高考数学大一轮复习课件 课后作业41-50.pdf

课后作业（四十一）直线、平面垂直的判定与性质基础巩固练1.（2021 长沙一中高三测试）已知直线/和平面a,0,且/Uq,则“以是 的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由面面垂直的判定定理可得，若Ya,1邛,则a”,充分性成立；若/Ua,al a则/与用平行或相交或垂直，必要性不成立.所以若Ya,则是a 邛的充分不必要条件，故选A.2.（2022.山东青岛期末）设a,是两个不同的平面，/是一条直线，以下结论正确的 是（A）A.若/_La,a夕，贝U LLB.若/a,6贝Ua万C.若/_La,a邛,贝D.若/a,aLB，贝U/LS【解析】若两平面平行，则垂直于一个平面的直线必垂直于另一个平面，故A正 确.若a G=机，I/m,此时满足/a,/,但不满足口,故B不正确.若/_La,a 工B，则可能有/U,也可能有/故C不正确.若/a,a邛,则直线/可能在平面 夕内，可能与平面相交，也可能有/故D不正确.故选A.3.如图，在斜三棱柱A5CAS G中，ZBAC=90,BQXAC,则 G在底面ABC上的射影“必在（A）A.直线A3上B.直线5。上C.直线AC上D.Zk ABC内部【角星析】连接AG（图略），由AC_LAH ACXBCp ABABCi=B,得ACJL平面A5G.VACC平面ABC,：.平面ABCi 平面ABC.：.Ci在平面ABC上的射影H必在两平面的交 线A3上.故选A.4.(2021 浙江卷)如图，已知正方体ABC。一ApBiGA，M,N分别是A。，的中 点，贝U(A)A.直线AQ与直线。1垂直，直线MN平面ABC。B.直线AQ与直线平行，直线MN，平面C.直线与直线相交，直线MN平面A3CDD.直线A0与直线。出异面，直线MNJ_平面BOAS【解析】连接ADX，则AiDXADi，且也为AA的中点.因为AyDl AB,且AD AB=A,所以AQJ_平面AB。，又。pBu平面AE)i，所以由图易知AQ 与 异面，故B,C错误.因为M,N分别为AO”0pB的中点，所以MN加3,又平面 ABCD,A5U平面A3CZ),所以 MN平面A3CZ),易知A3与平面3。归1不垂直，则 MN与平面不垂直，故A正确，D错误，故选A.ADtB5.（2 02 1.四川绵阳南山中学开学考试）如图所示，是半圆。的直径，坳垂直于半圆。所在的平面，点。是圆周上不同于A,3的任意一点，M,N分别为 以，V。的中点，则下列结论正确的是（B）A.MN/ABB.平面以1。，平面6。C.MN与所成的角为45。D.0C，平面 VAC【解析】VM,N分别为 侬，VC的中点，：.MN/AC,而ACAA5=A,：.MN/A3不成立，故A不正确；由ACL5C得MN与5C所成的角为90。，故C不正确；:侬 垂直于。所在的平面，5CU。所在的平面，：.VABC,又ACn0L=A,平 面0LC,又5CU平面V8c.平面 平面VBC,故B正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，故D不正确.故选B.6.（多选）（2 02 1 河北唐山模拟）如图，在以下四个正方体中，直线A3与平面CD石垂 直的是（BD）DB【解析】对于A,易证A5与。石所成角为45。，则直线A3与平面CD石不垂直；对于B,易证A5_LC,ABLED,且。石nD=E 贝平面CE出；对于C,易证A3 与。石所成角为60。，则直线A5与平面 8石不垂直；对于D,易证即JL平面A3C,则 EDAB9同理石CLA5,可得A3,平面CDE故选BD.7.（多选）（2022.山东泰安模拟）在三棱锥PA5C中，能证明APBC的条件是（ACD）A.APLPB,APPCB.AP1PB,BCLPBC.平面 平面”C,BCLPCD.平面5c【解析】因为APPC,PBCPC=P,所以AP，平面P 8C,又5CU平 ffiP BC,所以AP L5C,故A项能证明；因为平面平面AP C,BCLPC,所以5C，平面AP C,又AP U平面AP G 所以AP L5C,故C项能证明；由A知D项能证明；B 项中的条件不能判断出AP _L3c故选ACD.8.如图所示，在四棱锥PABC。中，必，底面A5C。，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足。加工尸。（或5加工）时,平面MB。，平面P CD（只要填写一 个你认为是正确的条件即可）【解析】连接AC,贝因为BO底面A5CD 所以又B4nAe=A,所以平面PAC,所以BDPC,所以当OMJ_P。（或时，即有P CX 平面M8D而P CX平面P CD,所以平面M3。