2025届甘肃省兰州第一中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025届甘肃省兰州第一中学数学高二下期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）

A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
4．已知向量，，且，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
6．复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．是第四象限角，,，则（ ）
A． B． C． D．
8．用数学归纳法证明某命题时，左式为
在验证时，左边所得的代数式为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下面是列联表：

合计

21
63

22
35
57
合计

56
120
则表中的值分别为（ ）
A．84，60 B．42，64 C．42, 74 D．74, 42
10．如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）

A．10 B．13 C．15 D．25
11．某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有( )种.
A．24 B．72 C．120 D．144
12．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中常数项为__________．
14．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，又知的导函数的图象如下图所示：

-1
0
4
5

1
2
2
1
则下列关于的命题：
①为函数的一个极大值点；
②函数的极小值点为2；
③函数在上是减函数；
④如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
⑤当时，函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________．

15．6月12日,上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》,将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”,小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的,那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是______.
16．已知，若在(0,2)上有两个不同的,则k的取值范围是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角的对边分别为，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
18．（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）若，求函数的单调区间；
（3）设函数，且在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．
19．（12分）函数
（1）若函数在内有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
20．（12分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室，是边长为2的正方形．

（1）若是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；
（2）若，在上，证明：，并回答四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）当阳马的体积最大时，求点到平面的距离．
21．（12分）如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
22．（10分）在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求此常数项是第几项；
（2）求的范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析：先根据已知推算出数列的周期，再求的值.
详解：，所以
因为，
所以
点睛：（1）本题主要考查数列的递推和周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求数列的某一项时，如果n的取值比较大，一般与数列的周期有关，所以要推算数列的周期.
2、B
【解析】
利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可.
【详解】
由题意知，
，解得且，
所以原函数的定义域为.
故选：B
本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题.
3、C
【解析】
由的图象可以得出在各区间的正负，然后可得在各区间的单调性，进而可得极值.
【详解】
由图象可知：
当和时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.
所以的极小值为，极大值为.
故选C.
本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出的正负性.
4、B
【解析】
由向量垂直可得，求得x，及向量的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.
【详解】
由，可得，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以 ，得=5，选B.
求向量的模的方法：一是利用坐标，二是利用性质，结合向量数量积求解.
5、B
【解析】
令，即可求出的值.
【详解】
解：在所给等式中，令，可得等式为，
即.
故选：B.
本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.
6、C
【解析】
通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.
【详解】
根据题意得，所以共轭复数为，对应的点为
，故在第三象限，答案为C.
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.
7、D
【解析】
根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.
【详解】
因为，由同角三角函数基本关系可得：，
解得：，
又是第四象限角，所以.
故选：D.
本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.
8、B
【解析】
试题分析：用数学归纳法证明某命题时，左式为
在验证时，左边所得的代数式应为；
故选B
考点：数学归纳法．
9、B
【解析】
因，故,又，则 ，应选答案B。
10、C
【解析】
向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理计算得出答案
【详解】
因为只能向东或向北两个方向
向北走的路有5条，向东走的路有3条
走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果
根据分步计数原理知共有种结果，选C
本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题．
11、A
【解析】
分析：根据题意，首先排好三辆车，在三辆车中间插入两个空位使三辆车任何两辆车都不相邻，最后一个空车位利用插空法即可.
详解：根据题意，首先排好三辆车，共种，
在三辆车中间插入两个空位使三辆车任何两辆车都不相邻，
最后把剩下的空车位插入空位中，则有种，
由分步计数原理，可得共有种不同的停车方法.
点睛：本题考查排列、组合的综合应用，注意空位是相同的.
12、A
【解析】
由，得，故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、．
【解析】
试题分析：∵的通项为，令，∴，故展开式中常数项为．
考点：二项式定理．
14、②③
【解析】
分析：由题意结合导函数与原函数的关系逐一考查所给的命题即可求得结果．
详解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜2或4＜x＜5，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，
当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①错误；②③正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，
要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是2，
则2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以④不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以⑤不正确．
故答案为：②．
点睛：本题考查了导函数与原函数的关系，函数的单调性，函数的极值与最值及零点个数问题，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
15、
【解析】
先求出基本事件的个数,再求出4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中的事件的个数,最后利用古典概型求出概率即可.
【详解】
由题意可知：基本事件的个数为.设事件为4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中,则事件包含的基本事件个数为：,
所以.
故答案为：
本题考查了古典概型计算公式,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.
16、
【解析】
分析：先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式，再利用一元一次函数与二元一次函数的单调性加以解决
详解：不妨设

