=(x,y,z),则nDiE=0,j t,DiC=0,xy-z=0,3yz=0
25、取 y=l.得=(21,3).DCvn 3/35 c osn)_ 35,DCinQG与平面DiEC所成的角的正弦值为嗜.故选A.3.在正方体A5C。一ApBCQi中,所成的锐二面角的余弦值为(B)点石为5坊的中点,则平面AiED与平面ABC。1 2A,2 Bq C.323 D.2【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则4(0,0),(1e1,0,5,。(0/,0),一 一 r nApD=(0,l,-1),A石=1,0,设平面 的一个法向 r加幺1。=0,M m=(x,y,z),则j _7nAf=0,y-z=。,1 令 z=2,则=1,y=2,根=(1,2,2),%
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