J_平面P CDAB9.（2019北京卷）已知/,根是平面。外的两条不同直线，给出下列三个诊断：/_Lm；m/a；/_La以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题 若/L加，/La则加a（若加a,/La,则帆 L/）【解析】l m,小a时，/与a可能相交，也可能平行，故。/今；当/JLzn,/_La时，由于机是平面a外的一1条直线，故相a,即今；若加a,/_La时，11.机必然成立，即今.故正确命题为若/_!_相，/_La,则小。或若加a,/JLa,则加/.10.在三棱锥尸一45。中，平面E4CJ_平面ABC,ZP CA=90,ABC是边长为4的 正三角形，P C=4,/是AB边上的一动点，则尸M的最小值为2书.pMBc【解析】连接CM,则由题意知P CJ_平面ABC,可得P CX CM,所以PM=P CHa iA 要求P M的最小值只需求出CM的最小值即可，在ABC中，当 时CM有最小值，此时有。加=4*卓=25，所以P M的最小值为2 sn.(2021.全国乙卷)如图，四棱锥尸一A5CD的底面是矩形，尸ZU底面A5CD,M为 3C的中点，且尸(1)证明：平面平面尸5。；(2)若尸求四棱锥PA3CD的体积.【解】(1)证明：因为尸底面ABC。，AMU底面A5CD 所以尸OLAM.又因为 PBAM,PDCPB=P,所以AM_L平面PBD.又 AMU平面PAM,所以平面平面 PBD.(2)由(1)知AM,平面尸50,又5OU平面尸&),所以在矩形 A5CD 中，设 A0=2 x(x0),则由 可得NMA3+NA5O=90。，而NADB+ZABD=90,所以 NAOB=NMAR在 RtZk ABM 和 RtZVM3 中，ta nZMAB=An%,f c AB 1 g、X 1 口口V ta n/ADB=云，所以i=i?即=所以AO=g,所以四棱锥尸一A3c Z)的22，体积 Vp-ABCD=2矩形 ABCD，PD=g XyX 1X1=3,12.（2022保定九校联考）在平行六面体ABC。一ApBCQi中，AAX=AB,ABB.求证：(1)A5平面A/C；(2)平面 A55iAi_L 平面 ABC.【证明】(1)在平行六面体A5CDApBCQi中，AB/A.B,.因为A加平面ApBC，AJ?iU平面AS G 所以A3平面AS C.(2)在平行六面体ABC。一ApBCA中，四边形AMA为平行四边形.又因为A4i=A3,所以四边形A551A1为菱形，所以A3i，A/.因为 AS BiG，BCBC，所以 AS，5c又因为415nApBU平面A。，5CU平面A。，所以AS，平面ApBC,又因为A5U平面A5BAi，所以平面A551Al，平面4 pBe能力提升练13.（2022.福建福州质检）已知a,b是两条异面直线，直线c与m匕都垂直，则下列 说法正确的是（C）A.若u平面a,贝U q_LaB.若 c d_平面 a,贝U b/aC.存在平面a,使得c _La,aUa,b/aD.存在平面a,使得ca,Z?_La【解析】对于A,满足c U平面a,且c与异面直线，Z?均垂直，则可能在。内,也可能与。相交，也可能与a平行，故错误；对于B,满足平面。时，直线与直线 可能其中一条在平面。内，故错误；对于C,若Z?a,则a内一定存在一条直线Z/,使得匕,又知且与Z?为两条异面直线，所以与一定相交，又知c _L6,b/bf,所以c _LZ?，又知c _L，a与相交，所以c _La,故正确；对于D,如果_La,b.La,则6,这与条件中，6是两条异面直线相矛盾，故错误，因此选C.14.（多选）（2022.山东实验中学高三模拟）九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂 直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳 马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖席”.如图，在“堑堵”ABCA/iG 中，ACXBC,且A4i=A5=2.则下列说法正确的是（ABD）A,四棱锥BA.ACC.为“阳马”B.四面体4GC5为“鳖席”2C.四棱锥54ACG体积的最大值为QD.过点A分别作AELAJ?于点石，A尸，AC于点尸，贝U石尸，【解析】因为底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，所以在“堑 堵”ABCAS G 中，ACBC,侧棱 AAiJ_平面 ABC因为 AAi_L5C,X ACBC,_S AAAC=A,则平面AAiGC 所以四棱锥34ACG为“阳马”，故A项正确.