2024-2025学年安徽省芜湖一中高二下数学期末经典试题含解析.doc

2024-2025学年安徽省芜湖一中高二下数学期末经典试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知中，,则满足此条件的三角形的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．无数个
2．若，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．-2或1
3．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，正态变量X在区间，，内取值的概率分别是，，，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是（ ）

A．997
B．954
C．683
D．341
5．用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）
A．方程没有实根
B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根
D．方程恰好有两个实根
6．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．复数（ ）
A． B． C． D．
8．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在有极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．对于函数，曲线在与坐标轴交点处的切线方程为，由于曲线在切线的上方，故有不等式．类比上述推理：对于函数，有不等式（　）
A． B．
C． D．
11．若二项式的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为
A． B． C．160 D．240
12．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，分别为63，98，则输出的（ ）

A．9 B．3 C．7 D．14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_________．
14．已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________.
15．已知函数的图像经过第二、三、四象限，，则的取值范围是_______．
16．已知，且，则的最小值是______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，使不等式成立.
（1）求满足条件的实数t的集合T；
（2），使不等式成立，求的最大值.
18．（12分）已知等式.
（1）求的展开式中项的系数，并化简：；
（2）证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
19．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）设，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围.
20．（12分）已知函数，在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求的单调区间；
（3）若函数在定义域内恒有成立，求的取值范围．
21．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点，且，为中边上的高.

（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积.
22．（10分）如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，在圆的直径上，在圆周上．

（1）设，征地面积记为，求的表达式；
（2）当为何值时，征地面积最大？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由正弦定理得 即 即 ，
所以符合条件的A有两个，故三角形有2个
故选C
点睛：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角.
2、A
【解析】
分析：据积分的定义计算即可．
详解：
解得或（舍）.
故选A
点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键．
3、A
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.
详解：：由于复数，，
在复平面的对应点坐标为，
在第一象限，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
4、C
【解析】
分析：先由图得，再根据成绩X位于区间(52,68]的概率确定人数.
详解：由图得
因为，所以成绩X位于区间(52,68]的概率是，
对应人数为
选C.
点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
5、A
【解析】
分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．
详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根．”
点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：
结论词
没有
至少有一个
至多一个
不大于
不等于
不存在
反设词
有
一个也没有
至少两个
大于
等于
存在

6、C
【解析】
分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.
详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，
由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，
2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，
下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.
故选：C.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.
7、C
【解析】
分析：直接利用复数的除法运算得解.
详解：由题得，故答案为：C.
点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.
8、C
【解析】
试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，
若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有种取法，∴
考点：古典概型及其概率计算公式
9、C
【解析】
分析：令，得，，整理得，问题转化为求函数在山过的值域问题，令，则即可.
详解：令，得，，整理得，
令，则，则
令，则在单调递减，
∴，∴，经检验，满足题意．
故选C．
点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．
10、A
【解析】
求导，求出函数与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线，在与函数图像的位置比较，即可得出答案．
【详解】
由题意得，且的图像与轴的交点为，则在处的切线斜率为，在处的切线方程为，
因为切线在图像的上方，所以
故选A
本题考查由导函数求切线方程以及函数图像的位置，属于一般题．
11、D
【解析】
由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为，由此得到，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.
【详解】
由已知得到，所以，
所以展开式的通项为，
令，得到，所以展开式的常数项为，故选D.
本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、C
【解析】
由，不满足，则变为，由，则变为，由，则，由，则，由，则，由，则，由，退出循环，则输出的值为，故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意可得当x=时，4x =log2ax，由此求得a的值．
【详解】
∵关于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，
则当x=时，4x =log2ax，即 2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，
故答案为．
本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
14、
【解析】
先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值.
【详解】
由题得直线方程为，
由题意，点到直线的距离，
∴.
故答案为：
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15、
【解析】
利用函数的图像经过第二、三、四象限可得：，整理可得：，再利用指数函数的性质即可得解.
【详解】
因为函数的图像经过第二、三、四象限，
所以，解得：
又
又，所以，所以
所以，
所以的取值范围是
本题主要考查了指数函数的性质及计算能力、分析能力，还考查了转化能力，属于中档题．
16、
【解析】
有错，可以接着利用基本不等式解得最小值.
【详解】
∵，∴，
，当且仅当时不等式取等号，
∴，故的最小值是．
本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角不等式求出的最小值，从而得到的范围；
（2）由于，使不等式成立，则的最小值小于等于的最大值，利用基本不等式求出的最小值，从而求得的最大值。
【详解】
（1）由题意知，﹐
当且仅当时等号成立，
所以，故集合.
（2）由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.
又因为，使不等式成立，则，即,
故的最大值为.
本题主要考查绝对值三角不等式以及基本不等式求最值的问题，属于中档题。
18、（1） ；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析.
【解析】
（1） 的展开式中含的项的系数为，二项式定理展开，展开得到含项的系数，利用，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到，最后结合（1）的结论证明.
【详解】
（1） 的展开式中含的项的系数为
由
可知的展开式中含的项的系数为 ，
，
；
（2）（ⅰ）
当 时， ；
（ⅱ）

