彩票中的数学-课程设计.pdf
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1、中北大学彩票中的数学I课程设计致知于二 摘要 A本模型研究的是如何评价传统型彩票和乐透型彩 票发行方案合理性的问题。本文首先将彩票分为 10选6+1、n选m、n选m+1及n选m无特别号 四类,分别计算四类彩票各奖项的中奖概率。然 后运用模糊数学理论建立奖金对彩民的吸引力函 数。最后把奖金对彩民的吸引力和奖项、奖金的 设置及中奖率相结合,得出衡量彩票合理性的效 用函数,用其评价彩票方案的合理性。文中不仅 评价了现有29种彩票方案的合理性,而且计算出 了更合理的方案,同时在最后还给出了一些对彩 票的看法供彩民参考课程设计彩票中的数学致知于行关键诒L A彩票模糊数学吸引力函数满意度课程设计彩票中的数
2、学1引言一问题重述与分析2模型假设3问题分析与建模 4模型求解5结果分析6结论7附录A8附录B9参考文献课程设计彩票中的数学 低项奖的奖金期望PQT彩民中第,等奖的概率,14,工7彩票合理性指标,彩民对彩票的满意度(或认可度)第/等(高项)奖占高项奖总额的比例j=1,3万 某地居民的平均工作年限X,第,等奖奖金额均值,1 /2629方案,概率公式为:m-勺TC 2 C 2m n-m+1P=-i-八2,JC m n K3型:,选m+1(m+1/n),如6、2K25方案,概 率公式为:Pm-T勺C 2 C 2m n-m+1;-1-U=l,2,,7c m n课程设计彩票中的数学致知于行 K4型:n选
3、m(m/n)无特别号型,如23方案,概率 公式为:q m-i+q i-mPC m nn-m,5课程设计彩票中的数学致知于行 3.1.2高项奖金由题可知,各高项奖金额的计算方法为:(总奖金额-低项奖金额)X单项奖比例课程设计彩票中的数学致知于行 3.1.3吸引力函数彩票奖金对彩民的吸引力是是一个模糊概念,根据模糊 函数隶属度的概念和心理学的相关知识,以及122的 吸引力分析,可以定义奖金对彩民的吸引力函数。定义3设彩票的奖金额x对彩民的吸引力歹满足吸引 力函数,记为笈=回。这里/(X)=1-e 以1Jx 0,2 0)(3.1)其中,工为奖金金额,丸为彩民的实力因子。课程设计彩票中的数学 3.1.
4、3吸引力函数实力因子是反应一个地区彩民的平均收入和消 费水平的指标,在不同地区实力因子是不同的。在此以全国平均水平为例进行研究,不妨取年 平均收入为1.5万元,平均工作年限=35年,则 人均总收入为52.5万元,于是,当 二5商.5 时,取 x即吸引力的中位数),则有I 0;2=52.5x10)6.30589 x 10 5Vin 0.5课程设计彩票中的数学唯工建模分析 A10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 105图3.1当丸二630589 时的吸引力函数课程设计彩票中的数学致知于行fe.i建樟分析 A同理可以算出年收入1
5、万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子,如表3.1 o表3.1部分年收入对应的实力因子年收入11.522.534510实力因子42039363058984078610509821261179168157121019644203928课程设计彩票中的数学致知于行.1建植分析 0 3.1.4效用函数 由123的合理性分析可知,在满足彩民购彩习 惯和奖项、奖金设置惯例的条件下,彩票发行 方案的合理性与彩民对彩票的满意度成正相关 关系,因此可以用彩民对彩票的满意度函数作 为评判彩票方案合理性的效用函数。课程设计彩票中的数学致知于行 彩民对彩票的满意度不仅与奖金的吸引力有关
6、,而且还与彩票奖项、奖金的设置有关。奖项的 设置还决定了各奖项的中奖率,因此定义满意 度如下:定义3.2奖项奖金对彩民吸引力的期望为彩民 对彩票的满意度,即:Q=E y P/nx (32),1 Z l 乙1=1其中,尸,为第,等奖的中奖率课程设计彩票中的数学致知于行.1建植分析 00315奖金期望 彩票销售总额与总奖金额满足满足如下等式:销售总额=彩票注数单注金额=总奖金额+公益资金 其中,总奖金额与筹集的社会公益资金 各为销售总额的一半。因此,从理论上讲,购 买单注彩票的2元中,有1元作为奖金回报给彩 民,另1元作为公益资金,从而,每注彩票的奖 金期望应为售价的一半,即1元。所以有如下等 工
