单阻尼与对称双阻尼弦系统减振特性对比.pdf
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1、第1 8卷 第1 0期2 0 2 3年1 0月中 国 科 技 论 文C H I N AS C I E N C E P A P E RV o l.1 8N o.1 0O c t.2 0 2 3单阻尼与对称双阻尼弦系统减振特性对比郑 罡,杨钰峰,王梦丽,张晓东(山区桥梁及隧道工程国家重点实验室(重庆交通大学),重庆4 0 0 0 7 4)摘 要:为了探究双阻尼弦系统的减振特性,推导其频率方程,对可解析求解的情况 对称三分位阻尼弦系统的频率方程进行代数化,得到其本征值的闭合解,并与单三分位阻尼弦系统的闭合解进行对比。基于2个系统闭合解的复域特征,分小阻尼和大阻尼2个区间讨论其减振特性。结果表明:在不
2、同的阻尼区间,2个系统的本征值表现出相同的共轭特性;对称三分位阻尼弦系统的减振效果是单三分位阻尼弦系统的2倍;在小阻尼区间,无论2个系统处于哪一阶运动状态,均不会出现相同的频率,且2个系统的频率构成全体实数域,可为阻尼弦系统的频率共振问题提供潜在的解决方案。关键词:双阻尼弦系统;集中阻尼;本征解;减振特性中图分类号:O 3 0 2 文献标志码:A文章编号:2 0 9 5 2 7 8 3(2 0 2 3)1 0 1 0 7 7 0 5开放科学(资源服务)标识码(O S I D):C o m p a r i s o no f a t t e n u a t i o nc h a r a c t e
3、 r i s t i c s b e t w e e na t a u t s t r i n gw i t hs i n g l e d a m p e r a n d t w o s y m m e t r i c a l d a m p e r s s y s t e mZ H E N GG a n g,Y A N GY u f e n g,WA N GM e n g l i,Z HA N GX i a o d o n g(S t a t eK e yL a b o r a t o r yo fM o u n t a i nB r i d g ea n dT u n n e lE n g
4、 i n e e r i n g(C h o n g q i n gJ i a o t o n gU n i v e r s i t y),C h o n g q i n g4 0 0 0 7 4,C h i n a)A b s t r a c t:T oe x p l o r e t h ev i b r a t i o nr e d u c t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f a t a u t s t r i n gw i t ht w od a m p e r sa n dd e r i v e t h ee i g e n v a l u
5、e so f f r e-q u e n c ye q u a t i o n,t h e f r e q u e n c ye q u a t i o n i nw h i c hd a m p e r sw e r e l o c a t e da t s y m m e t r i co n e t h i r do f t h e s t r i n g l e n g t h t h a t c o u l db ea n a l y t i c a l l ys o l v e dw a s a l g e b r a i z e d.T h e a n a l y t i c a
6、 l s o l u t i o no f i t s e i g e n v a l u e sw a s o b t a i n e d,w h i c hw a s f u r t h e r c o m p a r e dw i t h t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o no f a t a u t s t r i n gw i t h a d a m p e r i n o n e t h i r d l e n g t h.B a s e d o n t h e c o m p l e xd o m a i n c h a r a c t
