关于Chidume-Zegeye-Ntatin定理的注释.pdf
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1、收稿日期:.基金项目:省教育厅科技项目(G J J );省高校人文社科项目(J C ).作者简介:李小玲(),女,副教授,硕士.李小玲,曹寒问关于C h i d u m e Z e g e y e N t a t i n定理的注释J南昌大学学报(理科版),():L IXL,C AOH W An o t eo na t h e o r e mo fC h i d u m e Z e g e y e N t a t i nJJ o u r n a l o fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e),():关于C
2、h i d u m e Z e g e y e N t a t i n定理的注释李小玲,曹寒问(南昌工程学院理学院,江西 南昌 )摘要:带误差的M a n n迭代及I s h i k a w a迭代一直众多学者关心的一个热点问题.本文中我们对C h i d u m e Z e g e y e N t a t i n定理进行探讨,具体工作如下:首先是定理中序列有界性的证明进行了改进;其次用更为简单的方法证明了该定理;最后所得结果推广和改进了相关的结论.关键词:m 增生映射;广义最速下降逼近;一致凸空间;迭代程序中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:()An o t eo na t h e o
3、r e mo fC h i d u m e Z e g e y e N t a t i nL IX i a o l i n g,C a oH a n w e n(S c h o o l o f s c i e n c e,N a n c h a n gI n s t i t u t eo fT e c h n o l o g y,N a n c h a n g ,C h i n a)A b s t r a c t:T h eM a n n i t e r a t i o nw i t he r r o r sa n dI s h i k a w ai t e r a t i o nw i t
4、he r r o r sh a v ea l w a y sb e e nah o tt o p i co fc o n c e r nf o rm a n ys c h o l a r s I nt h i sa r t i c l e,w ee x p l o r e dt h e t h e o r e mo fC h i d u m e Z e g e y e N t a t i n T h es p e c i f i cw o r kw a sa s f o l l o w s:F i r s t l y,t h ep r o o fo f t h eb o u n d e d n
5、 e s so f s e q u e n c ew a s i m p r o v e di nt h et h e o r e m;S e c o n d l y,as i m p l e rm e t h o dw a su s e dt op r o v e dt h et h e o r e m;F i n a l l y,t h er e s u l t se x t e n d e da n d i m p r o v e t h er e l a t e dw o r k s K e yW o r d s:m a c c r e t i v eo p e r a t o r;g
6、 e n e r a l i z e ds t e e p e s td e s c e n t a p p r o x i m a t i o n;u n i f o r m l yc o n v e xs p a c e;i t e r a t i v ep r o c e s s 年B r o w d e r和K a t o分别独立提出了增生映射及与之有关的伪压缩映射.增生映射早期的基本结果是B r o w d e r研究的初值问题dudtA u,u()u其中,A是增生且局部L i p s c h i t z的.因增生映射在工程和物理中大量存在,自提出时起,该问题就引起许多学者的广泛关注
7、,见定义映射A:D(A)XX称为增生的.如果对x,yD(A),存在j(xy)J(xy),使得A xA y,j(xy)()定义映射A:D(A)XX称为强增生的.如果对x,yD(A),存在j(xy)J(xy)及一实数k,使得A xA y,j(xy)kxy()定义映射A:D(A)XX称为强增生的.如果对x,yD(A),存在j(xy)J(xy)及一严格递增函数:RR且(),使得A xA y,j(xy)(xy)xy()定义映射A增生且对,(I E)D(A)X,则称A为m增生,其中I为单位映射.比较早期的迭代程序是由M a n n及I s h i k a w a 提 出 的对 于 非 线 性 强 增 生
8、映 射,L i u 在 年提出了带 误差的M a n n迭代 和带 误 差 的I s h i k a w a迭代,迭代如下:设X是实B a n a c h空间,K是X的非空子集,T:KX,xK,序列xn 定义为:xn(n)xnnT ynunyn(n)xnnT xnvn,n(a)其中:n,n(,);un,vn,称(a)为带误差的I s h i k a w a迭代.第 卷第期 年月南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n gU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l N o A u g 在(a)
9、式中序列xn 定义为:xn(n)xnnT xnun,n(b)其它T,K,X,n,un 同(a)式,称(b)式为带误差的M a n n迭代.对于L i u提出的带误差的M a n n迭代和I s h i k a w a迭代,由于un,vn,从 而 误 差 项 一 定 要 求 趋 于 零.年,X u 使 用 了 下 列 形 式 的 带 误 差 的I s h i k a w a和M a n n迭代.设X是实B a n a c h空间,K是X的非空凸子集,T:KK,xK,序列xn 定义为:xn anxnbnT yncnun,ynanxnbnT xncnvn,n(c)其中:an,bn,cn,an,bn,
10、cn(,);un,vn 为K中有界序列,且anbncnanbncn,n称(c)为带误差的I s h i k a w a迭代.在(c)式中序列xn 定义为:xn anxnbnT xncnun,n(d)其它说明同(c)式,且令bncn,n,称(d)式为带误差的M a n n迭代.关于增生类映射及伪压缩类映射在带误差的迭代序列方面的研究非常丰富,见 .本文研究的是X u提出的带误差的I s h i k a w a迭代.预备知识设X为一实B a n a c h空间,与X分别为范数和对偶空间,正规对偶映射J:XX定义如下:J(x)fX:x,fxf,x f,xX其中,为其对偶对.若X为严格凸,则J是单值的
11、;若X为一致凸,则J在X的有界子集上一致连续.引理 设X为实B a n a c h空间,J是正规对偶映射,对j(xy)J(xy),有xy xy,j(xy),x,yX条件()增生映射A称为满足条件(),若对N(A)x|A x,xD(A),xD(A),pN(A),j(xp)J(xp),有A x,j(xp)成立当且仅当A xA p.C h i d u m e,Z e g e y e及N t a t i n在 中研究了下列最速下降逼近程序的收敛性:xn Q pnpnanxnbn(IA)yncnunynanxnbnxncnvn,n()其中Q:Xc l D(A)称为非扩张保核收缩的.在 中证明了下述定理.
