Yoshida定理的推广.pdf

第 卷第期 年月江苏师范大学学报（自然科学版）（），收稿日期：基金项目：青岛滨海学院教学改革研究项目（，），中国高等教育学会高等教育科学研究规划课题（）作者简介：纪维强，男，讲师，硕士，主要从事微分方程数值解与群论的研究文章编号：（）犢 狅 狊 犺 犻 犱 犪定理的推广纪维强，王兆权（青岛滨海学院 文理基础学院，山东 青岛 ）摘要：利用群的直积分解对反同态个数的影响，研究反同态个数，验证了直积群在一定条件下的反同态数目满足 猜想关键词：定理；反同态；直积；猜想中图分类号：文献标志码：犱 狅 犻：犃犵 犲 狀 犲 狉 犪 犾 犻 狕 犪 狋 犻 狅 狀狅 犳犢 狅 狊 犺 犻 犱 犪 狊 狋 犺 犲 狅 狉 犲 犿 ，（，）犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋：，犓 犲 狔狑 狅 狉 犱 狊：；引言设犓和犌为有限群，用犕（犌，犓）表示群犌到群犓的映射集合；犎（犌，犓）表示群犌到群犓的同态集合；犎（犌，犓）表示群犌到群犓的同态的个数；犎 （犌，犓）表示群犌到群犓的反同态集合；犎 （犌，犓）表示群犌到群犓的反同态的个数；（犌，犓）表示犌与犓的最大公因子 给出了 定理 将定理中的狀阶循环群推广到交换群上，得到了 定理；随后，提出 猜想：群犓到群犌的同态数量整除犓犓 和犌的最大公因子 等基于二面体群、四元素群、拟二面体群、模群的结构，利用代数学的基本方法，计算出了这些有限群之间的同态个数赵艳微等证明了如下结果：设犎，犌为有限群，犎犎犎，如果犎犎，犎犎 为循环群，且（犎犎，犎犎），则犎（犎，犌）（犎犎，犌）本文在文献 的基础上，对文献 中的相关结果进行推广，研究反同态的同余问题文中的记号与术语是标准的，参见文献 预备知识定义 设犌和犓为有限群，：犌犓是映射，若满足（狓 狔）狔狓，狓，狔犌，则称是群犌到群犓上的反同态定义设犌和犓为有限群，犕（犌，犓）为群犌到群犓的映射集合，犛犕（犌，犓）表示集合犕（犌，犓）的置换群，如果存在一个反同态映射：犌犛犕（犌，犓），则称群犌反作用在集合犕（犌，犓）上定义设犌和犓为有限群，且犌在集合犕（犌，犓）上有反作用，对于犳犕（犌，犓），令犛犌（犳）犪犌犳犪犳犌，则称犛犌（犳）为映射犳的反稳定子群定义设犌和犓为有限群，且犌在集合犕（犌，犓）上有反作用，对于犳犕（犌，犓），令犗犌（犳）犳犪犪犌，则称犗犌（犳）是犌的包含犳的反轨道引理 设犌和犓为有限群，且犌在集合犕（犌，犓）上有反作用，则对于犳犕（犌，犓），有犗犌（犳）犌：犛犌（犳）引理 设犌和犓为有限群，且犌在集合犕（犌，犓）上有反作用，则）犕（犌，犓）能够分解成一些反轨道的不交并，即犕（犌，犓）犗犌（犳）犗犌（犳）犗犌（犳犽），其中犳，犳，犳犽是映射集合犕（犌，犓）中所有反轨道代表元；）犗犌（犳）犳犕（犌，犓）构成了犕（犌，犓）的一个划分，犕（犌，犓）犽犻犗犌（犳犻）犳犕（犌，犓）犗犌（犳），其中犗犌（犳）跑遍集合犕（犌，犓）的一切不相交的反轨道主要结果定理设犃，犌为有限群，如果犃犃犃是直积，其中犃，犃是犃的交换子群，且（犃，犃），则犎 （犃，犌）（犃，犌）证记犎犎 （犃，犌），犎犎 （犃，犌），考虑：犎 （犃，犌）（犺，犺）犎犎犃犺，犃犺，犺（犺，犺），其中犺犃犺，犺犃犺设犺犎 （犃，犌），由于犃犃，犃犃，可得犺犃犺，犺犃犺，所以（犺，犺）犎犎令犃犃犃，则对于犪犃，有犪犪犪，其中犪犃，犪犃又因犃犃，犃犃，可得犪犪犪犪，故（犪犪）犺（犪犪）犺进一步，犪犺犪犺犪犺犪犺，即犪犺犪犺犪犺犪犺，从而满足犃犺，犃犺，于是（犺，犺）（犺，犺）犎犎犃犺，犃犺），因此为映射下面分步完成定理的证明断言设（犺，犺）（犺，犺）犎犎犃犺，犃犺，则存在唯一反同态犺犎 （犃，犌），使得犺犃犺，犺犃犺令犺：犃犌（犪犪犪犪犺犪犺），任取犫犫犫犃，其中犫犃，犫犃如果犪犪犫犫，则由已知条件得犪犫，犪犫，所以犪犺犫犺，犪犺犫犺从而犪犺犪犺犫犺犫犺，即犺为映射又因为（犪犪犫犫）犺（犪犫犪犫）犺犫犺犪犺犪犺犫犺犫犺犪犺犪犺犫犺（犫犫）犺（犪犪）犺，所以犺保持运算，即犺为反同态，且满足犺犃犺，犺犃犺设犺 