7、 e r i s t i c s o f t h e a n a l y t i c a ls o l u t i o n so f t h e t w os y s t e m s,t h ev i b r a t i o nr e d u c t i o nc h a r a c t e r i s t i c sw e r ed i s c u s s e di nt w oi n t e r v a l s:s m a l ld a m p i n ga n dl a r g ed a m p i n g.T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h
8、a t i nd i f f e r e n t d a m p i n g i n t e r v a l s,t h e e i g e n v a l u e so f t h e t w os y s t e m s e x h i b i t t h e s a m e c o n j u g a t ec h a r a c t e r i s t i c s.T h ed a m p i n ge f f e c t o f a t a u t s t r i n gw i t h t w od a m p e r s l o c a t e da t s y m m e t r
9、 i c o n e t h i r do f t h e s t r i n g l e n g t h i s t w i c ea s s t r i c t a s a t a u t s t r i n gw i t ho n ed a m p e r l o c a t e da t o n e t h i r do f t h es t r i n g l e n g t h.I nt h es m a l l d a m p i n g i n t e r v a l,t h es a m e f r e-q u e n c yw i l l n o t o c c u r r
10、 e g a r d l e s s o f t h em o t i o no r d e rw h e r e t h e t w o s y s t e m s a r e,a n d t h e f r e q u e n c i e s o f t h e t w o s y s t e m s f o r mt h ee n t i r e r e a l n u m b e r d o m a i n,w h i c h c a np r o v i d e p o t e n t i a l s o l u t i o n s f o r t h e f r e q u e n
11、 c y r e s o n a n c e p r o b l e mo f d a m p i n g s t r i n g s y s t e m s.K e y w o r d s:t a u t s t r i n gw i t h t w od a m p e r s;c o n c e n t r a t e dd a m p i n g;e i g e ns o l u t i o n;a t t e n u a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s收稿日期:2 0 2 3-0 5-1 3基金项目:国家自然科学基金资助项目(5 1 9 7
12、8 1 1 2,5 1 4 7 8 0 7 2)第一作者:郑罡(1 9 7 2),男,研究员,主要研究方向为结构动力学,z h e n g g a n g c q j t u.e d u.c n 桥梁拉索结构易产生各种振动问题,故在工程实践中常在索端安装外置阻尼器对拉索进行减振1-3,已有研究证明阻尼器对短索前几阶模态有一定的减振效果4-6。随着拉索变长,拉索出现了高阶模态的振动问题7-9,安装2个阻尼器以增强减振效果的研究受到重视1 0-1 1。在研究过程中常将带有集中阻尼的张紧弦作为理论模型1 2-1 3。C a r a c o g l i a等1 4对双阻尼弦系统的动力学方程进行分区段列