12、定理C Z N,T h e o r e m 设X为一致光滑且一致凸的实B a n a c h空间,A:D(A)XX为有界的m增生映射且满足条件(),其中D(A)为闭的,则存在一常数d,对D(A)中的有界序列un,vn 及实序列an,bn,cn,an,bn,cn,满足:()anbncnanbncn,n,()bncnd,bncnd,n,()nn,cncnn,nbncn,n,()l i mnbn l i mnbnl i mncnl i mncn.对任意x,u,vD(A),由()迭代产生的序列xn强收敛于A u的唯一解x当且仅当存在一严格递增满射:RR且(),使得A ynA x,j(ynx)(ynx)
13、ynx()对于上述,我们指出三点:(a)该定理的结论是正确的;(b)该定理的证明过程过于冗长(P P);(c)关于xn 有界的证明不完全.在xn 有界的证明中,文 是这样证明的:“若xnxa,则由前面的结论,我们有xnxxnx”(见 中P 第 行).但是前面的结论是“若xnxa,xnxa,则xnxxnx”(见 中P P ).因此,若我们仅有xnxa,而没有xnxa,那么就不知道不等式xnxxnx是否成立.因此,我们在本文对定理C Z N给出一种新且比较简短的证明.定理C Z N的证明定理C Z N证明设nbncn,nbncn,则由()有xn Q pnpnxnnA ynUnynxncn(xnvn
14、)()其中Uncn(ynA ynun)ncn(xnvn)且条件(),(),()依次转化为nd,n南昌大学学报(理科版)年d,nn,l i mnn l i mnn.必要性必要性的证明同 中必要性证明.充分性第一种情况:对n,A yn时,与 中同样证明,可以得到xn 收敛于xD(A)且x是唯一的.第二种情况若存在n,使得A yn.不失一般性,我们不妨假设A y.由()及(),我们可以得到yx(A y)及xx xy yx cn(x m)(A y)x m(A y)()其中m:m a xs u pvn,s u pun ,且设ax m(A y)r(a)(a)aM(x)s u pA u:ux(ar(a),R
15、(x)M(x)r(a)ma x()又因j在X的有界子集上一致连续,则对(a)aM(x),存在,使得对x,yB(,(ar(a),xy时,有j(x)j(y)设dm i naR(x),r(a)R(x)(ar(a),R(x)()第一步证明若xnxa,则ynx ar(a),pnx ar(a)()由(),我们有ynx xnx cnxnvn acn(xn vn)adR(x)ar(a)通过()(),可得到yn ynx xx x ar(a)a x ar(a)x ar(a),A yn M(x)又xnxnxxxxax,cnn,有Un cn(ynA ynun)ncn(xnvn)cn(yn A yn m)ncn(xn
16、m)cn(ar(a)M(x)mx)nR(a)因此pnx xnx nA yn Un ar(a)n(M(x)r(a)ar(a)从而第一步得证.第二步证明对n,xnxa.下面用归纳法做证明.由()知,当n时,成立.假设为n时,有xnxa.下面证明xnxa.假设不成立,即xnxa.因xnxa,故xn xnx xx x a x通过(),(),得到ynx ynx xx ar(a)a(ar(a)A yn M(x)由(),()及 再结合上面关系式,我们有xn x pnxxnxnA ynUn xnxnA ynA x,j(pnx)j(ynx)nA ynA x,j(ynx)Un,j(pnx)xnxnM(x)j(pn
17、x)j(ynx)n(ynx)ynx Unpnx()注意到(),条件()及()ynx xn x ynxn xn x ynpn xn x nA ynUncn(xnvn)a(nM(x)Un cn(xn vn)a(nM(x)nR(x)cn(ax m)a(nM(x)r(a)ax m)aaa()运用(),(),()及条件()xn x pnxxnxnA ynUncn(xn m)n(M(x)r(a)由于pnx,ynxB(,(ar(a),结合第期李小玲等:关于C h i d u m e Z e g e y e N t a t i n定理的注释X的有界子集上映射j一致连续,得到j(pnx)j(ynx)(a)M(x
18、)()将(),()代入(),有a xn x xnxnM(x)(a)aM(x)n(a)anR(x)(ar(a)xnxn(a)an(a)axnxa矛盾.从而对n,xnxa,即xn 有界.第三步证明xn 收敛于xD(A).因xn,yn,pn 有界,结合已知条件,有xn x xnxnA ynA x,j(pnx)j(ynx)nA ynA x,j(ynx)Un,j(pnx)xnxnA ynA x,j(ynx)o(n)()设l i mi n fnynx,则.假设不成立,则存在一整数N,使得(ynx)ynx a(a),nN()又存在整数NN,使得o(n)n(a)a()因此,通过(),(),对nN,由()可得x
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