2025年湖南省岳阳县一中、汨罗市一中高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2025年湖南省岳阳县一中、汨罗市一中高二数学第二学期期末质量检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，，集合（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数为偶函数，记 ， ，，则的大小关系为 (　　 )
A． B． C． D．
5．设函数，则“”是“有4个不同的实数根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )

A． B． C． D．
7．已知点和，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：
①； ②； ③； ④．
其中是“椭型直线”的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
8．已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若角是第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A． B．
C． D．
11．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计，统计结果如下表：
年龄 手机品牌
华为
苹果
合计
30岁以上
40
20
60
30岁以下（含30岁）
15
25
40
合计
55
45
100
附：
P（）
0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
根据表格计算得的观测值，据此判断下列结论正确的是（ ）
A．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
B．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”
12．由直线，曲线以及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；
乙说：我没去过城市.
丙说：我们三个去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为__________
14．用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则_______.
15．已知函数的值域为，函数的单调减区间为，则________.
16．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限.
（I）求复数；
（Ⅱ）设，且，求实数的值.
18．（12分）已知数列满足，．
(Ⅰ)求的值，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；
(Ⅱ)令，求数列的前项和.
19．（12分）被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.

（1）求该方灯体的体积；
（2）求直线和的所成角；
（3）求直线和平面的所成角．
20．（12分）设抛物线Γ的方程为y2＝4x，点P的坐标为（1，1）．
（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；
（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；
（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数．
(Ⅰ)求函数处的切线方程；
(Ⅱ)时，.
22．（10分）的内角所对的边分别是，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，，，求，.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
分析：由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：求解二次不等式可得，
结合交集的定义可知： .
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、C
【解析】
根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．
【详解】
A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；
B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；
C． 在其定义域上既是奇函数又是增函数；
D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，
故选C．
本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．
3、D
【解析】
先分析函数奇偶性,再分析函数是否有零点即可.
【详解】
因为,故为奇函数,排除A,B.
又当时,故有零点,排除C.
故选D
本题主要考查函数图像的判定方法,一般考虑奇偶性与函数的零点或者函数的正负等,属于基础题型.
4、C
【解析】
试题分析：因为为偶函数，所以，
在上单调递增，并且，因为，，故选C．
考点：函数的单调性
【思路点睛】本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．
5、B
【解析】
分析：利用函数的奇偶性将有四个不同的实数根，转化为时，有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合图象可得，从而可得结果.
详解：是偶函数，
有四个不同根，等价于时，有两个零点，
时，，，
时，恒成立，递增，只有一个零点，不合题意，
时，令，得在上递增；
令，得在上递减，
时，有两个零点，，
，得，
等价于有四个零点，
“”是“有4个不同的实数根”的必要不充分条件，故选B.
点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性以及函数与方程思想的应用，所以中档题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
6、C
【解析】
首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.
【详解】
由题意结合流程图可知流程图输出结果为，
，

.
本题选择C选项.
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
7、C
【解析】
先确定动点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项.
【详解】
由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为．
对于①，把代入，整理得，
由，知不是“椭型直线”；
对于②，把代入，整理得，所以是“椭型直线”；
对于③，把代入，整理得，
由，知是“椭型直线”；
对于④，把代入，整理得，
由，知不是“椭型直线”．
故②③是“椭型直线”．
故：C．
本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题.
8、B
【解析】
首先根据函数的图象关于点对称得到，，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.
【详解】
因为函数的图象关于点对称，所以.
即：，解得，.
所以，，切点为.
，.
切线为：.
因为切线过点，所以，解得.
所以，.
，所以.
所以.
故选：B
本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.
9、A
【解析】
由单位圆中的三角函数线可得：终边关于轴对称的角与角的正弦值相等，所以，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得.
【详解】
角与角终边关于轴对称，且是第三象限角，所以为第四象限角，
因为，所以，又，解得：，故选A.
本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.
10、C
【解析】
求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.
【详解】
圆的圆心为M(0,6)，半径为，
设，则， 即，

∴当 时，，故的最大值为.
故选C.
本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.
11、C
【解析】
根据的意义判断．
【详解】
因为，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”，
故选：C.
本题考查独立性检验，属于简单题．
12、C
【解析】
作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。
【详解】
如下图所示，

