2025届四川省宜宾市叙州区第一中学校高二下数学期末统考模拟试题含解析.doc

2025届四川省宜宾市叙州区第一中学校高二下数学期末统考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则（）
A.1B.4C.7D.1或7
2．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
4．下面几种推理过程是演绎推理的是 (　　)
A．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
B．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝ (an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公
5．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　）
A． B．
C． D．
6．若复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．若展开式的常数项为60，则值为( )
A． B． C． D．
9．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（　　）

A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.1
10．已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为（ ）
A． B． C． D．
11．有本相同的数学书和本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（ ）
A． B． C． D．
12．下面有五个命题：① 函数的最小正周期是；② 终边在轴上的角的集合是；③ 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；④ 把函数；；其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，命题：，，命题：，，若命题为真命题，则实数的取值范围是_____．
14．若,则在的展开式中,项的系数为_________
15．设,则等于_________.
16．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中为实常数.
（1）若当时，在区间上的最大值为，求的值；
（2）对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围.
18．（12分）如果，求实数的值.
19．（12分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．
（1）求与交点的极坐标；
（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．
20．（12分）已知函数
（1）讨论的极值；
（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为m，求．
21．（12分）在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与交于，两点，求的值.
22．（10分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
(1)求曲线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程。
(2)当曲线与曲线有两个公共点时，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析：，所以，因为递减数列，所以，解得。
考点：等差数列
2、B
【解析】
恒成立等价于恒成立，令，
则问题转化为，对函数求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。
【详解】
恒成立等价于恒成立，令，
则问题转化为，
，令，
则，所以当时，
所以在单调递减且，
所以在上单调递增，在上的单调递减，
当时，函数取得最大值，，
所以
故选B
本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数，属于一般题。
3、B
【解析】
分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可．
详解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），
∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），
∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，
∴a﹣5+a+1=8，
∴2a=12，
∴a=6，
故选：C．
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
4、B
【解析】
演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．
A选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；
B选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”，故正确；
C选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；
D选项“在数列 中， ， ，通过计算 由此归纳出{an}的通项公式”是归纳推理．故错．
综上得，B选项正确
故选B．
5、B
【解析】
由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】
由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选：B．
本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6、C
【解析】
分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．
详解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，
对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，
故选C．
点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题．
7、C
【解析】
根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数 ，根据所得函数的特征求出 的取值范围.
【详解】
因为
所以

因为在上是单调减函数
所以
即
所以
当时， 恒成立
当 时，

令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以
即
所以选C
导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）..
8、D
【解析】
由二项式展开式的通项公式写出第项，求出常数项的系数，列方程即可求解.
【详解】
因为展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，即，所以.
故选D
本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.
9、C
【解析】
根据回归直线必过，求出代入回归直线可构造出方程求得结果.
【详解】
由数据表可知：，
由回归直线可知：，即：，解得：
本题正确选项：
本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点，属于基础题.
10、C
【解析】
利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.
【详解】