犎 （犃，犌），犺 犃犺，犺 犃犺，由于犪犺（犪犪）犺 犪犺 犪犺 犪犺犪犺（犪犪）犺犪犺，故犺 犺因此断言成立断言设：犎 （犃，犌）（犺，犺）犎犎犃犺，犃犺，则映射为双射设犎 （犃，犌），犃，犃如果（犺，犺）（，），可推出犺，犺根据断言可得，犺，即为单射由断言知，对于（犺，犺）（犺，犺）犎犎犃犺，犃犺，有唯一犺犎 （犃，犌），使得犺犃犺，犺犃犺，即犺（犺，犺），所以为满射因此，映射为双射断言犌反作用在犎上令：犌犛犎 （犃，犌）：犎 （犃，犌）犎 （犃，犌）：犃犌，犵犵：犺犺犵：犪犵 犪犺犵，设犺犎 （犃，犌），犪犃，犵犌，则有犪犺犌，进而得犵 犪犺犵犌，即犺犵为映射同时，对于任意犪，犫犃，由于第期纪维强，等：定理的推广（犪犫）犺犵犵 犫犺犪犺犵犫犺犵犪犺犵，所以犺犵为反同态，由此推出犵为映射令犎 （犃，犌），根据犪犺犵犪犵得，犪犺犪，即犺，故犵为单射下证犵为满射，如果犎 （犃，犌），那么存在犵犎 （犃，犌），满足（犵）犵（犵）犵，犵为满射，从而犵为双射，即为映射下证保持运算事实上，对于犵，犵犌，有犪犺犵犵犵犵犪犺犵犵犵（犪犺犵）犵犪犺犵犵，故得犵犵犵犵因此为群反同态，即犌反作用在犎上断言取犗犌（犺），则犎 （犃，犆犌（犃）犎 （犃，犆犌（犃犺）令犺犵，犵犌，考虑犳：犎 （犃，犆犌（犃犺）犎 （犃，犆犌（犃犺犵）：犃犆犌犃犺犵（），狓狓犵：犪犵 犪狓犵对于任意犪犺犵犃犺犵，有犪狓犵犪犺犵犵 犪狓犪犺犵犵 犪犺犪狓犵犪犺犵犪狓犵，故犪狓犵犆犌（犃犺犵），即狓犵为映射设犫犃，由于（犪犫）狓犵犵 犫狓犪狓犵犵 犫狓犵犵 犪狓犵犫狓犵犪狓犵，因此，狓犵为反同态，即犳为映射任取狓，狔犎 （犃，犆犌（犃犺），如果犪狓犵犪狔犵，则可得犪狓犪狔，进而狓狔，从而犳为单射下证犳为满射设犎 （犃，犆犌（犃犺）犵），令：犃犆犌（犃犺），犪（犪）犵，显然犪犆犌（犃犺犵）对于犪犺犵犃犺犵，有犪犪犺犵犪犺犵犪犪犵 犪犺犵犵 犪犺犵犪犵犪犵 犪犺犪犺犵犪犵犪犵犪犺犪犺犪犵，所以犪犵犆犌（犃犺），从而为映射再由（犪犫）（犪犫）犵犵犫犪犵犫犪，得到为群反同态，且犳，于是犳为满射因此犳为双射，断言成立断言群犃到群犆犌（犃犺）的反同态的个数满足犎 （犃，犆犌（犃犺）（犃，犆犌（犃犺）（）任取犎（犃，犆犌（犃犺），犪，犫犃，则（犪犫）犪犫，注意到犃为交换群，所以（犪犫）（犫犪）犪犫，故犎 （犃，犆犌（犃犺），即群犃到群犆犌（犃犺）的同态也是反同态根据 定理，可得（）式断言犎 （犃，犌）（犃，犌）由断言及引理、，可得犎 （犃，犌）（犺，犺）犎犎狘犃犺，犃犺犺犎犗犌（犺）犺犎狘犃犺犆犌（犃犺）犺犎犗犌（犺）犎 （犃，犆犌（犃犺）犺犎犌：犛犌（犺）犎 （犃，犆犌（犃犺），（）注意到犛犌（犺）犵犌 犺犵犺犵犌 犪犺犵犪犺，犪犃犵犌 犪犺犵犵 犪犺，犪犺犃犺犆犌（犃犺），故（）式为江苏师范大学学报（自然科学版）第 卷犎 （犃，犌）犺犎狘犌：犆犌（犃犺）狘 狘犎 （犃，犆犌（犃犺）狘（）通过断言，得到（犃，犆犌（犃犺）整除犎 （犃，犆犌（犃犺），进而得到犌：犆犌（犃犺）（犃，犆犌（犃犺）整除犌：犆犌（犃犺）犎 （犃，犆犌（犃犺），推出（犃，犌）整除犌：犆犌（犃犺）犎 （犃，犆犌（犃犺），即犌：犆犌（犃犺）犎 （犃，犆犌（犃犺）（犃，犌），（）将（）式代入（）式，得犎 （犃，犌）（犃，犌），断言成立利用同样的方法，可得犎 （犃，犌）（犃，犌）注意到犃犃犃且（犃，犃），所以犎 （犃，犌）（犃，犌）定理得证参考文献：，：（犃，犌），（）：，（）：，（）：，（）：，（）：马雪丽，郭继东，海进科四元素群到一类亚循环群之间的同态个数云南大学学报（自然科学版），（）：赵艳微，海进科关于群同态的 和 问题山东大学学报（理学版），（）：，（）：，：，：，徐明曜有限群导引北京：科学出版社，责任编辑：钟传欣第期纪维强，等：定理的推广