高二数学竞赛试题.doc
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1、2018年淅川二高二年级数学竞赛试题一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若0,给出下列不等式:0;ab;ln1a2 ln1b2.其中正确的不等式的个数是()A1个 B2个 C3个 D4个2ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知,a=2,c=,则 () A B C D3当时,函数的最小值为( )A2BC4D4.若是等差数列,首项则使前n项和成立的最大自然数是()A2 012 B2 013 C2 014 D2 0155. 设集合则A. 对任意实数a, B. 对任意实数a,(2,1)C. 当且仅当a0时,(2,1) D.
2、当且仅当时,(2,1)6. 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分。7已知等比数列an中,a10,q0,前n项和为Sn,则与的大小关系为_8已知分别为的三个内角的对边,2,且,则面积的最大值为 三、解答题:每题15分,共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9. (本小题满分15分) 已知数列满足,设(1)求;(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;(3)求的通项公式10.(本小题满分15分)已知中国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部
3、还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机 万部并全部销量完,每万部的销售收入为 万元,且 (1)写出年利润 (万元)关于年产量 (万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.11.(本小题满分15分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (I)求C;(II)若的面积为,求的周长12(本小题满分15分)已知数列的前项和为,且 ,(1)求数列的通项公式;(2)设,是否存在最大的正整数k,使得对于任意的正整数,有 恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由四、附加题,每题10分,计入总分。13.解下列不等式:ax2(a1
4、)x10(a0)14.(本小题13分)设和是两个等差数列,记,其中表示这个数中最大的数()若,求的值,并证明是等差数列;()证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列2018年淅川二高二年级数学竞赛试题答一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A1.解析:选C法一:因为0,故可取a1,b2.显然|a|b1210,所以错误,综上所述,可排除A、B、D,故选C.法二:由0,可知ba0.中,因为ab0,所以,故正确;中,因为baa0,故b|a|,即|a|b0,故错误;中,因为ba0,又0,所以ab,故正确;中,因为baa20,而yln x在定义域(0,)上为
5、增函数,所以ln b2ln a2,故错误由以上分析,知正确。5.【答案】D【解析】分析:求出及所对应的集合,利用集合之间的包含关系进行求解.详解:若,则且,即若,则,此命题的逆否命题为:若,则有,故选D.点睛:此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用,集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法,根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设,若,则;若,则,当一个问题从正面思考很难入手时,可以考虑其逆否命题形式.6.【答案】A【解析】分析:首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截
6、正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.详解:根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体中,平面与线所成的角是相等的,所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,且过棱的中点的正六边形,且边长为,所以其面积为,故选A.点睛:该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结
7、果.二、7解析:当q1时,3,5,所以.当q0且q1时,0,所以.综上可知.答案:8 ( 2014)三、9. 详解:(1)由条件可得an+1=将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12从而b1=1,b2=2,b3=45分(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列由条件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列5分(3)由(2)可得,所以an=n2n-15分10.(本小题满分15分)解:(1)当 时,2分当 时, 4分所以7分(2)当 时,所;8分 当 时, , 由于 , 当且仅当 ,即 时,等号成立 1
8、3分 所以 取最大值为5760 14分 综合知,当 时, 取得最大值6104万元 15分11.试题解析:(I)由已知及正弦定理得,故可得,所以12(本小题满分15分)解:(1)由已知an=Sn1+2, an+1=Sn+2,得an+1an=SnSn1 (n2),an+1=2an (n2)又a1=2,a2=a1+2=4=2a1,an+1=2an (n=1,2,3,)数列an是一个以2为首项,2为公比的等比数列,an=22n1=2n6分(2)bn=,Tn=bn+1+bn+2+b2n=+,Tn+1=bn+2+bn+3+b2(n+1)=+Tn+1Tn=+=n是正整数,Tn+1Tn0,即Tn+1Tn数列T
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