Yoshida定理的推广.pdf
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1、第 卷第期 年月江苏师范大学学报(自然科学版)(),收稿日期:基金项目:青岛滨海学院教学改革研究项目(,),中国高等教育学会高等教育科学研究规划课题()作者简介:纪维强,男,讲师,硕士,主要从事微分方程数值解与群论的研究文章编号:()犢 狅 狊 犺 犻 犱 犪定理的推广纪维强,王兆权(青岛滨海学院 文理基础学院,山东 青岛 )摘要:利用群的直积分解对反同态个数的影响,研究反同态个数,验证了直积群在一定条件下的反同态数目满足 猜想关键词:定理;反同态;直积;猜想中图分类号:文献标志码:犱 狅 犻:犃犵 犲 狀 犲 狉 犪 犾 犻 狕 犪 狋 犻 狅 狀狅 犳犢 狅 狊 犺 犻 犱 犪 狊 狋 犺
2、 犲 狅 狉 犲 犿 ,(,)犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋:,犓 犲 狔狑 狅 狉 犱 狊:;引言设犓和犌为有限群,用犕(犌,犓)表示群犌到群犓的映射集合;犎(犌,犓)表示群犌到群犓的同态集合;犎(犌,犓)表示群犌到群犓的同态的个数;犎 (犌,犓)表示群犌到群犓的反同态集合;犎 (犌,犓)表示群犌到群犓的反同态的个数;(犌,犓)表示犌与犓的最大公因子 给出了 定理 将定理中的狀阶循环群推广到交换群上,得到了 定理;随后,提出 猜想:群犓到群犌的同态数量整除犓犓 和犌的最大公因子 等基于二面体群、四元素群、拟二面体群、模群的结构,利用代数学的基本方法,计算出了这些有限群之间的同态个数赵艳微等证
3、明了如下结果:设犎,犌为有限群,犎犎犎,如果犎犎,犎犎 为循环群,且(犎犎,犎犎),则犎(犎,犌)(犎犎,犌)本文在文献 的基础上,对文献 中的相关结果进行推广,研究反同态的同余问题文中的记号与术语是标准的,参见文献 预备知识定义 设犌和犓为有限群,:犌犓是映射,若满足(狓 狔)狔狓,狓,狔犌,则称是群犌到群犓上的反同态定义设犌和犓为有限群,犕(犌,犓)为群犌到群犓的映射集合,犛犕(犌,犓)表示集合犕(犌,犓)的置换群,如果存在一个反同态映射:犌犛犕(犌,犓),则称群犌反作用在集合犕(犌,犓)上定义设犌和犓为有限群,且犌在集合犕(犌,犓)上有反作用,对于犳犕(犌,犓),令犛犌(犳)犪犌犳犪犳犌
4、,则称犛犌(犳)为映射犳的反稳定子群定义设犌和犓为有限群,且犌在集合犕(犌,犓)上有反作用,对于犳犕(犌,犓),令犗犌(犳)犳犪犪犌,则称犗犌(犳)是犌的包含犳的反轨道引理 设犌和犓为有限群,且犌在集合犕(犌,犓)上有反作用,则对于犳犕(犌,犓),有犗犌(犳)犌:犛犌(犳)引理 设犌和犓为有限群,且犌在集合犕(犌,犓)上有反作用,则)犕(犌,犓)能够分解成一些反轨道的不交并,即犕(犌,犓)犗犌(犳)犗犌(犳)犗犌(犳犽),其中犳,犳,犳犽是映射集合犕(犌,犓)中所有反轨道代表元;)犗犌(犳)犳犕(犌,犓)构成了犕(犌,犓)的一个划分,犕(犌,犓)犽犻犗犌(犳犻)犳犕(犌,犓)犗犌(犳),其中犗
5、犌(犳)跑遍集合犕(犌,犓)的一切不相交的反轨道主要结果定理设犃,犌为有限群,如果犃犃犃是直积,其中犃,犃是犃的交换子群,且(犃,犃),则犎 (犃,犌)(犃,犌)证记犎犎 (犃,犌),犎犎 (犃,犌),考虑:犎 (犃,犌)(犺,犺)犎犎犃犺,犃犺,犺(犺,犺),其中犺犃犺,犺犃犺设犺犎 (犃,犌),由于犃犃,犃犃,可得犺犃犺,犺犃犺,所以(犺,犺)犎犎令犃犃犃,则对于犪犃,有犪犪犪,其中犪犃,犪犃又因犃犃,犃犃,可得犪犪犪犪,故(犪犪)犺(犪犪)犺进一步,犪犺犪犺犪犺犪犺,即犪犺犪犺犪犺犪犺,从而满足犃犺,犃犺,于是(犺,犺)(犺,犺)犎犎犃犺,犃犺),因此为映射下面分步完成定理的证明断言设(
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