13、式,导出了频率方程,采用数值方法分析了本征解的若干性质。H o a n g等1 5则对动力学方程采用全区段列式,在阻尼靠近弦两端的假设条件下,得到了双阻尼弦系统的近似解析解。以上研究针对带有2个集中阻尼器的张紧弦模型,均得到了在弦两端安装2个阻尼的减振效果近似为安装单个阻尼2倍的结论。近年来,C u等1 6采用近似解析方法针对2个阻尼器同异侧安装的减振效果进行了研究,结果表明,阻尼的同侧安装并不会增强减振效果。W a n g等1 7采用近似解析和数值方法考虑了2个不同类型阻尼器组合的减振效果。孙利民等1 0在弦端假设的基础上,考虑了双阻尼弦系统的垂度效应,得到了模态阻尼比的近似解析解。可以发现
14、,针对双阻尼弦系统的研究,相关文献对不同阻尼位置、不同阻尼类型、弦的物性参数等进行了较为深入的讨论,而寻求纯解析的研究路径对这些结论的证明是有价值的,且有利于把握系统的一般特性。本文针对双阻尼弦系统的解析求解,推导其频率方程,对可解析求解的情况 对称三分位阻尼弦系统的频率方程进行代数化,得到其本征值的闭合解,并与单三分位阻尼弦系统对比分析其减振特性。中 国 科 技 论 文第1 8卷 1 拉索-双阻尼系统的复频率方程安装2个集中阻尼器的张紧弦即双阻尼弦系统如图1所示,该系统具有弦长l、线质量密度m、张力T,设2个阻尼器的阻尼系数和安装位置分别为c1、c2和x1、x2(c1、c20,0 x1x2l
15、)。双阻尼弦系统的动力学平衡方程为-T2w(c,t)x2+m2w(x,t)t2=-w(x,t)t2i=1ci(x-xi)。(1)式中,w(x,t)、(x-xi)分别为挠曲函数、狄拉克函数。图1 双阻尼弦系统F i g.1 T a u t s t r i n gs y s t e mw i t h t w od a m p e r s对式(1)进行无量纲化:-2w(x,t)x2+2w(x,t)t2=-w(x,t)t2i=1ci(x-xi)。(2)式(2)即为双阻尼弦系统的无量纲化动力学平衡方程,该系统具有单位长度l、单位分布质量密度m、单位张力T和无量纲阻尼系数c。任意具有实际物理参数的双阻尼弦
16、系统,其动力学方程的解均可由无量纲动力学方程的解通过线性变换获得。下面对无量纲运动方程进行求解。对式(2)采用分离变量法,并引入格林函数的加权和函数,得到双阻尼弦系统的本征值方程1 3:1+p G1c p(x1)1+p G2c p(x2)-p2G1c p(x2)G2c p(x1)=0。(3)式中:p为系统的本征值;Gi c p(x)为格林函数,其表达式为Gi c p(x)=cips i n h(p(1-xi)s i n h(p)s i n h(p x)-(x-xi)s i n h(p(x-xi)。(4)式中,(x-xi)为单位阶跃函数。将式(4)代入式(3),得c1s i n h(p(1-x1
17、)s i n h(p x1)s i n h(p)+c2s i n h(p(1-x2)s i n h(p x2)s i n h(p)+c1c2s i n h(p x1)s i n h(p(1-x2)s i n h(p(x2-x1)s i n h(p)=-1。(5)式(5)为双阻尼弦系统复频率方程的一般表达式。需要注意的是,文献1 3 将式(5)的本征解分为2类:第类本征解对应于频率方程有意义(s i n h(p)0)的情况;第类本征解对应于s i n h(p)=0的情况,此时阻尼器位于挠曲函数的驻点,其位移为0,系统做无衰减的自由振动,不受阻尼影响。本文只讨论阻尼有作用即s i n h(p)0的
18、情况。2 拉索-对称双阻尼系统的减振特性1节推导出了双阻尼弦系统频率方程的一般表达式,其为关于双曲函数的超越方程,一般通过数值手段求解,但当阻尼器位于某些特殊位置时,可将频率方程转化为代数方程形式。双阻尼弦系统最易求得闭合解的位置为对称三分位,下文将对这种情况进行讨论。2.1 拉索-对称双阻尼系统的本征解当图1中2个阻尼位于对称三分位时,利用倍角公式将式(5)化简为代数方程:(c1c2+1)t a n h213p +(2c1+2c2)t a n h13p +3=0。(6)式(6)为关于t a n h(p/3)的二次方程,由二次方程求根公式,求解代入得p1=32l n1+c1c2-c1-c2+c
19、21+c22-c1c2-31+c1c2+c1+c2-c21+c22-c1c2-3,(7 a)p2=32l n1+c1c2-c1-c2-c21+c22-c1c2-31+c1c2+c1+c2+c21+c22-c1c2-3。(7 b)式(7)为对称双阻尼弦系统本征值的闭合解。系统存在2个本征解,这是由式(6)一元二次方程的性质决定的。式(7)的闭合解仍存在2个参数,为迅速把握系统的特性,设2个阻尼的阻尼系数相同,此时本征值p只与阻尼系数c有关。代入式(7),得p1=32l n(1-c)2-c2-3(1+c)2+c2-3,(8 a)p2=32l n(1-c)2+c2-3(1+c)2-c2-3。(8 b