由ACL5C,得 A1C1BC,X A1C1C1C ja CiCnBC=C,所以 AiG_L平面 BBGC所以 AG J_5G，则AbBG 为直角三角形.又由平面A4CC，得AbBC为直角三角形.由“堑堵”的定义可得4GC 为直角三角形，CGB为直角三角形，所以四面体小一GC3为“鳖腌”，故B项正确.在底面 有 4=AC2+BC22 ACXBC,即 ACXBC2,当且仅当 AC=BC 时取等号.VB-AXACCX=1?45A1ACG XBC=jAAi XACXBC=jACXBC 一，-,一七，0,所以 B 错误；因为AB=(2,l,0),BC=(-3,1,1),所以 c os AB,BCID。J=当空=耳，所以C错误；设平面ABC的法向量=Q,y,z),因为后=(2,0),ABBCAC=(-1,2,1).所以nAB=O,n-AC=Ol2 x+j=0,x+2 y+z=0.令 x=l,则平面ABC的一个法向量为=（1，2,5）,所以D正确.故选D6.如图，在大小为45。的二面角A跖一。中，四边形AB尸E,四边形GDEb都是边 长为1的正方形，则以。两点间的距离是（D）C.1 D.43一市【解析】；BD=BF+FE+ED,：.|BD|2=I丽 2+1 曲2+1 访+2RFFE+2FEED+2BFED=1+1+1也=3隹故|砺|=13啦.故选D.7.如图所示，在正方体ABC。一ApBiGA中，棱长为，M,N分别为和AC上 的点，AiM=AN=,则MN与平面B8GC的位置关系是（B）A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面B81GC内【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由于A*AN=冰,(a,2a aT,3)9(l a 2a0,2a37则M町,3)一 a,MN)a C3,又GQJ_平面BBiGC，所以GA=（。，,0）为平面531GC的一个法向量.因为赢。1:0,所以而V，。山1，又 MN平面551GC,所以MN平面33GC故选B.8.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,。为3C的中点，E为AO的1,I.I中点，则布=2十承十不.（用。,4。表示）1【解析】由题意得0E=(O4+0D)=OB+OQ719.已知。=(1,0,1),0=(x,l,2),且。力=3,则向量。与的夹角为“【解析】.=x+2=3,：.x=l,.b=(l,l,2).,ab 3 小-C0 S b 团一也X册2.与b的夹角为?10.在空间直角坐标系。一孙Z中,已知点41,0,2),5(021)，点。，。分别在X轴,y轴上，且那么|8|的最小值是【解析】设。(0,0),D(0,yO),因为 A(l,0,2),3(0,2)，所以4b=(1,y,-2),BC=(x,-2,-1).因为 AOJ_5C,所以4b布=x2 y+2=0,BP x+2y=2.因为=(x,yO),所以|无尸=y(22丁)2十人n.如图，平行六面体A5C。一ApBiGA中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两 两夹角为60。.求AG的长；求BDX与AC夹角的余弦值.【解】记AB=q,AD=b,AAx=c,则=|用=|c|=l,a,b=c=c,a=60,Ub bCCU 2，一 fl 1 11AC1=(abc)2a2b2c22(a-bbcc-a)=1+1+1+2 X 5+5+5=6?.|AGI=&，即AG的长为班.(2)由得，BDx=b+c-a,AC=a+b,|血=隹丽=血BDAC=(b+c)(+6)=户一a2-ba-c-bb-c 1./.c osaBDi，AC)=BDVAC yj 6mu aci6-：.AC与BD夹角的余弦值为2 66.12.(2022.广东六校第一次联考)在四棱锥尸A5CD中，四边形A5CD是平行四边形,平面PAB与平面PCD的交线记为m,已知PABCD的体积为16且港2PG-PC.(1)证明：C。机；(2)求三棱锥AEFG的体积.【解】(1)证明：:四边形ABCD是平行四边形，：.AB/CD.:A3U平面 BL 86平面 B45,C。平面B4A:CDU平面尸CD,平面B43 A平面尸CD=根，：.CD/m.-3 1-A(2)VP=tPB,PF=PA,i-9 1 3 3 AE F=2*4，AABP=gAABP?3 VaEFG=VgEFA=gabp-：PG=1PC,/VgABP=2 C-ABP VaEFG=4 VCABP g VpABCD=2 能力提升练13.设A,B,C,。