7、*E(x)=y P x=1i i(3.3)其中,以为个奖金额的平均值。课程设计彩票中的数学致知于行fe.i建樟分析 A 3.1.6奖金的期望值 各项奖金的期望值为各项将金的平均值。与奖 金期望不同,奖金期望为尸产,.,而奖金的期望 值为X.I课程设计彩票中的数学 3.2.1计算方案合理性由题意知,单注所有可能的低项奖金期望为:7L=y P x 匕 一(3.4)根据高项奖的计算公式及(3.4)式,得到各高 项奖金的期望为:、(7 1P x=|1-V P x r,/=1,2,3(Q 6)j j J J|:4 i:j 22/课程设计彩票中的数学致知于行由(3.5)式,得高项奖的平均值为:f 7 1I
8、1-z p.x.r.I I z I Jx j=L7J=123(3.6)J课程设计彩票中的数学于是由(3.1)(3.2)及(3.6)得:0=2 p*i=i 1 1 11f 7 1I1-z p.x.r.x=1-=1,2,3 J Pj2)=1 e 1:?z=1,2,7(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)2=6.30589 xlO 5课程设计彩票中的数学致知于行 其中,(3.7)式为满意度函数,作为效用函数,用来评价各方案的合理性;(3.8)式计算各高项奖的期望值;(3.9)式计算各项奖金对彩民的吸引力;(3.10)式为实力因子,在此选年收入1.5万元。课程设计彩票中的2致知于行 3.2.2寻找
9、更合理方案 由1.2.3小节的合理性分析和3.1.4的效用函数,可知(3.2)式可作为模型的目标函数,寻找更 合理方案即使(3.2)式最大。在使Q值最大的同时,必须满足彩民的购彩习 惯和奖项、奖金设置惯例。设以m,n,r j=1,2,3 z=4,5,6,7 j I)i I)为决策变量,决定彩票的发行方案,则它们之 间所满足的关系即为约束条件。课程设计彩票中的数学:得到如下非线性规划模型:7 rmax Q=z。川 xi ii=(3.11)S.T.(3.12)|x 12_LI IU(x)=l e )=1,2,,7=6.30589xlO 5(3J3)课程设计彩票中的数学餐2建立槿型Ar+r+r=12
10、 30.5r 0.81S.t.6x10 5 x 5x10 61xa 1 b 9z=1,2 6i%iz+1P P=1,6i z+1(3.14)(3J5)(3J6)(3.17)(3.18)课程设计彩票中的数学5m 7(3.19)S t.29 n0,x N0,m,n 为正整数(322)I j i约束条件的说明如下:(3.11)(313)与(3.7)(3.10)相同。(3.11)为目 标函数;(3.12).(3.13)分别计算方案中的高项奖金的期 望值和奖金对彩民的吸引力;课程设计彩票中的数学4.(3.14)(3.21)为奖项、奖金的设置约束。(3.14)保证 高项奖总比例为1;(3.15)一等 奖的
11、比例约束,由129号方案得出;(3.16)一等 奖金额约束,介于保底金额60万与封 底金额500万之间;(3.17)第,等奖的奖金额与第/+i等奖的奖金 额之比的上下界,由问题一的计算结果及已知 各种方案的奖金数额统计得出下表3.2:课程设计彩票中的数学致知于行(3.18)等奖的中奖率小于等奖的中奖率;(3.19)、(3.20)的范围应与现有彩票的范围相一 致;(3.21)应满足实际情况。表3.2 j与乙的值123456a.1043422b.12335417201010课程设计彩票中的数学致知于行餐.2建立槿邢 0 3.2.3编写MATLAB程序题中数据较多,计算量较大,本文用MATLAB 编
12、程进行求解。其中编写的程序及其功能如下 表33课程设计彩票中的数学餐.2建立槿邢 0文件名功能附录Bcalculate_probability.m计算中奖率函数8.1.1calculate”5P29.m计算中奖率命令8,1.2cpiao.m计算满意度Q的函数8,1,4calculate_q.m计算满意度Q高等奖金期望值的 命令8,1,3nonIcon,m非线性约束函数8.1.8main.m寻找更合理方案函数8,1,7cpiaox.m计算高等奖金的期望值8.1.5cpiaoq.m计算满意度Q的函数8.1.6表3.3所编程序列表课程设计彩票中的数学解问题 一 4.1.1求解中奖率 4.1.2各方案