如图，因为是的角平分线，
所以，
所以
，
即.
两边平方得，
所以，故选C.
本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
11、A
【解析】
由题意，故选A．
点睛：本题是不相邻问题，解决方法是“插空法”，先把数学书排好（由于是相同的数学书，因此只有一种放法），再在数学书的6个间隔（含两头）中选3个放语文书（语文书也相同，只要选出位置即可），这样可得放法数为，如果是5本不同的数学书和3本不同的语文书，则放法为．
12、B
【解析】
①先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确；
②对k分奇数、偶数讨论即可；
③令h（x）=x﹣sinx，利用导数研究其单调性即可；
④利用三角函数的平移变换化简求解即可．
【详解】
①函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，
∴最小正周期T==π，∴函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π，故①正确；
②当k=2n（n为偶数）时，a==nπ，表示的是终边在x轴上的角，故②不正确；
③令h（x）=x﹣sinx，则h′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数h（x）在实数集R上单调递增，
故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点，因此③不正确；
④把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin（2x﹣）=3sin2x的图象，故④正确．
综上可知：只有①④正确．
故选B．
本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】
根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.
【详解】
若命题：“，”为真；
则，
解得：，
若命题：“，”为真，
则，
解得：或，
若命题“”是真命题，则，或，
故答案为或
解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
14、
【解析】
分析：由定积分求得，写出二项展开式的通项为，进而可求解的系数.
详解：由，所以二项式为，
则二项式的展开式的通项为，
当时，，即的系数为.
点睛：本题主要考查了定积分的计算和二项式定理的应用，其中熟记微积分基本定理和二项展开式的通项的合理运用是解答的关键，着重考查了推理和运算能力.
15、
【解析】
设，则，则．应填答案。
16、
【解析】
先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式运算即可得解.
【详解】
解：设圆锥的高为，由勾股定理可得，
由圆锥的体积可得，
故答案为： .
本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)
【解析】
（1）讨论与0，1，e的大小关系确定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化为，不妨设，整理得，设，当时，，得，分离，求其最值即可求解a的范围
【详解】
（1），令，则.
所以在上单调递增，在上单调递减.
①当，即时，在区间上单调递减，则，
由已知，，即，符合题意.
②当时，即时，在区间上单调递增，在上单调递减，
则，由已知，，即，不符合题意，舍去.
③当，即时，在区间上单调递增，则，
由已知，，即，不符合题意，舍去.
综上分析，.
（2）由题意，，则原不等式化为，
不妨设，则，即，
即.
设，则，
由已知，当时，不等式恒成立，则在上是增函数.
所以当时，，即，即恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，所以.
故的取值范围是.
本题考查函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数与分离变量求最值，分类讨论思想，转化化归能力，是中档题
18、
【解析】
分析：由复数相等的充分必要条件得到关于x,y的方程组，求解方程组可得.
详解：由题意得，解得.
点睛：本题主要考查复数相等的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19、 (1) ，或；(2) ．
【解析】
试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.
试题解析：
（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．
（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．
20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
（1）求导函数，由导函数确定函数的单调性后可确定极值；
（2）由（1）可知在区间上的单调性，从而可求得极值和最值．
【详解】
（1）
当时，，在上单增，无极值
当时，，
单减区间是，单增区间是，
所以，无极大值．
（2）
由（1）知在单减，单增

当时，
当时，
本题考查用导数研究函数的极值与最值．解题时可求出导函数后确定出函数的单调性，然后可确定极值、最值．
21、 (1) ；.
(2) .
【解析】
分析：第一问将参数方程消参，求得其普通方程，对于曲线，将方程两边同时乘以，再结合极坐标与直角坐标之间的转换关系，求得极坐标方程，第二问将直线的参数方程写出=成标准形式，代入曲线方程，整理，利用韦达定理求得两根和与两根积，结合直线出参数方程中参数的几何意义求得结果.
详解：（1）由（为参数），
可得的普通方程为，
又的极坐标方程为，即，
所以的直角坐标方程为．
（2）的参数方程可化为（为参数），
代入得：，
设，对应的直线的参数分别为，，
，，所以，，
所以．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的知识，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义等，在解题的过程中，需要注意韦达定理的应用以及直线的参数方程是否是标准式.
22、 (1)见解析;(2).
【解析】
（1）利用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，得到曲线的直角坐标方程与曲线的极坐标方程，注意题中所给的角的范围，从而得到其为上半圆，注意范围；
（2）利用直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离来约束，此时注意是上半圆，从而求得结果.
【详解】
（1）由得 ，即：，
∴曲线为以（1,0）为圆心，1为半径的圆的上半部分，从而直角坐标方程为：.-
曲线的极坐标方程为
(2)直线的普通方程为：，
当直线与半圆相切时 ，
解得（舍去）或，
当直线过点（2,0）时，，故实数的取值范围为.
该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有平面直角坐标与极坐标的转换关系，曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，直线与曲线有两个公共点的条件，思路清晰是正确解题的关键.