是空间中不共面的四点，且满足ABAC=O,ACAD=O,BAD=0,则5。是（B）A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.不确定C【角翠析】因为AH BC=AC-AB,所 以丽就=(AD-AB)-(AC-AB)=ADAC-ADAB-ABAC+|AB|2=|AB|20,所以 c osNC50=c os BC,BDBCBD _ _ 0,BCBD所以NC5D为锐角，同理488 与4BOC均为锐角,所以BCD为锐角三角形.故选B.14.（多选）（2021.江苏徐州检测）已知四棱柱A5CDApBCQi为正方体，则下列结论 正确的是（ABC）A.（Al+AZb!+AB02=3A12b./Cc（aJi-a）=oC.向量aBi与向量乖夹角的大小为120。D.正方体ABC。一A/iGA的体积为以方看1病|【解析】不妨设该正方体的棱长为L以DC,为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。孙z,则 A(1,O,O),5(1,1,0),C(0,l,0),(0,0,0),4(1,0,1),3(1,1,1),因为扇+Ai+a5i=(0,0,1)+(1,0,0)+(0/,0)=(11，-1),所以(乘+Albi+乖1)2=从1+411+4筑1|2=3,又3乘12=3|蕊|2=3c os60=3,.AO2+A1O2=AA1，:.axoao.由于平面 A4CC，平面 ABCD,且平面 A41GCC平面 ABCD=AC,A0U平面 AACC，AOJ_平面A5c o.以05,0C,O4i所在直线分别为轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),3(小,0,0),C(0,l,0),D(一5,0,0),4(0。5 G(0,2,小).由于晶=(一25，0,0),看i=(0,1,6)，AArBD=0X(-2 3)+IX 0+/3 X 0=0,：.BDAAi9 即瓦（2）假设在直线CG上存在点P，使3尸平面D4iG，设币=2公 1，P（x,z）,则（%,y-1,z）=2（0,1,小）.从而有尸（0,1十九 小入）,诵=（一小，1+2,收）.设平面。4G的法向量为肛=（%3，为，Z3）,的-LAiG，则XA；C1=(0,2,0),而 1=(小，0,黄),则2 y3=，取 3=(1,0,1)，因为5尸平面D4iG，则3，与尸，即 nyBP=332=0,得丸=1,即点尸在GC的延长线上，且GC=CP高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作课后作业（四十三）向量法求空间角基础巩固练1.（2021 河南省新乡检测）在四棱锥尸一A5C。中，B4J_平面A3CZ）,B4=2,BC=2AB=4,且四边形ABC。是矩形，石是的中点，则异面直线3E与P C所成角的余弦值是A&r 应言口也A 18 6 J8 D 6【解析】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则尸(。,。,2),B(2,0,0),C(2,4,0),(0,2,1),所以盛=(2,2,1),立;=(2,4,-2),则异面直线3石与P C所成角的余弦值为c os BE,PC=厩囱=/.故选C.BEPC 182.如图，已知长方体ABC。一ApBCQi中，AD=AAi=l,AB=3,为线段A3上一一 L 1点，口凡二彳48,则DC】与平面DiEC所成角的正弦值为（A）A.C.3住 3533B.7D.43A EB【解析】如图，以。为坐标原点，DA,DC,。所在直线分别为x轴，y轴，2轴建立空间直角坐标系,则G(03D，。1(。,。/)，(1,1,0),。(0,3,0),。1=(。,3,1),i=(l,L-1),OC=(0,3,-1).设平面。归C的法向量为=(x,y,z),则nDiE=0,j t，DiC=0,xy-z=0,3yz=0取 y=l.得=(21,3).DCvn 3/35 c osn)_ 35，DCinQG与平面DiEC所成的角的正弦值为嗜.故选A.3.在正方体A5C。一ApBCQi中,所成的锐二面角的余弦值为（B）点石为5坊的中点，则平面AiED与平面ABC。1 2A，2 Bq C.323 D.2【解析】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则4(0,0),(1e1,0,5，。(0/，0)，一 一 r nApD=(0,l,-1),A石=1,0,设平面 的一个法向 r加幺1。=0,M m=(x,y,z),则j _7nAf=0,y-z=。