固体物理黄昆.pptx
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1、能带理论:能带理论:研究固体中研究固体中电子状态电子状态及及运动规律运动规律的主要的主要理论基础理论基础能带理论的成就:能带理论的成就:(1)定性地阐明了晶体中)定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性电子运动的普遍性的特点的特点如说明了如说明了导体、非导体的区别导体、非导体的区别晶体中电子的晶体中电子的平均自由程远大于原子间距等平均自由程远大于原子间距等.(2)能带论提供了)能带论提供了分析半导体理论问题的基础分析半导体理论问题的基础,推,推动了半导体技术的发展动了半导体技术的发展(3)随着计算机技术的发展,能带理论的研究从定)随着计算机技术的发展,能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对性的普遍
2、性规律发展到对具体材料复杂能带结具体材料复杂能带结构的计算构的计算 第五章第五章 能带理论能带理论5.1能带理论的基本近似和假设能带理论的基本近似和假设:1)绝热近似:绝热近似:原子核质量比电子大,离子运动速度慢,讨论电子问题,认原子核质量比电子大,离子运动速度慢,讨论电子问题,认为为原子核是固定在瞬时位置上原子核是固定在瞬时位置上;价电子变化最大,原子内层电子状态变化很小价电子变化最大,原子内层电子状态变化很小;内层电子和原内层电子和原子核可以看成离子实。这可以得到电子体系的波动方程子核可以看成离子实。这可以得到电子体系的波动方程:实际晶体有大量的电子和原子核组成实际晶体有大量的电子和原子核
3、组成:能带理论的基本近似和假设能带理论的基本近似和假设:2)平均场(单电子)近似平均场(单电子)近似:多电子问题简化为单电子问题,每个电子是在固定的离多电子问题简化为单电子问题,每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动子势场以及其它电子的平均场中运动其中其中 代表电子代表电子i与其它与其它电子的相互作用势能电子的相互作用势能.此外此外:则第则第i个电子的哈密顿量个电子的哈密顿量:体系体系:能带理论的基本近似和假设能带理论的基本近似和假设:3)周期性势场假设周期性势场假设:所有离子势场和其它电子的平均场是所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场周期性势场在以上单电子近似核晶格周期性
4、势场假定下,多在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下,多电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子问题问题:晶体中的电子晶体中的电子在在晶格周期性的等效势场晶格周期性的等效势场中运动中运动波动方程波动方程晶格周期性势场晶格周期性势场理想晶体理想晶体 晶格,等效势场晶格,等效势场V(r)均具有均具有周期性周期性根据布洛赫定理,波函数可以写成根据布洛赫定理,波函数可以写成布布洛洛赫赫定定理理:当当势势场场 具具有有晶晶格格周周期期性性时时,波波动动方程的解具有以下性质方程的解具有以下性质晶格周期性函数晶格周期性函数布洛赫函数布洛赫函数 为一矢量。当平移晶格
5、矢量为为一矢量。当平移晶格矢量为 ,波函数,波函数只增加只增加了了位相因子位相因子5.2 周期势场下电子波函数的一般特性周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理布洛赫定理晶格晶格平移任意格矢量平移任意格矢量,势场不变势场不变在晶体中引入描述这些在晶体中引入描述这些平移对称操作平移对称操作的的算符算符(1)各平移算符之间对易)各平移算符之间对易为任意函数为任意函数布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量对应的平移算符对应的平移算符(2)平移算符和哈密顿量对易平移算符和哈密顿量对易对于任意函数对于任意函数和和 微分结果一样微分结果一样平移算符的平移算符的本征值本征值周期性
6、边界条件周期性边界条件总原胞数总原胞数T和和H存存在在对对易易关关系系,则则H的的本本征征函函数数同同时时也也是是各各平平移移算符算符T的本征函数的本征函数三个方向三个方向 上的原胞数目上的原胞数目对于对于整数整数对于对于对于对于引入矢量引入矢量倒格子基矢,有倒格子基矢,有平移算符的本征值平移算符的本征值布洛赫定理布洛赫定理将将 作用于电子波函数作用于电子波函数(1)表征原胞之间电子波函数表征原胞之间电子波函数位相的变化位相的变化(2)平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数简约波矢,简约波矢,不同的简约波矢不同的简约波矢,原胞之间的,原胞之间的位相差不同位相差不同(3)简约波矢)简约波矢改变
7、一个倒格子矢量改变一个倒格子矢量平移算符的平移算符的本征值不受影响本征值不受影响 平移算符本征值的物理意义平移算符本征值的物理意义 简约波矢简约波矢简约波矢的取值简约波矢的取值第一布里渊区体积第一布里渊区体积第一布里渊区第一布里渊区为为了了使使简简约约波波矢矢 的的取取值值和和平平移移算算符符的的本本征征值值一一一一对对应应,将将简约波矢的取值简约波矢的取值限制在限制在第一布里渊区第一布里渊区简约波矢简约波矢代表在代表在 空间中第一布里渊区空间中第一布里渊区均匀分布均匀分布的的点点每个代表点的体积每个代表点的体积状态密度状态密度简约布里渊区简约布里渊区的的波矢数目波矢数目简约波矢简约波矢Blo
8、ch函数函数:Bloch函数的性质函数的性质(1)行进波因子行进波因子 表明电子可以在表明电子可以在整个晶体中运动整个晶体中运动的,称为的,称为共有化电子共有化电子,它的运动具有,它的运动具有类似行进平类似行进平面波面波的形式。的形式。(2)周期函数周期函数 的作用则是对这个波的的作用则是对这个波的振幅振幅进进行调制,使它从一个原胞到下一个原胞作行调制,使它从一个原胞到下一个原胞作周期性周期性振荡振荡,但这,但这并不影响态函数具有行进波并不影响态函数具有行进波的特性。的特性。晶体中电子:晶体中电子:自由电子:自由电子:孤立原子:孤立原子:在晶体中在晶体中运动电子的波函数运动电子的波函数介于介于
9、自由电子自由电子与与孤立原子孤立原子之之间,是间,是两者的组合两者的组合。晶体中的电子晶体中的电子既不是完全自由既不是完全自由的,也不是的,也不是完全被束缚完全被束缚在在某个原子周围,因此,其波函数就具有某个原子周围,因此,其波函数就具有 形式。形式。周期函数周期函数 反映了反映了电子与晶格相互作用的强弱电子与晶格相互作用的强弱。l 如果晶体中电子的运动如果晶体中电子的运动完全自由完全自由l 若电子若电子完全被束缚完全被束缚在某个原子周围在某个原子周围晶体中电子波函数的理解晶体中电子波函数的理解如果电子如果电子只有原子内运动只有原子内运动(孤立原子情况),电子(孤立原子情况),电子的的能量取分
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