2025年河南省罗山县高级中学老校区高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2025年河南省罗山县高级中学老校区高二数学第二学期期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3
2．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ）
A．3 B．18 C．12 D．6
3．已知三角形的面积是，，，则b等于( )
A．1 B．2或1 C．5或1 D．或1
4．的常数项为(   )
A．28 B．56 C．112 D．224
5．已知双曲线C：的离心率e=2,圆A的圆心是抛物线的焦点，且截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，则圆A的方程为
A． B．
C． D．
6．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．若为两条异面直线外的任意一点，则（ ）
A．过点有且仅有一条直线与都平行
B．过点有且仅有一条直线与都垂直
C．过点有且仅有一条直线与都相交
D．过点有且仅有一条直线与都异面
8．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）

A． B． C． D．
9．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）．
A．至多等于4 B．至多等于5 C．至多等于6 D．至多等于8
10．已知双曲线过，两点，点为该双曲线上除点，外的任意一点，直线，斜率之积为，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
12．某校学生一次考试成绩X（单位：分）服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝（　　）
附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．售后服务人员小张、小李、小王三人需要拜访三个客户完成售后服务，每人只拜访一个客户，设事件“三个人拜访的客户各不相同”，“小王独自去拜访一个客户”，则概率等于_________.
14．为了了解学校(共三个年级)的数学学习情况，教导处计算高一、高二、高三三个年级的平均成绩分别为，并进行数据分析，其中三个年级数学平均成绩的标准差为____________.
15．已知等比数列中，有，，数列前项和为，且则_______．
16．已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击相互独立，且命中概率都是，求（1）油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列．
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，过直线上一点引曲线的切线，切点为，求的最小值.
19．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．

20．（12分）设为数列的前项和，且，，.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）求.
21．（12分）已知函数
（1）当时，，求的取值范围；
（2）时，证明：f(x)有且仅有两个零点。
22．（10分）设.
（1）解不等式；
（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=1．
故选B．

考点：由三视图求面积、体积．
2、C
【解析】
分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.
【详解】
大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，
每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.
小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数.
故选：C
本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3、D
【解析】
由三角形面积公式，计算可得的值,即可得B的值,结合余弦定理计算可得答案.
【详解】
根据题意:三角形的面积是,即,又由，则则或，
若则此时则；
若,则,此时则；
故或.
故选：D.
本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.
4、C
【解析】
分析：由二项展开式的通项，即可求解展开式的常数项.
详解：由题意，二项式展开式的通项为，
当时，，故选C.
点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5、C
【解析】
运用离心率公式和基本量的关系可得的关系，即可得到双曲线的渐近线的方程，求得抛物线的焦点坐标，可得点的坐标，求得到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径为，进而得到所求圆的方程.
【详解】
由题意，即，
可得双曲线的渐近线方程为，即为，
圆的圆心是抛物线的焦点，可得，
圆截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，
由圆心到直线的距离为，
可得，解得，可圆的方程为，故选C.
本题主要考查了双曲线的方程和几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求法，圆的标准方程的求法，以及运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
6、A
【解析】
由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【详解】
解：∵函数的定义域是
∴，
∵是函数的唯一一个极值点
∴是导函数的唯一根，
∴在无变号零点，
即在上无变号零点，令，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为，
所以必须，
故选：A．
本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．
7、B
【解析】
解：因为若点是两条异面直线外的任意一点，则过点有且仅有一条直线与都垂直，选B
8、C
【解析】
分析：由题意知，分别求出相应的概率，由此能求出.
详解：由题意知，
；
；
；
；
.
故选：C.
点睛：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.
9、A
【解析】
当时，一一讨论，由此判断出正确选项.
【详解】
当时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等.
当时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等.
不存在为以上的情况满足条件，故至多等于.
故选：A.
本小题主要考查正多边形、正多面体的几何性质，属于基础题.
10、D
【解析】
分析：根据两条直线斜率之积为定值，设出动点P的坐标，即可确定解析式。
详解：因为直线，斜率之积为，即 ，设P（）
则 ，化简得
所以选D
点睛：本题考查了圆锥曲线的简单应用，根据斜率乘积为定值确定动点的轨迹方程，属于简单题。
11、C
【解析】
分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.
详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：
①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；
②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，
再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，
则不同的排法种数为种.
故选：C.
点睛：解决排列类应用题的策略
(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．
(2)分排问题直排法处理．
(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．
12、A
【解析】
利用条件概率公式，即可得出结论.
【详解】
由题意，
，
，
所以，
故选A项.
本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
是条件概率，，利用公式求解.
【详解】
根据题意有事件“三个人拜访的客户各不相同”，
则,
所以.
故答案为：
本题考查了条件概率的求法、组合的性质，属于基础题.
14、
【解析】
根据方差公式计算方差，然后再得标准差．
【详解】
三个数的平均值为115，方差为，
∴标准差为．
故答案为：．
本题考查标准差，注意到方差是标准差的平方，因此可先计算方差．方差公式为：数据的方差为．
15、
【解析】
首先根据是等比数列得到，根据代入求出的值，再根据求即可.
【详解】
因为是等比数列， ，所以.
又因为，所以.
因为，，所以.
则.
当时，，，
即：，是以首项，的等比数列.
所以.
故答案为：
本题主要考查根据求数列的通项公式，同时考查等比中项的性质，属于中档题.
16、
【解析】
设向量夹角为，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到结果.
【详解】
因为两非零向量满足,,设向量夹角为，
由于非零向量以及构成一个三角形，设，
则由余弦定理可得，
解得，当且仅当时，取得最小值，
所以的最大值是，故答案是.
该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，注意当什么情况下取得最值，再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）由题意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中时停止射击，这样可设Ai=“射击i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根据符合二项分布的变量的概率的求法及独立事件同时发生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；
（2）根据题意知变量ξ的取值为2，3，4，5，并且取5时包含这样几种情况：5次都未打中，5次只有1次打中，打中2次且第5次打中，这三个事件相互独立，求出每个事件的概率再求和即可，列表表示ξ的分布列，根据期望的计算公示求ξ的数学期望即可．
试题解析：
（1）“油罐被引爆”的事件为事件，其对立事件为包括“一次都没有命中”和“只命中一次”，即，∴
（2）射击次数的可能取值为2，3，4，5

