基于启动时间和可选服务的双阶段休假排队系统的流体模型性能分析.pdf
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1、Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1943-1960http:/基于启动时间和可选服务的双阶段休假排队系统的流体模型性能分析王勋徐秀丽*(燕山大学理学院河北秦皇岛0 6 6 0 0 4)摘要:基于店铺的外卖经营模式,该文构建并分析了具有启动时间、可选服务和两种混合休假策略的M/M/1/N排队系统驱动的流体模型首先,对驱动系统进行模型描述,并将此二维Markov过程的无穷小生成元写成块状雅克比矩阵形式,运用矩阵几何解方法求出驱动系统的稳态概率分布.其次,引入流体模型的净输入率结构,并利用概率分析方法得到流体库存水平在稳态条件下的微分差分方程组,进而运用Laplace变换(
2、LT)和Laplace-Stieltjes变换(LST)方法得到稳态条件下库存量的均值及空库概率.最后,通过数值分析给出各参数变化对系统性能指标和费用的影响。关键词:流体模型;双阶段休假;启动时间;有限容量;库存量MR(2020)主题分类:6 0 K25;90B22中图分类号:0 2 2 6文章编号:10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-1943-181引言随着电子信息技术的迭代速度越来越快,传统的离散排队模型在建模分析中表现出很大的不便性,流体模型在生产库存系统和互联网产业等领域具有更广泛的应用Virtamo和Norros1首先提出了由M/M/1排队系统驱动的流体模型,并运用谱方法
3、和第二类切比雪夫多项式得到库存量的平稳分布.Anda 和Resing2进一步使用嵌入点和修正Bessel函数的方法得到库存量平稳分布的表达式,通过使用合适的积分证明得到的结果与文献1中的结果一致.除谱方法外,逐渐出现了各种排队系统驱动的流体模型及其新的研究方法.Sericola和Tufin3运用递归法得到了流体模型平稳库存量的分布函数,并在文中给出了一种稳定的算法,进而得到可以预先指定精度的结果.Parthasarathy等4通过连分数法巧妙地给出了稳态条件下流体模型库存量Laplace-Stieltjes变换(LST)表达式.考虑系统是有限容量的情形,Parthasarathy和Lenin5
4、研究了具有可变服务率和无限缓冲器容量的M/M/1/N排队系统驱动的流体模型,使用三角行列式恒等式解析地给出了三对角矩阵的特征值毛炳蔚6 分析了单服务台排队系统驱动的流体模型,用几种方法分别得到了稳态性能指标的表达式。Ammar和Sherifl7研究了灾难到达的M/M/1队列驱动的流体模型,给出了缓冲器库存量在稳态时分布函数的显性表达式.Wang和Mao8将启动-关闭期引入到M/M/1排队系统,得到了库存量平稳分布的LST及平均库存量收稿日期:2 0 2 2-0 9-15;修订日期:2 0 2 3-0 5-17E-mail:xxl-基金项目:国家自然科学基金(6 2 17 1143)Suppor
5、ted by the NSFC(62171143)*通讯作者Jcientia文献标识码:A1944近些年有学者将休假策略与排队系统驱动的流体模型相结合,得到了一系列的研究成果.休假策略主要包括经典休假、工作休假和双阶段休假等策略.Sherif 和Ammar9研究了多重休假M/M/1排队系统驱动的流体模型,运用母函数法和第一类修正Bessel函数给出了缓冲器库存量平稳分布的显式表达式。Mao等10 将多重休假策略引入到M/M/1/N排队系统驱动的流体模型,并运用矩阵几何解方法得到了稳态下库存量均值的表达式。徐秀丽等11将可选服务策略引入多重休假M/M/1排队系统,得到了流体模型的空库概率及平稳库
6、存量的LST和均值的表达式。Vijayashree 和Anjuka12利用连分式和母函数方法得到了微分差分方程组,并根据第一类修正Bessel函数给出了缓冲器库存量稳态联合概率分布的表达式考虑系统是有限容量的情形,Vijayashree和Anjuka13进一步得到多重工作休假M/M/1/N排队系统驱动的流体模型的稳态联合概率分布的显性表达式。李子坤等14考虑了多服务台工作休假排队系统驱动的流体模型,通过矩阵几何解方法得到库存量平稳分布的LST表达式,并给出了稳态下的空库概率和均值.Xu等15将负顾客引入到工作休假排队系统驱动的流体模型中,既给出了库存量的空库概率和均值,同时又给出了几类特殊模型