联立，得，则直线与曲线交于点，
结合图形可知，所求区域的面积为
，
故选：C。
本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、A
【解析】
试题分析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A
考点：进行简单的合情推理
14、
【解析】
根据五点法得出函数的最小正周期，再由公式计算出的值.
【详解】
由题意可知，函数的最小正周期，.
故答案为：.
本题考查利用周期公式求参数的值，解题的关键在于求出函数的最小正周期，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
由的值域为，，可得，由单调递减区间为，，结合函数的单调性与导数的关系可求．
【详解】
由的值域为，，
可得，
，
，
，
由单调递减区间为，，可知及是的根，且，
把代入可得，，解可得，或，
当时，可得，
当时，代入可得不符合题意，
故，
故答案为：．
本题考查二次函数的性质及函数的导数与单调性的关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
16、23
【解析】
除以 余 且除以 余的数是除以 余的数. 和的最小公倍数是.
的倍数有 除以 余 且除以 余的数有，… 其中除以 余 的数最小数为 ，这些东西有个，故答案为 .
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（I）设,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出，再求a的值.
【详解】
解；（Ⅰ）设，则，

解得或（舍去）.
.
（Ⅱ），
，
，.
本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18、 (Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据，利用递推公式，可以求出的值，可以猜想出数列的通项公式，然后按照数学归纳法的步骤证明即可；
(Ⅱ)利用错位相减法，可以求出数列的前项和.
【详解】
解:(Ⅰ)当时，
当时，
当时，
猜想，下面用数学归纳法证明
当时，，猜想成立，
假设当()时，猜想成立，即
则当时，，猜想成立
综上所述，对于任意，均成立
(Ⅱ)由（Ⅰ）得
①
②
由①－②得：

本题考查了用数学归纳法求数列的通项公式，考查了用借位相减法求数列的前项和，考查了数学运算能力.
19、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线和的所成角；
（3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出直线和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.
【详解】
（1）在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点，
该方灯体的体积：；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
、、、，，，
设直线和的所成角为，则，
直线和的所成角为；
（3），，，，
设平面的法向量，

则，得，取，得，
设直线和平面的所成角为，则，
直线和平面的所成角为．
本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
20、（1）4 （2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1） （3）存在，T（3，0）
【解析】
（1）根据条件可知直线l方程为x+y﹣2＝0，联立直线与抛物线，根据弦长公式可得结果；
（2）设R（x0，y0），Q（x，y），根据2可得x，y，将其代入抛物线方程即可得到结果；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，根据韦达定理和中点公式可得点的坐标，同理可得的坐标，由斜率公式得的斜率，由点斜式可得的方程，根据方程可得结果.
【详解】
（1）根据条件可知直线l方程为y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，
联立，整理得x2﹣8x+4＝0，
则xU+xV＝8，xUxV＝4，
所以线段UV•|xU﹣xV|•4；
（2）设R（x0，y0），Q（x，y），则（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），
根据2，则有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，
因为点Q在抛物线Γ上，所以（）2＝4•，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），
即点R的运动轨迹方程为（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
根据题意直线AB，CD的斜率存在且不为0，不妨设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，
联立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，
则x1+x2，所以可得M（，），
同理可得N（1+k+2k2，﹣k），
则kMN
所以直线MN的方程为y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直线MN过点（3，0），故存在一个定点T（3，0），使得M，N，T三点总是共线．
本题考查了直线与抛物线的交点问题，考查了弦长公式，考查了字母运算能力，考查了代入法求动点的轨迹方程，考查了斜率公式，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，属于较难题.
21、 (Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)对函数求导，再令x=1,可求得，回代可知 ，由导数可求得切线方程。(Ⅱ)由, 令由导数可知，在时恒成立。下证，所以。
【详解】
(Ⅰ) 函数的定义域为
因为，
所以，即，
所以，，
令，得， 所以函数在点处的切线方程为
,即.
(Ⅱ) 因为,
令，则，
因为，所以，所以在，上为减函数,
又因为，所以，
当时，，此时，；
当时，，此时，，
假设有最小值 ，则，
即.
若，当时，；
若，当时，，所以，不存在正数，使.
所以，当，且时，，所以，，
解得： .
本题综合考查求函数表达式与求曲线在某点处的切线方程，及用分离参数法求参数范围。注意本题分离出的函数最小值取不到所以最后要取等号。
22、（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理得

；（2）由，再由余弦订立的得.
试题解析：
（1）由已知
结合正弦定理得
所以
即，亦即
因为，所以.
（2）由，，得，即，
又，得
所以，又，∴