，1 令 z=2,则=1,y=2,根=(1,2,2),%一呼=0,显然平面ABCD的法向量n=(0,0,l).cnif i 2 2.c os(m,n)=jj=12+22+22=52平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为故选B.4.在正方体A3OA/1GA中，。是50的中点，点尸在线段8A上，直线。尸 与平面ABD所成的角为a,则sinc e的取值范围是（A）【解析】设正方体的棱长为1,分别以D4,DC,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略)，则。丘，2,A(1,O,O),G(o,l,l),可设尸X,1)(OXu平面AB CD,CDJ_ 平面 B4O,：.CDPD,PD A/s 9：AB/CD,NP CD是直线尸。与AB所成的角.A ta nZP CD=75=9.设 PD=,贝UCQ=2,分别取AO和BC的中点。，N,连接尸。，ON,VB4=P D,：.POLAD,平面BLZ)，平面A5c D,平面 BLOC平面A5CZ)=AZ),尸Ou平面B4Z),P O_L平面A5CZ).以。为坐标原点，。4所在直线为轴，ON所在直线为y轴，0P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，贝I尸(0,0,2),0(120)，5(120)，C5=(2,0,0),CP=(L-2,2).设加=(x,y,z)是平面尸5C的法向量,m-CB=2x=0,则一 m-CP=x2y+2z=0,取y=l,得加=(。/,1),平面PAD的一个法向量=(0,1,0).mn_1_2 c os m,n=|词同=g xi=2 m,n=%I.平面BLZ）与平面尸5C所成锐二面角的大小为全9.（2 02 0.江苏卷）在三棱锥ABCD中，已知CB=CD=y,BD=2,0为瓦）的中点,AOm BCD,49=2,E为 AC 的中点.求直线AB与DE所成角的余弦值；1（2）若点尸在上，满足5尸=4。，设二面角方一DEC的大小为仇 求sin。的值.【解】(1)连接0C,因为C5=8,。为的中点，所以C0L3D 又 AOJ_平面 3C。,所以 A0_L05,AOLOC.以5k女，屈为基底，建立空间直角坐标系。盯z.因为30=2,CB=CD=5,49=2,所以 5(1,02)，。(一1。0)，0(0,2 2),40,0,2).因为石为 AC 的中点，所以(0,1,1).则蕊=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以|c os(AB,DE)1=丽丽|1+。一2|正|丽|丽一斤小一因此，直线AB与DE所成角的余弦值为噌.111 一 fl A(2)因为点尸在 上，BFyBC,5c=(1,2,0).所以5尸=48。=4,0.又。3=(2,0,0),DF=DB+BF=(1 1 八)kT 0设知=(a，,zD为平面。环的法向量,DEi=O,则,_。尸i=0,Xi+yi+zi=O,即1$1+%1=0取 芍=2,得 =7,Z=5,所以“1=(2,-7,5).设犯=(处，为，Z2)为平面的法向量,DE,f i20?又0c=(1,2,0),则 _、。肛=0,即%2+丁2+Z2=0,电+2y2=0，取 2=2,得 丁2=-1，Z2=-1?所以“2=(2,1,-1)故|c os8|=|i2l|4+7 5|a/H所以 sinL=11-c os?，：曾.10.(2 02 2泉州市质量监测一)如图，在四棱锥尸一A5c o中，尸平面A3CD,四边形 A3CZ)是平行四边形，ZBAD=45,且 AO=3Z)=尸。=1.B求证：B4XP C；(2)求二面角APBC的余弦值.【解】(1)证明：由 AO=5O,得NA3O=NA4O=45。，所以NAZ)B=90。,又尸Z)J_平面A5c D,所以D4,DB,Z)尸两两垂直.如图，以。为坐标原点，DA,DB,。尸所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系，贝UA(1,O,O),C(1,1,0),尸(。,0,1),所以函=(1,0,-1),P C=(-1,L-1),所以函瓦:=0,所以B4_LP C（2）易得3（0,0）,所以尸3=（0/，-1）.设帆=（修，,zD为平面B45的法向量,则m-B4=0,m-PB=0,X Zi=0,zi=0,即令4=1,得/n=（l/）.设=（%2,m，Z2）为平面尸5C的法向量,则n-P C=0,n-PB=0,一%2+乃一Z2=0,、乃一Z2=0,即令 Z2=1,得=(0,1,1).I 诬所以|c os m,|=加而=而逆=3-由图可知，二面角aP 5C的平面角是钝角,所以二面角APBC的余弦值为一坐.