在是单调函数，故在上至多一个解
若
则，故不符合题意，

由可得，
由可得，
故答案为
点睛：本题主要考查的知识点是函数零点问题，求参量的取值范围，在解答含有绝对值的题目时要先去绝对值，分类讨论，然后再分析问题，注意函数单调性与奇偶性和零点之间的关系，适当注意函数的图像，本题有一定难度

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）．
【解析】
由已知及正弦定理可得，结合范围，利用特殊角的三角函数值可求A的值．
由利用同角三角函数基本关系式可得cosA，由余弦定理可求b的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）因为，
所以，
所以，
即．
因为
所以，或．
（2）因为，
所以，
所以，解得．
所以．
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18、（1）；（2）单调递增区间为，，单调递减区间为；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由切点坐标及切点处的导数值为，即可列出方程组，求解，的值；（2）在的条件下，求解和，即可得到函数的单调区间；（3）在区间内存在单调递减区间，即在区间内有解，由此求解的取值范围．
试题解析：（1），
由题意得，即．
（2）由（1）得，（），
当时，，
当时，，
当时，．
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（3），
依题意，存在，使不等式成立，
即时，，
当且仅当“”，即时等号成立，
所以满足要求的的取值范围是．
考点：利用导数研究函数的单调性及函数的有解问题．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性、求解单调区间和函数的有解问题的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，试题有一定难度和也是高考的常考题，属于中档试题，其中第三问的解答是本题的难点，平时注意总计和积累．
19、（1） 或．（2）
【解析】
（1）先对函数求导、然后因式分解，根据函数在在内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）先对函数求导并因式分解.对分成三种情况，利用的单调性，结合不等式在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知，．
有得： 或．
（2）．
①当时，，符合题意．
②当时，令，得或，
此时函数的增区间为，减区间为．
此时只需：
解得：或，故．
③当时，令，得或，
此时函数的增区间为，，减区间为，
此时只需：解得：，故，
由上知实数的取值范围为．
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
20、（1）答案见解析（2）答案见解析（3）
【解析】
（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.
（2）证明,结合,即可得到面,进而可证明.
（3）阳马的体积为:,根据均值不等式可得: (取得等号),即可求得.以点为顶点,以底面求三棱锥体积, 在以点为顶点,以底面求三棱锥体积.利用等体积法即可求得点到平面的距离.
【详解】
（1）画出堑堵的三视图:

（2）

如图,连接和.
由题意可知:面 ,在平面

又
面 故: ,可得为直角三角形.
由题意可知,,都是直角三角形.
四面体四个面都是直角三角形,故四面体是鳖臑.
（3）
在中,
根据均值不等式可得: (取得等号)
由题意可知,面
阳马的体积为:
(取得等号)

以为顶点,以底面求三棱锥体积:

,设到面距离为
以为顶点,以底面求三棱锥体积:

解得:
本题考查了三视图画法,棱柱与点到面的距离,考查用基本不等式求最值.解题关键是表示出阳马的体积,通过不等式取最值时成立条件,求出底边长.
21、 (1)证明见解析；(2) .
【解析】
（1）推导出，，从而平面，进而．求出，由此能证明平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
【详解】
（1）∵底面为正方形，
∴，
又，，
∴平面，
∴.
同理，，
∴平面.
（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则
，，，
设为平面的一个法向量，又，，
，令，，得
同理是平面的一个法向量，
则.
∴二面角的余弦值为.

本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
22、（1）5；（2）≤≤.
【解析】
分析：（1）求出通项，由以及，即可求出答案；
（2）由只有常数项为最大项且，可得，即可得到答案.
详解：(1)设Tr+1=(axm)12-r·(bxn)r=a12-r·brxm(12-r)+nr为常数项,
则有m(12-r)+nr=0,因为2m+n=0,
所以m(12-r)-2mr=0,解得r=4,
故可知常数项是第5项.
(2)因为第5项又是系数最大的项,
所以
因为a>0,b>0,
所以由①②可得
点睛：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.