2025年广东省深圳市育才中学数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年广东省深圳市育才中学数学高二下期末学业质量监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是.现在李某单独研究项目M，且这个人组成的团队也同时研究项目M，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知线段所在的直线与平面相交于点，且与平面所成的角为， ，，为平面内的两个动点，且，，则，两点间的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．
3．若全集U={1，2，3，4}且∁UA={2，3}，则集合A的真子集共有（　　）
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
4．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》等，有5位年轻人计划阅读这4本古典数学著作，要求每部古典数学著作至少有1人阅读,则不同的阅读方案的总数是( )
A．480 B．240 C．180 D．120
6．若函数，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．
A． B． C． D．
9．函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）

A． B． C． D．
10．三个数，，之间的大小关系是( )
A． B．
C． D．
11．设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
12．已知函数的最小正周期为4π，则（  ）
A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，．则函数f（x）的最小正周期 _______
14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______.
15．如图在中，，，点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是___________．

16．若关于的不等式的解集为，则实数____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程;
（2）直线与抛物线交于两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.
18．（12分）在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．

（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的正切值．
19．（12分）设，．
（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅱ）如果对于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线上恰好存在两个点到直线的距离为，求实数的取值范围.
21．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数，.
（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；
（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设这个人团队解决项目的概率为，则，由，得，
由此能求出的最小值．
【详解】
李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为，
有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立地解决项目的概率都是0.1，
现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究，
设这个人团队解决项目的概率为，
则，
，，
解得．
的最小值是1．
故选．
本题考查实数的最小值的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率的计算
公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2、D
【解析】
过作面，垂足为，连结，得到点的运动轨迹，以为原点，建立空间直角坐标系，在中，利用余弦定理得到动点的轨迹方程，从而得到、两点间距离的最小值，再得到，两点间的最小距离.
【详解】
如图，过作面，垂足为，连结，
根据题意，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动；
以为原点与垂直的方向为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为为平面内动点，所以设
在中，根据余弦定理可得

即，
整理得，
平面内，点在曲线上运动，
所以，
所以当时，，即，
所以，两点间的最小距离为.
故选：D.

本题考查圆上的点到曲线上点的距离的最值，考查求动点的轨迹方程，余弦定理解三角形，属于中档题.
3、A
【解析】
由题意首先确定集合A，然后由子集个数公式求解其真子集的个数即可.
【详解】
由题意可得：，则集合A的真子集共有个.
本题选择A选项.
本题主要考查补集的定义，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4、B
【解析】
分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.
详解：因为，所以
所以由直线与曲线围成的封闭图形的面积是
,
选B.
点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．
5、B
【解析】
分析：先根据条件确定有且仅有一本书是两人阅读，再根据先选后排求排列数.
详解：先从5位年轻人中选2人，再进行全排列，所以不同的阅读方案的总数是
选B.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
6、A
【解析】
本题首先要对三角函数进行化简，再通过 的最小值是推出函数的最小正周期，然后得出的值，最后得出函数的单调递增区间．
【详解】

再由，， 的最小值是可知，．
的单调递增区间为，
．
本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．
7、D
【解析】
分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.
详解：当时，，，
在同一坐标系内画出的图像，

动直线过定点，当再过时，斜率，
由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，
从而有两个不同的零点，故选D.
点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.
8、D
【解析】
分析：根据公式，可直接计算得
详解： ，故选D.
点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.
9、C
【解析】
函数的单调性确定的符号，即可求解，得到答案．
【详解】
由函数的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当时，函数单调递增，
所以导数的符号是正，负，正，正，只有选项C符合题意．
故选：C．
本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由的图象看函数的单调性，得出导函数的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10、A
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性求解
【详解】

,故
故选：A
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
11、A
【解析】
依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。
【详解】
因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，，由减函数的定义可得，，即有，故选A。
本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。
12、C
【解析】
分析：函数的最小正周期为4π，求出，可得的解析式，对各选项进行判断即可.
详解：函数的最小正周期为4π，
，
，
，
由对称中心横坐标方程：，
可得，
A不正确；
由对称轴方程：，
可得，
B不正确；
函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称，
C正确；
令，
可得：，
函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增，
D不正确；
故选C.
点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简，再根据即可。
【详解】
由题意得：