能力提升练11.(2020.全国卷I)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，4E为底面直径,是底面的内接正三角形，尸为。上一点，PO=RO.(1)证明：B4,平面尸5C；(2)求二面角B-PC-E的余弦值.、6 3【解】（1）证明：设。=，由题设可得尸。=手，AO=a,AB=a,PA=PB=PC=2 a.因此BL?+尸52=42,从而以J_ pR又242+尸02=4。2,故必_l pcPBA尸。=尸，所以B4L平面尸3c.(2)以。为坐标原点，0E的方向为y轴正方向，。的方向为z轴的正方向，|。囿为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。QZ由题设可得 E(O,1,O),A(0,-1,0),A0,)P 0,kf(i 一(所以EC=一2，oj,EP=o,设机=(x,y,z)是平面P CE的法向量，则jm-EP=O,j nEC=O,y+9z=0,25-1=n 2、，丁一。可取m=f/33，由(1)知 AP=0,1,即是平面P C5的一个法向量，记九=AP,贝!J c osn,m)=*.嬴=.易知二面角3P C一石的平面角为锐角,所以二面角B-PC-E的余弦值为5.12.(2 02 0全国卷H)如图，已知三棱柱A5CA/C的底面是正三角形，侧面是矩形，M,N分别为BC,为G的中点，尸为AM上一点.过8G和尸的平面交A5于石,交AC于E(1)证明：AAX/MN,且平面4AMN，平面Me；(2)设。为AliG的中心.若AO平面EBiGR 且AO=AB 求直线与石与平面 4AA/N所成角的正弦值.【解】（1）证明：因为，N分别为BC,51G的中点，所以MNCG.又由已知得 CG，故 A4iMN,因为A/1G是正三角形，所以51GLA1N.又BiCil MN,AiNCMN=N,故为G，平面Ap4MN.又囱。1匚平面防C/，所以平面AiAMALL平面EBCF.(2)由已知得AMJ_5C以M为坐标原点，用久的方向为x轴正方向，|加冽为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系加盯z,则A5=2,AM=,连接NP由知平面AiAMALL平面A3C,作NQ J_AM,垂足为。，贝UN。，平面A5C设 Q(,0,0)，故瓦k=B.E=又=(0,1,0)是平面 A1AMN 的法向量，故 sinr一，靛=c os，靛=上吁=噜.所以直线B】E与平面AiAMN所成角的正弦值为嚼.n-B.E高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作 课后作业（四十四）空间距离及立体几何 中的创新问题基础巩固练1.（2022.福建莆田模拟）在长方体A3C。一ApBCQi中，AB=BC=1,异面直线AA 与M）所成角的余弦值为甯，则AA=（B）A.1 B.2 C./19 D./2 2【解析】如图，以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x,轴，建立空间直角坐标系Oxyz,设 AAi 的长为 Q0),易知 A(1,O,O),5(0,0,t),B(l,l,0),0(0,0,0),则g=(1。A/IQD，BD=(1,1,0).异面直线AD1与BD所成角的余弦值为力,.ADvBD,-=ADi-BD1=2.故选B.2.（2 02 2.湖北省高三模拟）在棱长为1的正四面体ABC。中，M为上的一点，且AM，N为AC的中点，则点A到平面8MN的距离为（C）A555C 10D10B5【解析】取5C的中点为E 连接交3N于点0,连接。0,如图,因为四面体A4CQ为正四面体，N,石分别为AC,的中点，所以0为等边三角形A5C的中心，且平面A5G则以N为坐标原点可作如图所示的空间直角坐标系，其中。0z轴,因为正四面体ABCD的棱长为1,所以AO=|AE=|x 4卜号所以D0=则 a|o,-1,o),)憎，0,呼 3归，0,0),N(0,0,0).因为即am/ad,所以拈g,一：，闸，D io J y J所以加理0,oj,而/=磊-j,第，设平面5MN的法向量=(x,y,z),f V3则 _ 巧 1 后 令z=3,贝Ux=O,y=偈 所以取=(0,3),nNM=1Qxy+n z=0,io y y一 水 又病=(o,o,所以点A到平面3MN的距离4=性解=7急=喘.故选C.3.（2021.河南重点中学5月仿真）三星堆遗址位于四川省广汉市，距今约三千到五千 年.考古学家从三星堆遗址中发掘出了玉琮.