2025年贵州省遵义市求是高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年贵州省遵义市求是高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足,且与的夹角为,则( )
A． B． C． D．
3．已知椭圆，对于任意实数，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线所截得的弦长不可能相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．给出下列命题：
①命题“若，则方程无实根”的否命题；
②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；
③命题“若，则”的逆否命题；
④“若，则的解集为”的逆命题；
其中真命题的序号为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③
5．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
7．下列有关结论正确的个数为（ ）
①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
②设，则“”是“的充分不必要条件；
③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知，是两个向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是( )。
A． B． C．5 D．4
12．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个．
14．函数的极值点为__________．
15．设为实数时，实数的值是__________．
16．把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有___________种
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工（其中技术工、非技术工各名）的月工资，得到这名农民工月工资的中位数为百元（假设这名农民工的月工资均在（百元）内）且月工资收入在（百元）内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名，则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？
参考公式及数据：，其中．

18．（12分）如图，三棱柱中，，，
（1）证明：；
（2）若平面 平面，，求点到平面的距离．

19．（12分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为，乙每次通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立.
(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；
(Ⅱ)记为甲乙两人参加体能测试的次数和，求的分布列和期望.
20．（12分）设向量，，，记函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值.
21．（12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
22．（10分）已知复数（a∈R,i为虚数单位）
（I）若是纯虚数，求实数a的值；
（II）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.
【详解】
当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,
由题得，
所以切线方程为y+2=-1·(x-1),
即：
故选：A
本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、A
【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】
.
故选：A.
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
3、D
【解析】
分析：当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选 A．
当l过点（1，0）时，直线和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，
当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同．排除A、B、D．
详解：由数形结合可知，当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选 A．
当过点（1，0）时，直线和选项C中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．
当时，直线和选项B中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．
直线l斜率为，在y轴上的截距为1；选项D中的直线斜率为，在轴上的截距为2，这两直线不关于轴、轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．
故选C．
点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
4、A
【解析】
①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假.
【详解】
①命题“若，则方程无实根”的否命题为：
“若，则方程有实根”,为真命题，所以正确.
②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题为：
“若为等边三角形，则”为真命题，所以正确.
③命题“若，则”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确.
④“若，则的解集为”的逆命题为：
“若的解集为，则”
当时，不是恒成立的.
当时,则解得：，所以正确.
故选：A
本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.
5、B
【解析】
由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.
【详解】
由题意，得，又，
所以，
故选B.
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.
6、D
【解析】
由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可
【详解】
由题,因为最小正周期为,所以,
则平移后的图像的解析式为,
此时函数是奇函数,所以,
则,
因为,当时,,
所以,
令,则,即对称点为；
令,则对称轴为,
当时,，
故选：D
本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性
7、D
【解析】
对于①，，所以，故①正确；对于②，当，有，而由有，因为 ，所以是的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线对称，且 所以，故③正确．
点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．
8、B
【解析】
分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.
详解：由题得，所以，所以或或，
所以或或.
因为或或是的必要非充分条件,
所以“”是“”的必要非充分条件.
故答案是：B.
点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.
9、C
【解析】
根据零点存在性定理，可得，然后比较大小，利用函数的单调性，可得结果.
【详解】
由题意可知函数在上单调递增，
，，
∴函数的零点，又函数的零点，
，

故选：C
本题考查零点存在性定理以及利用函数的单调性比较式子大小，难点在于判断的范围，属基础题.
10、D
【解析】
分析：根据全称命题的否定解答.
详解：由全称命题的否定得为：，故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题：,全称命题的否定（）：.
11、D
【解析】
求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．
【详解】
依题意，函数，得的解集是，
于是有，解得，
∵函数在处取得极小值，
∴，
即，解得，
故选：D．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.
12、C
【解析】
根据奇偶性以及特殊值即可排除。
【详解】
因为
=，所以为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择D
本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、23
【解析】
除以 余 且除以 余的数是除以 余的数. 和的最小公倍数是.
的倍数有 除以 余 且除以 余的数有，… 其中除以 余 的数最小数为 ，这些东西有个，故答案为 .
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
14、1
【解析】
求出导函数，并求出导函数的零点，研究零点两侧的符号，由此可得．
【详解】
，由得，
函数定义域是，当时，，当时，．∴是函数的极小值点．
故答案为1．
本题考查函数的极值，一般我们可先，然后求出的零点，再研究零点两侧的正负，从而可确定是极大值点还是极小值点．
15、3
【解析】
设为实数，，可得 或 又因为，故答案为.
16、15
【解析】
将编号为的三个盒子中分别放入个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果.
【详解】
编号为的三个盒子中分别放入个小球，则还剩个小球
则问题可变为求个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数
由隔板法可知共有：种方法
本题正确结果：
本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ），；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关
【解析】
（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在（百元）内的频率，利用频率总和为和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出，从而得到结论.
【详解】
（Ⅰ）月工资收入在（百元）内的人数为
月工资收入在（百元）内的频率为：；
由频率分布直方图得：
化简得：……①
由中位数可得：
化简得：……②
由①②解得：，
（Ⅱ）根据题意得到列联表：

技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数

月工资高于平均数

总计

不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关
本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.
18、（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：
(1)利用题意首先证得，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面所成角的正弦值是.
试题解析：
（1）证明：如图所示，取的中点，连接，，.因为，
所以.由于，，
故为等边三角形，所以.
因为，所以.
又，故

（2）由（1）知，，又，交线为，
所以，故两两相互垂直.
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系.由题设知，
则，，.
设是平面的法向量，
则即可取故.
所以与平面所成角的正弦值为
19、 (Ⅰ) (Ⅱ)
的分布列为；

2
3
4

【解析】
(Ⅰ)先求出甲未能通过体能测试的概率，然后再求出乙未能通过体能测试的概率，这样就能求出甲、乙都未能通过体能测试的概率，根据对立事件的概率公式可以求出甲乙至少有一人通过体能测试的概率；
(Ⅱ)由题意可知，分别求出，然后列出分布列，计算出期望值.
【详解】
解:(Ⅰ)甲未能通过体能测试的概率为
乙未能通过体能测试的概率为
甲乙至少有一人通过体能测试的概率为
(Ⅱ)
，，，
的分布列为

2
3
4

本题考查了相互独立事件的概率、对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了数学运算能力.
20、 (1) .
（2）.
【解析】
分析：（1）函数，根据向量坐标的运算，求出的解析式，化简，结合三角函数的性质可得单调递减区间；
（2）根据，求出A，由，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值.
详解：（1）由题意知：
，
令，，则可得：，，
∴的单调递增区间为.
（2）∵，∴，结合为锐角三角形，可得，
∴.
在中，利用余弦定理，即（当且仅时等号成立），即，
又，∴ .
点睛：本题考查了三角函数的性质的运用、余弦定理和基本不等式灵活应用.
21、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为6，,最小值为
【解析】
（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。
（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。
【详解】
（1）函数的定义域为，由得
令得，
当和时，；
当时，，
因此，的单调递增区间为和，单调递减区间．
（2）由（1），列表得

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

因为 ，，，
所以在区间上的最大值为6，,最小值为．
本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。
22、（Ⅰ）（II）
【解析】
（I）计算出，由其实部为0，虚部不为0可求得值；
（II）计算出，由其实部小于0，虚部大于0可求得的取值范围．
【详解】
解：（I）由复数得=（）（）=3a+8+（6-4a）i
若是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-
（II）=
若在复平面上对应的点在第二象限，则有
解得-
本题考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题．