，
∴函数f（x）的最小正周期；
本题主要考查了三角函数的化简以及周期的计算，属于基础题。
14、24
【解析】
观察所告诉的式子，找出其中的规律，可得n的值.
【详解】
解：观察所给式子的规律可得：
，，，
故可得：.
故答案为：24.
本题主要考查归纳推理，注意根据题中所给的式子找出规律进行推理.
15、.
【解析】
分析：利用余弦定理，设,设AC=BC=m，则．由余弦定理把m表示出来，利用四边形OACB面积为S=．转化为三角形函数问题求解最值．
详解：△ABC为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，
不妨设AC=BC=m，则．由余弦定理，42+22﹣2m2=16，
∴．

.
当时取到最大值.
故答案为.
点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设，再建立三角函数的模型.
16、
【解析】
由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．
【详解】
由题意得：1为的根，所以，
从而
故答案为
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）见解析
【解析】
（1）由抛物线的定义知得值即可求解（2）设的方程为：，代入，消去得的二次方程，向量坐标化结合韦达定理得，则定点可求
【详解】
（1）由抛物线的定义知，
抛物线的方程为：
（2）设的方程为：，代入有，
设，则，
,

的方程为：，恒过点，
本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计算是关键，是中档题
18、（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，

为正方形，所以在图中，，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为，ABBC，
所以BC平面SAB，
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，
（2）在AD上取一点O，使，连接EO．
因为，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，
则AC平面EOH，所以ACEH．
所以为二面角E—AC—D的平面角，
在中，…11分
，即二面角E—AC—D的正切值为
考点：线面垂直的判定及二面角求解
点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可
19、（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).
【解析】
分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M；
（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围；
详解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等价于g（x）max﹣g（x）min≥M
∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴
∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，2）上单调递增
∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1
∴g（x）max﹣g（x）min=
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．
由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1
∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立
记h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0
∴当时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）max=h（1）=1
∴a≥1
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
20、（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）
【解析】
（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再由，化直线为直角坐标方程；
（2）与直线的距离为的点在与平行且距离为的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数，）消去参数，
可得曲线的普通方程.
，代入，
得直线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为，
曲线表示以原点为圆心，以为半径的圆，
且原点到直线的距离为.
所以要使曲线上恰好存在两个点到直线的距离为，
则须，即.
所以实数的取值范围是.
本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.
【详解】
（1）平面，平面，所以，
由已知条件得：，，所以平面.
（2）由（1）结合已知条件以点为原点，，，分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，则：各点坐标为，，
，，，所以，，
，，，
设是平面的一个法向量，则，
即：，取，则得：，
同理可求：平面的一个法向量.
设：平面和平面成角为，
则.
此题考查线面垂直的证明和求二面角的余弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，根据法向量的关系求解二面角的余弦值.
22、（1）（2）或
【解析】
(1)由得，即与的图象在上有唯一交点. 设,利用导数讨论出函数的单调性，得出答案.
(2) 不妨设，当时，,则在上单调递增，则转化为，即在上单调递减，所以恒成立，当时，即在上单调递增，从而可求答案.
【详解】
【详解】
（1）解：由，得，
设，，
则问题等价于与的图象在上有唯一交点，
∵，
∴时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
∵，且时，，
∴.
（2）解：，在上单调递增.
不妨设，
当时，,则在上单调递增，
，，
∴可化为，
∴，
设，即，
∵在上单调递减，∴恒成立，
即在上恒成立，
∵，∴，
当时，，，
∴可化为，
∴，
设，即，
∵在上单调递增，∴恒成立，
即在上恒成立.
∴，∴，
综上所述：或.
本题考查根据方程根的个数求参数范围和构造函数利用函数的单调性求参数范围，属于中档题.