高中数学解析几何解题方法.doc
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1、高中解析几何复习资料高考专题:解析几何常规题型及方法A:常规题型方面(1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点 及,求线段的中点P的轨迹方程。 分析:设,代入方程得,。 两式相减得 。 又设中点P(x,y),将,代入,当时得 。 又, 代入得。当弦斜率不存在时,其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。(2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P,与两个
2、焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点,为焦点,。 (1)求证离心率; (2)求的最值。 分析:(1)设,由正弦定理得。 得 , (2)。 当时,最小值是; 当时,最大值是。(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法典型例题 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OAOB,求p关于t的函数f(t)的表达式。(1)证明:抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点(t,0)在准线右边,得 故直线与抛物线总有两个
3、交点。 (2)解:设点A(x1,y1),点B(x2,y2) (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|2p(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求NAB面积的最大值。分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a
4、的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。解:(1)直线L的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得:设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:, 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ为等腰直角三角形,所以|
5、QM|=|QN|=,所以SNAB=,即NAB面积的最大值为2。(5)求曲线的方程问题1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。设出它们的方程,L:y=kx(k0),C:y2=2px(p0)设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:A/(),B()。因为A、B均在抛物线上,代入,消去p,得:k2-k-1=0.解得:k=,p=.所以直线L的方程为:y=x,抛物线C的
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