由（1）知，
，
.
本题考查二项式定理和二项式系数和组合数的关系，以及组合数公式的证明，意在考查变形，转化，推理，证明的能力，属于难题，本题的（ⅱ）的关键步骤是这一步用到了（ⅰ）的结论和组合数的性质.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）令，通过零点分段法可得解析式，进而将不等式变为，在每一段上分别构造不等式即可求得结果；
（2）将问题转化为的值域是值域的子集的问题；利用零点分段法可确定解析式，进而得到值域；利用绝对值三角不等式可求得的最小值，由此可构造不等式求得结果.
【详解】
（1）令，
由得：得或或，解得：.
即不等式的解集为.
（2）对任意，都有，使得成立，则的值域是值域的子集.
，值域为；
，
，解得：或，即的取值范围为.
本题考查绝对值不等式的求解、与绝对值不等式有关的恒成立和能成立问题的求解，涉及到零点分段法和绝对值三角不等式的应用；关键是能够将恒、能成立问题转化为两函数的值域之间的关系，进而通过最值确定不等式.
20、（1）;（2） 的单调增区间为，单调减区间为;
（3）．
【解析】【试题分析】（1）借助导数的几何意义建立方程组求解；（2）先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解；（3）先将不等式进行等价转化，再分离参数借助导数知识求其最值，即可得到参数的范围。
（1）由题意，得，
则，∵在点处的切线方程为，
∴切线斜率为，则，得，
将代入方程，得，解得，
∴，将代入得，
故．
（2）依题意知函数的定义域是，且，
令，得，令，得，
故的单调增区间为，单调减区间为．
（3）由，得，
∴在定义域内恒成立．
设，则，
令，得．
令，得，令，得，
故在定义域内有极小值，此极小值又为最小值．
∴的最小值为，
所以，即的取值范围为．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）等方面的重要工具，本题的设置旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）中的运用。求解第一问时，直接借助题设与导数的几何意义建立方程求解；求解第二问时，依据题设条件，先求导法则及导数与函数的单调性之间的关系建立不等式探求；解答第三问时，先将不等式进行转化，再构造函数，运用导数的知识进行分析探求，从而使得问题简捷、巧妙获解。
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明，证得线面垂直；
（2）求出点到平面的距离，利用锥体体积公式即可得解.
【详解】
（1）因为平面，平面，所以，
又因为为中边上的高，所以，
，平面，平面，
所以平面.
（2），
因为是中点，平面，
所以点到平面的距离为，
于是.
此题考查证明线面垂直和求锥体的体积，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，准确求出点到平面的距离，根据公式计算得解.
22、（1）；（2）时，征地面积最大．
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.
试题解析：
（1）连接，可得，，，，
所以，．
（2），
令，∴（舍）或者．
因为，
所以时，，时，，
所以当时，取得最大，
故时，征地面积最大．

考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．