20、)本征值p为对数函数,具有多值特性,可采用复数形式表示,即p=+j,j为虚数单位。本征值的实部代表自由振动衰减的快慢,其为对数衰减率除以振动周期的相反数,故本征值实部的相反数实际上是对数衰减率的时间密度,在此定义本征值实部的相反数=-为系统的对数衰减密度;本征值的虚部为系统的圆频率,简称频率。下文将对本征值的对数衰减密度和频率进行讨论。2.2 对数衰减密度和频率根据本征值在复数域的变化特征,对其进行区间划分。当c=3时,本征值表达式内的根式为0,这8701 第1 0期郑 罡,等:单阻尼与对称双阻尼弦系统减振特性对比一点是本征值虚部主值是否存在的分界点,故将系统分为小阻尼(0c 3)2个区间,分
21、别对本征值的对数衰减密度和频率进行讨论。2.2.1 对数衰减密度小阻尼区间对数衰减密度的表达式为1=2=-32l n4-c2(c+2)2,0c 3;(1 0 a)2=-32l n(1-c)2+c2-3(1+c)2-c2-3,c 3。(1 0 b)在大阻尼区间,2个对数衰减密度有不同的变化趋势。1随着阻尼的增大先增大后减小,在c=2时存在一无穷大不可导点,此时系统的有阻尼运动被完全抑制;2随着阻尼的增大连续减小。图2绘出了2个区间对数衰减密度随阻尼变化曲线,其中,划线、点线分别代表1、2闭合解的函数图像,三角符号代表对式(5)的超越频率方程依次代入阻尼系数进行数值求解的结果。可以看出,数值解与闭
22、合解的结果是一致的。图2 对数衰减密度随阻尼变化曲线F i g.2 C u r v eo f l o g a r i t h m i cd e c r e m e n td e n s i t yw i t hd a m p i n g2.2.2 频率小阻尼区间频率的表达式为1=32t a n-1-2 3-c2c2-2 +2s ,0c 3;(1 1 a)2=32t a n-12 3-c2c2-2 +2s ,0c 3。(1 2)在大阻尼区间,各组的2个频率相等,频率值与阻尼无关且为常数。当s=0时,频率的主值亦为0,系统存在0阶频率,此时系统做非振荡衰减运动。图3绘出了2个区间各组频率随阻尼变化
23、曲线。在任意阻尼系数下,各组的1和2分别构成公差为3 的等差数列。图3 频率随阻尼变化曲线F i g.3 F r e q u e n c yc u r v ew i t hd a m p i n g从式(9)式(1 2)注意到,在小阻尼区间,2个本征值的实部相同,虚部互为相反数,故本征值p1、p2互为共轭复根;而在大阻尼区间,两者不再共轭。将对数衰减密度和频率结合来看,注意到对数衰减密度与本征值的阶次无关,各阶运动均具有相同的对数衰减密度。3 与单三分位阻尼弦系统的对比为进一步了解对称双阻尼弦系统的减振效果和动力学特性,将其与对应的单阻尼弦系统进行对比。可以发现,若令式(7)2个子式中c2=0
24、,三分位对称双阻尼弦系统可退化为三分位单阻尼弦系统,令单阻尼弦系统的本征值、对数衰减密度、频率分别为p、,得到单阻尼弦系统的本征值:p 1=32l n1-c+c2-31+c-c2-3,(1 3 a)p 2=32l n1-c-c2-31+c+c2-3。(1 3 b)9701中 国 科 技 论 文第1 8卷 在式(1 3)中,当0 c 3时,本征值虚部的主值为0,2个系统在这一特征上一致,故同样对单三分位阻尼弦系统分小阻尼和大阻尼2个区间,对比分析2个系统的对数衰减密度和频率。3.1 对数衰减密度对比小阻尼区间单阻尼弦系统对数衰减密度的表达式为1=2=-32l n4-c2c+2,0c 3;(1 5
25、 a)2=-32l n1-c-c2-31+c+c2-3,c 3。(1 5 b)图4给出了2个系统对数衰减密度随阻尼变化曲线,可以看出,2个系统对数衰减密度的变化趋势完全相同,且当阻尼取任意值时,对称三分位阻尼弦系统的对数衰减密度为单三分位阻尼弦系统的2倍,下面对这一倍数关系进行证明。设对称三分位阻尼弦系统1=(3/2)l n(a1),2=(3/2)l n(a2);三 分 位 单 阻 尼 弦 系 统1=(3/2)l n(a 1),2=(3/2)l n(a 2)。在小阻尼区间,有a1=(a 1)2,a2=(a 2)2,即1=2=-32l n4-c2c+2 2=-3 l n4-c2c+2=21=22
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