7、考虑日常生活中服务台会采用双阶段休假策略的情形,刘煜飞和叶晴晴16 基于矩阵几何解和分块矩阵方法研究了双阶段休假M/M/1排队系统驱动的流体模型,并通过数值分析验证了参数变化对性能指标的影响.随着互联网技术的蓬勃发展和人们收入水平的日益提升,大众的线上消费倾向日益增长,促使线上外卖用户的规模不断扩大,因此越来越多的店铺选择转型线上。并且由于信息技术的发展导致顾客的到达速率越来越快,进而导致顾客的到达间隔变得越来越小,此时可将离散的顾客视为连续的流体.如果将客流量进入线上平台中一个店铺的过程看作单服务台的排队系统,营业额看作流体,线上平台看作缓冲器,客流量通过缓冲器转化成店铺营业额,考虑实际情况
8、,店铺会推出满减优惠促进消费者消费,即用户下单一个商品后,为享受优惠,该消费者会以一定概率在该店铺继续下单客流量影响着店铺服务率的高低当客流量较多时,服务率较高,类似于驱动系统处于正常忙期;当客流量较少时,服务率就会变低,类似于驱动系统处于工作休假期;当没有顾客时,店铺就会停止服务,类似于驱动系统处于休假期.为给顾客提供高速度和高质量服务,店铺会每日限定客流量,当超过限定值时,将不再接单。在此基础上,本文研究了具有启动时间、可选服务和双阶段休假的M/M/1/N排队系统驱动的流体模型,得到了流体模型平稳库存量的LST及均值等性能指标。最后通过数值分析验证参数变化对各性能指标的影响,并构建合适的费
9、用函数,得到系统参数对成本费用的影响最终将验证结果应用到店铺的外卖经营过程中,以优化店铺的成本费用和提升用户黏性,进而减少库存积累并获得更高的利润.2驱动系统描述考虑一个带有启动时间、可选服务和双阶段休假的M/M/1/N排队系统,其模型描述如下1)顾客按照一个Possion过程到达容量为N的系统,其到达间隔服从参数为入的指数分布.当系统中顾客数达到N时,顾客不再进入.2)当顾客进入系统后首先接受第一次服务,第一次服务完成后,顾客以概率1一p离开系统,或者以概率p接受第二次服务.正规忙期内,服务台以服务速率b和b1分别为顾客提供第一次服务和第二次服务.3)当服务完系统中在场顾客时,服务台进入一次
10、工作休假。工作休假期内,服务台以低服务速率w(uwb)和wi(u w 1bi)分别为顾客提供第一次服务和第二次服务,工作休假时间服从参数为Qw的指数分布.工作休假期结束时,若系统中顾客数非空,则服务台直接进入正规忙期,此时服务台由低服务速率w或w1转换成高服务速率b或b1为顾客提供服务.否则服务台进入一次经典休假,休假期内服务台不提供服务,休假时间服从参数为0,的指数分布.数学物理学报Vol.43 ANo.64)当休假期结束,系统中顾客数非空时,则服务台结束休假进入正规忙期,否则,进入关闭期.若关闭期内有顾客到达,系统开始启动,启动时间服从参数为的指数分布.启动结束后,服务台进入正规忙期.5)
11、假设服务时间、到达间隔时间、休假时间、工作休假时间均两两相互独立。并且该排队系统服从先到先服务(FIFO)的服务规则.设L(t)表示系统在时刻t的顾客数,J(t)=0,1,2,3表示服务台在时刻t分别处于工作休假期、休假期、关闭-启动期和正规忙期,则((L(t),J(t),t 0)是连续时间的二维马尔可夫过程,其状态空间为=(0,0),(0,1),(0,2)U(k,5):1k N;j=0,1,2,3),把系统状态按照字典序排列能够得到二维马尔可夫过程的无穷小生成元为王勋等:基于启动时间和可选服务的双阶段休假排队系统的流体模型性能分析1945A00A10B1o BCABCA BCABN/记H=b
12、(1-p)+bpb1,M=w(1-)+wpw1,则Q矩阵子块分别如下(-(+0)Aoo=00M00000B10000H00-(+0w+M)00-(入+0%)B=00入0 0 00入0 0C=00入0000由Q矩阵为分块三对角矩阵可知,(L(t),J(t),t0)为拟生灭过程记驱动系统的服务强度p=入/H,当p1时,易知二维马尔可夫过程(L(t),J(t),t0)存在稳态分布,记为kj=lim PL(t)=,J(t)=j),(k,)2.同时引入稳态分布向量 o=(0 o,T o 1,T 0 2),元h=(k0,元k1,Tk2,Tk3),1kN.0-(入+%)0一入M 000 0 0 0A:000