玉琮（图1）是一种内圆外方的筒型玉器，是 古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图2所示，圆筒内径长2 c m,外径长3 c m,筒高4 c m,中部为棱长是3 c m的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为(A)(7*3 兀 3A.12 7j c m3 B.pt+j c m39兀)3 Ac 7兀 3C136j c m3 D.18+1J c m3图1图2【解析】由题意知，圆筒的体积为兀义52-12 X4=5mPB=ac=3贝I _ 取=1,得加=(1,0,1).设二面角3一尸co的平面角为m-PC=aJrbc=0,3贝则s。尸鬻=春=当又。是钝角，普，57r即二面角B-PC-D的大小为学.(3)方在线段A尸上，且直线B尸与平面P C。相交，可设贝UA方=九4尸，VAP=L AF(O,O,2),ABF=(-1,0,2).由(1)得，平面 PCD 的一个法向量 为=(1,1,2).A 1直线 B尸与平面尸相交，：.BF n O,即一1+2 AW0,V2 e0,l),署的取值范围是0,3 U31.高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作 课后作业（四十五）高考中的立体几何综合问题基础巩固练1.（2021.南充适应性考试）在五边形AEBCD中，BCCD9 CD/AB,AB=2CD=2BC,AEBE,（如图1）,将入5石沿A5折起，使得平面平面ABC。，线段AB 的中点为。（如图2）.图1 图2（1）求证：平面ABE，平面。石；求平面ABE与平面ECD所成的锐二面角的大小.【解】（1）证明：由题意A5=2 CZ）,。是线段A5的中点，贝I05=8,又所以四边形05c o为平行四边形，又5CLCD,所以A5L0D因为A石=5。是线段A3的中点，所以石0J_A3,又E0CD0=0,所以43_1平 面。0E 又A3U平面A3。所以平面A3石1,平面OOE(2)因为平面A5E_L平面A5CD 平面A3石C平面A5c Z)=A5,ODLAB,OOU平面 AB CD,所以平面A3E 所以。Z)J_OE 结合(1)可知O OD,。两两垂直，以。为坐标原点，OB,OD,OE所在直线分别为达z轴建立如图所示的空间直 角坐标系Oxyz,由及E45为等腰直角三角形，AB=2CD=2BC,得OA=OB=OD=OE,不妨取 CD=3C=1,贝U 0(0,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),石(0,0,1),8=(1,。,。)，D=(0,1,1).设平面石。的法向量为=(羽y,z),则n,CD=0,n-D=0,%=0,y+z=O,即取 z=l,则=(0,1,1),因为0。，平面所以平面A8石的一个法向量为5b=(0,1,0).设平面A3E与平面石CO所成的锐二面角为仇 则c os8=|c os 6b,n10X0+1X1+0X11 y/21X12+12-2 所以9=45。,故平面ABE与平面ECD所成的锐二面角为45.2.(2 02 1.黑龙江哈尔滨高三检测)如图，四棱锥PA3c。的底面是边长为1的正方形,B4,底面ABCD,E,尸分别为A P C的中点.(1)求证：E尸平面B4D若阴=2,试问在线段所上是否存在点Q,使得二面角QAPD的余弦值为?若存在，请确定点。的位置；若不存在，请说明理由.【解】（1）证明：如图，取尸。的中点为连接MF MA,在尸C。中，尸为尸。的中点,所以尸OC且M尸=：OC在正方形A3CD中，石为A3的中点,1所以A石 OC,且AE=/C,所以且4月=尸，故四边形EFMA为平行四边形，所以 EF/AM.又因为片网平面B4D AMU平面B4D,所以E尸平面PAD.存在，点。是石尸的中点.理由如下：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，贝UA(O,O,O),尸(0,0,2),5(0,1,0),C(l,l,0),、J 1 门E0,0,E7fl 12 T1,7由题易知平面PAD的一个法向量为=(0,1,0),一 一 一 n 1假设存在。满足条件，设石。=/石/，2 e(o,l,因为石尸=6，0,1J,U 1 一 门 1 1f所以。5，5,丸，AQ=5，5,2,AP=(0,0,2),2 e(0,l.乙)，J设平面B4。的法向量=(x,y,z),则%J 一 八/十 5y 十/lz=0,2 z=0,令 x=l,则取/n=（l,九 0）.m一2所以c osm,nmn由已知奈/雪，解得或（舍去），所以满足条件的。存在，是跖的中点.3.(2 02 2.