2024-2025学年河北省保定市博野中学高二数学第二学期期末考试试题含解析.doc

2024-2025学年河北省保定市博野中学高二数学第二学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“ ， ”的否定为(　　)
A． B．
C． ， D．，
2．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
3．函数在上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．复数在复平面内所对应的点位于（　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．当取三个不同值时，正态曲线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）

A． B．
C． D．
6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）

A． B． C． D．
7．已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，当取得极值时，x的值为（ ）
A． B． C． D．
9．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )
A．8 B．6 C．14 D．48
10．已知集合，,则等于( )
A． B． C． D．
11．在等差数列中，，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.
14．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为 .

15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为__．
16．用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设是的导函数，函数，求在时的最小值．
18．（12分）已知直线过点M（﹣3，3），圆．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线截圆C弦长最长时直线的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
19．（12分）设，已知.
（1）求的值
（2）设，其中，求的值.
20．（12分）在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),直线的参数方程为 (为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程
（2）若直线与曲线的两个交点分别为,直线与轴的交点为,求的值.
21．（12分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.
（1）求连续命中2次的概率；
（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.
22．（10分）已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围。
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可．
详解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，
故选：A．
点睛：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别．命题的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.
2、B
【解析】
首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．
【详解】
命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B
本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．
3、A
【解析】
对函数进行求导：，
由可得：，即函数在区间上是增函数，在区间和区间上是减函数，
观察所给选项，只有A选项符合题意.
本题选择A选项.
4、C
【解析】
直接利用复数代数形式的运算法则化简，再利用复数的几何意义即可求出．
【详解】
，所以在复平面内，复数对应的点的坐标是 ，位于第三象限，故选C．
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的几何意义．
5、A
【解析】
分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定的大小.
详解：由正态曲线的性质知，当一定时，曲线的形状由确定，
越小，曲线越“瘦高”，所以.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6、C
【解析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是直三棱柱剪去一个角，
其中为等腰直角三角形，，
∴该几何体的体积，
故选：C.
本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.
7、A
【解析】
由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案。
【详解】
因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知.
综合两方面可知．则函数的解析式为，
结合函数图形，因为，当时，，
结合图象可知
则
，故选A．
本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题。
8、B
【解析】
先求导，令其等于0，再考虑在两侧有无单调性的改变即可
【详解】
解：， ，的单调递增区间为和，减区间为，在两侧符号一致，故没有单调性的改变，舍去，
故选:B.
本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值．反之结论不成立，即函数有，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题．
9、D
【解析】
方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数.
方法二:第一步,排百位有6种选择,
第二步,排十位有4种选择,
第三步,排个位有2种选择.
根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数.
10、C
【解析】
分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.
详解：由中不等式变形得，
解得，即，
因为，，故选C.
点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.
11、A
【解析】
由等差数列性质，得，问题得解.
【详解】
是等差数列，，
，
解得.
故选：A
本题考查了等差数列的性质，属于基础题.
12、A
【解析】
分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．
详解：由题意，可得，，
，
则，所以，故选A．
点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由条件可得
【详解】

因为，分别是的中点
所以

所以
故答案为：
本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.
14、1．
【解析】
试题分析：这是循环结构，计算时要弄明白循环条件，什么时候跳出循环，循环结构里是先计算，第一次计算时，循环结束前，此时，循环结束，故输出值为1．
考点：程序框图，循环结构．
15、36π
【解析】
由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，利用四面体ABCD体积的最大值为9，求出R，即可求出球O的表面积.
【详解】
由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，
最大值为，，
球O的表面积为.
故答案为：36π.
本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键.
16、
【解析】
在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝1α，利用余弦定理可得 SABCD1+（（a1+d1﹣b1﹣c1）1＝（ad+bc）1﹣abcdcos1α（ad+bc）1，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．
【详解】
在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝1α，
由SABCD＝S△BAD+S△BCD＝adsinA+bcsinC，①
在△ABD中，BD1＝a1+d1﹣1adcosA，
在△BCD中，BD1＝b1+c1﹣1bccosC，
所以有a1+d1﹣b1﹣c1＝1adcosA﹣1bccosC，
（a1+d1﹣b1﹣c1）＝adcosA﹣bccosC，②
①1+②1可得SABCD1+（（a1+d1﹣b1﹣c1）1
＝（a1d1sin1A+b1c1sin1C+1abcdsinAsinC）+（a1d1cos1A+b1c1cos1C﹣1abcdcosAcosC）
＝ [a1d1+b1c1﹣1abcdcos（A+C）]＝ [（ad+bc）1﹣1abcd﹣1abcdcos1α]
＝（ad+bc）1﹣abcdcos1α（ad+bc）1．
当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，
SABCD取得最大值为．
由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6
则该平面四边形面积的最大值为S＝6（cm1），
故答案为：6．

本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，当时，利用点斜式可求曲线在点， （1）处的切线方程；（Ⅱ）分别讨论，利用数形结合法，求函数的单调性可得函数的最值．
【详解】
（Ⅰ）当时，，，
∴，又
∴曲线在点处的切线方程为：．
（Ⅱ），，
由得：
，，，
得当，．
时，，在单调递增，∴；
②当时，可得，，
∴在单调递增，单调递减，单调递增，

；
③当时，可得，
∵，
∴，

∴在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，
∴，
综上，．
本题考查了导数的综合应用问题，函数曲线的切线，函数的最值，属于难题．
18、（Ⅰ）（0，-2），;（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用直径为最长弦；（Ⅱ）利用点与圆的位置关系．
【详解】
（Ⅰ）圆C方程标准化为：
∴圆心C的坐标为（0，﹣2）
直线截圆C弦长最长，即过圆心，
故此时的方程为：，
整理得：；
（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，
则点M在圆上或圆内，
∴，
得．
此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系,属于基础题.
19、 (1) ； (2) ；
【解析】
（1）根据二项式展开式的二项式系数，求得的表达式，代入解方程，求得的值.（2）利用二项式展开式化简，由此求得的值.
【详解】
解：（1）因为，
所以

因为
所以
解得
（2）由（1）知.即
所以
因为，所以

本小题主要考查二项式展开式，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.
20、（2），；（2）2.
【解析】
分析：(2)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－2＝2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝2．化为极坐标即ρ＝4sin θ．
(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋2＝2，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．
详解：(2)直线l的参数方程为(为参数)，
消去参数t，得x＋y－2＝2．
曲线C的参数方程为 (θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝2．
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．
(2)在直线x＋y－2＝2中，令y＝2，得点P(2，2)．
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋2＝2，
∴t2＋t2＝3，t2t2＝2．
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．
点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（1）；（1）见解析.
【解析】
（1）设Ai（i=1，1，3）表示第i次投篮命中，表示第i次投篮不中，设投篮连续命中1次为事件A，则连续命中1次的概率：P（A）=P（+），由此能求出结果．
（1）命中的次数X可取0，1，1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
【详解】
（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中1次为事件，则=．
（1）命中的次数可取0，1，1，3；
，，
,
,

0
1
1
3

所以
答：的数学期望为1．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
22、（1）（2）
【解析】
（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；
（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，又，
所以函数在点处的切线方程为。
（2）因为，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，
若，在恒成立，即恒成立，所以，
所以的取值范围是。
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。