故的分布列为：

18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由得，将两个等式平方后相加可得出曲线的普通方程；
（2）将直线的极坐标方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离作为的最小值，然后利用勾股定理可得出的最小值.
【详解】
（1）由得，
所以，，
将两式相加得，
因此，曲线的普通方程为；
（2）由，得，
即，由，，
所以，直线的直角坐标方程为.
由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为，
切线长，
当取最小时，取最小，而的最小值即为到直线的距离.
到直线的距离为，，
因此，的最小值为.
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了切线长的计算，一般在直角三角形利用勾股定理进行计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
19、（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为
【解析】
试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离
试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO平面AEC，PB平面AEC
所以PB∥平面AEC．
（2）
由，可得.
作交于．
由题设易知，所以
故，
又所以到平面的距离为
法2：等体积法

由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
20、 (1)见解析(2)
【解析】
可通过和来构造数列，得出是等比数列，在带入得出首项的值，以此得出数列解析式。
可以先把分成两部分依次求和。
【详解】
（1）因为，
所以，
即，则，
所以，又，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，
所以，
故．
设，
则，
所以，
所以，
所以。
本题考查构造数列以及数列的错位相减法求和。
21、（1）（2）见解析
【解析】
（1）参变分离，求最值。确定的取值范围。
（2）求导判断的单调性。说明零点存在。
【详解】
（1）由得

令，

∴在上时增函数
∴
∴.
（2）当时，（）
∴
∴
∴在是增函数
又，
∴在上有且仅有一个解，设为

-
0
+

↘
最小
↗
∴

又

∴有且仅有两个零点.
本题考查参变分离，利用单调性讨论函数零点，属于中档题。
22、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）利用零点分段法将去绝对值，分成三段，令每一段大于，求解后取并集；（2）由（1）时，，分离常数得，右边函数为增函数，所以，解得.
试题解析：
（1）,
所以当时,, 满足原不等式；
当时,, 原不等式即为,
解得满足原不等式；
当时,不满足原不等式；
综上原不等式的解集为.
（2）当时,, 由于原不等式在上恒成立,, 在上恒成立,, 设,易知在上为增函数,.
考点：不等式选讲.