13、00 0 H000-(入+)00-(0w+M)000一0 元0BN:00(入0 0 0A10=0入0 000入0-(+IH)0一00-H1946引理2.1当p1时,二次矩阵方程RARBC=0 存在最小非负解其中r=+0w+M-V(+0w+M)?-4入M2M由引理2.1可得下述结果.定理2.1当1 时,二维马尔可夫过程L(t),J(t),t0)的稳态分布为rkT00,Tk:0=入N-1元0 0,k=N,w+M入kT00,OkN-1,入+0%(入+0%)元k1NTOO,+0%入k入(入+0%)入+TOO,元k2=N-1入Too,k=N,(+0%)入+)k-1k22PH(1-r)i=1元k3(入+)
14、(+0%)V1T00,其中T00+H(1-k=2=1(+a)(+0)H(1-i=1N-2N-2入r0w+0woN-Vi=HH(1-11N-2(入+0%)P入+i=1数学物理学报Owr00H(1-r)入0入+0R=入00入+000kN-1,k=N,0kN-1,k-1入入+0%(入+0 u=1k-1k-i-1入入+ArN-11-rQu+MN-2rwk-1Vol.43 A0PP0Pk-i-1T00,0kN-1,k=N,(+)入(入+0%)k-1k-(入+0%)1k-1入+N-i入入+0%i=1N-i-1(2.1)k-1H(1-H(1P入OwN-2H(1-入k-i-11+0N-1u+MNo.6证拟生灭
15、过程 L(t),J(t),t0)的稳态分布存在当且仅当率阵 R 的谱半径 SP(R)1,且(o,元1)BR=0 有正解,其中-(入+0 w)0-(入+0%)00BR=M00H由(o,1)BR=0,得到以下方程组-(入+0 w)00+MT10+H13=0,0wT00-(入+0,)0 1=0,0元0 1-入元0 2=0,入元0 0 -=元10=0,入元0 1-(入+0%)T11=0,入02-(入+)12=0,1-r10+(入+0%)11+(+)12-H元13=0.求解得到T01王勋等:基于启动时间和可选服务的双阶段休假排队系统的流体模型性能分析N入+入+%入+0入0一入000000-(入+%)00
16、0000T00,元0 2入(入+0%)1947N-10入0000T00,10=rT00,00入00-(+)入+0-H0001-r入+0 u(2.2)元11利用拟生灭过程和矩阵几何解方法得到元k=元iRk-1,1kN1,入TN-1,0-(0u+M)TN,0=0,入元N-1,1-0u元N,1=0,入元 N-1,2-T N,2=0,入1,3+0 N0+0,N,1+N,2H,3=0,2T00,元12(A+0)(+)(入+0 u)T00,元13H(1-r)T00(2.3)(2.4)1948其中数学物理学报k-1.k-10入k-10入+0000Vol.43 A0rpk-i-1H(1-r)P1k-1入k-i
17、-10入+0 元i=1k-1k-1入+0入k-i-1入+i=1k-1求解(2.4)式得出.k一下10,元k0入TN-1,0,k=N,+M入k-1元11,1kN-1,+0%元k:1入元N-1,1,k-1入12,1kN-1,(入+)元k2入-TN-1,2,k-1.k-i-1,P元10+H(1i=1k-1元:3+=1TN-1,3+H联立(2.2),(2.3)和(2.5)式,并利用归一化条件求解得到0o,进而整理可得到(2.1)式.定理2.1得证.1kN-1,k=N,k=N,k-1i=1k-i-1P元12pk1元13,Q0u+M -1,0+T N-11+TN-1,2)N(T/0+Th1+k2)+Zk=
18、0k=1(2.5)入k-i-1元111kN-1,k=N.NTk3=13流体模型稳态分析定义C(t)为缓冲器在时刻t时的库存量库存量是指流体在缓冲器内的总量,显然它是一个非负随机变量,则(L(t),J(t),C(t),t0)构成一个随机过程.设缓冲器的净流入率(流No.6入率-流出率)为过程(L(t),J(t),C(t),tO)的函数其中0,0 12 3.以上函数表达式代表着当服务台处于工作休假、休假或关闭状态,且驱动系统中没有顾客时,库存量以速率一减少,直至库存量为空。当服务台处于正规忙期状态,且驱动系统中顾客数非空时,库存量以速率3增加当服务台处于启动状态,且驱动系统中顾客数非空时,库存量以
19、速率2 增加当服务台处于休假状态,且驱动系统中顾客数非空时,库存量以速率1增加。当服务台处于工作休假状态,且驱动系统中顾客数非空时,库存量以速率o增加.根据以上描述,带启动时间、可选服务和双阶段休假的M/M/1/N排队系统驱动的流体模型可看作具有净输入率结构的三维马尔可夫过程(L(t),J(t),C(t),tO),其状态空间2=0,+)为混合型,记d=T00+01+02+0oko+01 1+022+033,其中 k(k,)2)可由定理2.1得到,d称为流体模型的平均漂移且由文献16 可知,当d0,0,(0,(L(t),J(t)=(0,0),C(t)=0,Nk=1(1949NNk=1k=1e-s