海口市名校新高三摸底考试)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条 侧棱的长都是底面边长的啦倍，夕为侧棱S D上的点.若S Z)_L平面RLC,求二面角尸一ACO的大小.(2)在(1)的条件下，侧棱S C上是否存在一点E使得55平面以C?若存在，求出点石的位置；若不存在，试说明理由.【解】（1）如图，连接跳）,因为四边形ABCD为正方形,由题意，SB=SD,所以S OJL 同理S OLAC所以OC,OD,OS两两垂直设AC与的交点为0,连接S O.1sB o、X所以ACJL3O,且点。为AC,30的中点.BD,以。为坐标原点，OC,OD,OS所在直线分别为羽y,Z轴建立空间直角坐标系.不妨设 0c=1,则。=啦，SC=2,o s=yj sc2-o c2=3,所以。(0,1,0),5(0,0,小)，所以立=(0,1,一收因为平面B4C,所以平面B4C的一个法向量为 1=而=(0/，-3).易得平面DAC的一个法向量为n2=(0,0,1).设二面角P-AC-D的平面角为e,则|c os。尸萧萧=?，7T由图易知，二面角尸一AC一。为锐二面角，所以。=4，JT即二面角P-AC-D的大小为4.(2)由可得5(0,-1,0),C(l,0,0),所以S C=(l,0,-a/3).假设满足条件的点石存在，不妨设无文=&(),3。一40,1,则石&0,3-3所以诵=(口，,一小因为平面B4C的一个法向量为产而=(0/，一审)，且BE平面E4C,所以法”2所以 1 3+3%=0,得，=所以存在满足条件的点5点E为线段S C上靠近点C的三等分点.4.(2 02 2.北京东城区期末)如图，在三棱柱A5CA/中，平面ABC,ABLBC,AA=AB=BC=2.求证:5C平面GC；(2)求异面直线BC与AXB所成角的大小；(3)点M在线段氏。上，且黑=%(0,1),点N在线段A1上，若平面AiACG，求的值(用含力的代数式表示).【解】（1）证明：在三棱柱A3CApBiG中，因为班平面A3C,所以3氏_1平面又5囱u平面BiBCG，所以平面5pBeG，平面4囱。1.因为A5_L5C,所以45_1_坊。1，因为A/iU平面A/iG，平面BJCG A平面A/iG=BC，所以ApBi_L平面5pBeG.因为BCiU平面BpBCG，所以Ali_L5G，因为35i=3C=2,所以四边形3bBeG是菱形，所以3CJ_3G，又A/iG3iC=5,所以3G，平面A/C.(2)如图，以3为坐标原点，BC,BA,5囱所在直线分别为羽 坐标系Bxyz,z轴建立空间直角贝U 5(0,0,0),C(2,0,0),Ai(0,2,2),囱(0,0,2).所以懿=(2,0,-2),A=(0,-2,-2)所以c os吊8,氤)1-2,依避3C|又异面直线所成角的取值范围为。，故异面直线BiC与A.B所成角的大小为全(3)易知平面4ACG的一个法向量n=(l,l,O),由梨=九得M(2九0,2-2 2).A 1 n-设等=，得 N(0,22，22)，则MN=(2九 2-2/,2%2)，因为MN平面4ACG，所以加=0,即(一2九 22，222)(1,1,0)=0,即一22+22=0,解得=1 九 所以才与=1 2.能力提升练5.（2022.四川成都七中月考）已知ABC的各边长为3,点O,石分别是A3,AC 的点，且满足CE 1。为A5的三等分点（靠近点A）（如图1）,将AO石沿。石折起到4一2 AQ石的位置，使二面角40石一5的平面角为90。，连接ApB,AC（如图2）.(1)求证：平面(2)在线段5C上是否存在点P,使直线P 4i与平面A/。所成的角为60。？若存在，求 出尸5的长；若不存在，请说明理由.【解】（1）证明：由题意可得，AE=2,AD=L A=60,从而 DE=/l2+22-2 X 1 X2 Xc os60=a/3,故得 AZ）2+。石2=a2,a ad d e,bda_.de.AAiD XD E,BDLDE,/./AQB为二面角AiDEB的平面角,又二面角 AiDE8 为直二面角，A ZAiDB=909 即 9：DEnDB=DDE,DBU 平面 BCEQ,ApDJ_平面BCED.(2)存在，由(1)知ED_LOB,41。_1平面5。现).以。为坐标原点，以DB、DE、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系Dxyz,如图.过尸作PH/DE交BD于点H,设尸5=2(0W2W3),贝PH=y3a,DH=2 a,易知 4(0,0/)，尸(2，g,0),(0,市，。)，所以育1=(2,小/).因为EZ)J_平面ApBO,所以平面ApBO的一个法向量为法=(0,5，0),因为直线B4i与平面43。