13、合理性(O求解问题二 4.2.1寻找最优方案G)写给报纸的短文 4.3.1写给彩民的文字课程设计彩票中的数学 4.1.1彩票中奖率运行calculate_p5P29,结合3.1.1得到各方案各 奖项的中奖率,如下表4.1,命令文件calculate_p5P29.m中需要函数文件 calculate_probability.m.课程设计彩票中的数学致知于行说明:第1列为方案序号,第27列的数量级为e-7e-1,概率0为无此等奖1420.81.82.613.424.2039056.4070534.484937029.4183677392.825510322.825510.4709180.29824
14、866.40705314.09551638.4573098078.8801752972.22004381.48002920.1973372794.91207393.4384517147.5645937722.2693781312.3828470.39714120.2647608ion3.80289592.6620271346.1226624071.8367987222.02047860.33674640.235722512 142.97101242.0797086984.9913008761.4973902631.72199880.28699980.210466515 162.34079771
15、.6385583684.0963959211.2289187761.47470250.24578380.188434217 181.85886871.3012081163.3831411021.014942331.26867790.21144630.169157119 221.4870951.0409664932.8106095310.8431828591.09613770.18268960.1522413231.48709529.1470618118.0456003170.5103115106.568940024 251.19793763.4740191292.0844114772.9181
16、760680.7295440.65658960.0875453261.19793760.8385563412.3479577560.7043873270.95092290.15848710.1373555270.97130080.6799105471.9717405870.5915221760.8281310.13802180.1242197282.60526581.5631594585.1584262111.2896065532.06337050.27511610.2842866291.83099480.9154973934.9436859240.9887371852.62015350.26
17、201540.4541599表4.1 129号方案各奖项的概率课程设计彩票中的数学 4.1.2各方案合理性运行命令文件calculate_q.m,得到各方案的满 意度Q及高等奖金的期望值,满意度最大的前 五种方案如下表42命令文件calculate_q.m 需调用 函数文件cpiaoq.m和cpiaox.m方案满意度(e-7)x1x2x355.03644175565835984171494.6996108564020679141084.43145794535192931754113.878128170351332448211673.829658761459251031521表4.2满意度前五的
18、方案及各高等奖金的期望值课程设计彩票中的数学 4.2.1寻找最优方案运行函数main.m,寻找出最合理的方案,结果 如下表4.3,main.m需调用函数cpiao.m,calculate.probability.mMnonlcon.m表4.3计算出的最合理方案满意度(+7)x1x2x3x4x5x6x7k2型43选57.85867367631735452731200课程设计彩票中的数学4.4.3.1写给彩民的文字在快节奏的现在社会,人们的生活节拍加快,紧张的 精神状态渴求得到放松。彩票悄然走进人们的生活,正在默默地发挥着心理按摩医生的作用。彩票是建立在机会均等的基础上,公平竞争的娱乐性 游戏。它
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