20、uFk;(u)du,s 0,(k,j)E 2,Nk=1N3k=1j=0(3.1)1950则 F(u)的 Lapalace 变换为对(3.1)式的两边进行Laplace变换,结合Fk;(s),F(s)的表达式和边界条件,整理得到(Fo(s),Fo1(s),Fo2(s),Fi(s),Fn(s)(Q-8G)=(-ao,0,0,.,0).(3.2)结合文献15,可得到以下引理。引理3.1当任意s0,1时,方程M2-(+Q+M+s 0)z+=0 拥有两个相异实根,分别为入+Qw+M+s00-V(+0+M+s00)?-4入M+0+M+$0o+V(+0w+M+s00)?-4入MT1(s)且满足0 r(s)1
21、,r1(s)1,r(0)=r.引理3.2 当任意s0,p1时,方程Hz2-(+H+s 0 3)H+入=0 拥有两个相异实根,分别为h(s)hi(s)且满足 0 h(s)1,hi(s)1,h(0)=p,hi(0)=1.为方便表示,引入矩阵(-(A+0w+M+s0o)0B00可得到下述引理。引理3.3对任意s0,二次矩阵方程(R(s)A+R(s)B(s)+C=0的最小非负解存在,记为其中数学物理学报NF(0)=(Fo(s)+Pi1(0)+Fi2(0)+Fe(a).k=0+H+$03-V(A+H+s03)?-4H入+H+$03+V/(+H+s03)?-4入H2H0-(入+0,+s01)00(s)00
22、mi(s)R(00入+s03+H(1-r(s)-h(s)Vol.43 ANk=12M2M2H-(入+s02)000n1(s)0m2(s)m2(s)00h(s)入+s03+H(1-mi(s)-h(s)100,mi(s)-(+H+s03)No.6n2(s根据引理3.1-3.3,可得到下述结论.定理3.1兰当d0,p1 时,F%(s)(k,i)E2)的表达式为(r(s)*Fo(s),A(r(s)-10w+M+s0o入+0 +s0Aeum1(s)-1(0u+s01)(+0u+s0)0.0wm2(s)h(入+so)(入+0 +so)A0.0um2(s)N-1(+s2)(+so)(+0u+so)k-1(s
23、)(r(s)-i(h(s)i-1=1h(s)L(s)h入入5(s)(r(s)-i-1H+$03=1N-1m10w+M+s0o(+0,+So)00wN-22(+so)(+0u+so)0u0u(m1(s)-1(0+801)(A+0+80)+(+802)(A+80)+s0)其中Fo(s)=ao+Qu+s-(Mr(s)+H入-1h(s)L(s)-1L(s)=(bp(s)+0w)r(s)+证引入矩阵函数Aoo(s)王勋等:基于启动时间和可选服务的双阶段休假排队系统的流体模型性能分析am2(=入+8 0 3+H(1-m2(0)h(s)Foo(s),k=N,Foo(s),k=N,Foo(s),Foo(s),
24、k=N,k-1n1S(+0%+so)m2k-1(入+so)(入+0 +so)(m2(0)-(h(0)-1lFo(),=11kN-1,N-21+(h(0)-1 L(a)h(s)-1N-2(m(s)-i-1(h(s)i-11(m(0)-(0)-1=10.0u(m2(s)-1(Hmi(s)+0%)mi(s)w(Hn2(s)+)0,0wm2(入+0 +so)(+so)(+0u+so)-(+0w+s0o)00-(入+0%+s01)001951入入m1(s)+0,+s01m2(s)0kN-1,0kN-1,0kN-1,2(m1(0)-(0)-11入-(入+S02)入+S02Foo(s),k=N.(3.3)1
25、952展开(3.2)式可写成如下形式(Foo(s),Fo1(s),Fo2(s)(Foo(s),Fo(s),Fo2(s)AF%(s)C+F+1(s)B(s)+Fh+2(s)A=0,1 k N-2,Fn-1,0(s)-(w+M+s00)Fno(s)=0,入FN-1,1(s)(0+s01)FN1(s)=0,入Fn-1,2(s)-(+s02)Fn2(s)=0,(FN-1,3(s)+0uFno(s)+0,FN1(s)+Fn2(s)-(H+803)FN3(s)=0.由于矩阵Qs G 为分块三对角矩阵,参考矩阵几何解方法整理可得(Fo(s),Fo1(s),Fo2(s),F1(s)BR(s)=(-ao,0,0
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