删繁就简,去芜存菁——对一个直线过定点问题的探究.pdf
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1、数学教学删繁就简,去芜存菁一对一个直线过定点问题的探究向霞吴波?(1重庆市长寿区第一实验小学校(古镇校区),重庆401220;2.重庆市长寿龙溪中学校,重庆401249)1问题的提出命题1如图1,在线段AB内选一点M,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作正方形AMCD和MBEF.OP和OQ是这两个正方形的外接圆,它们交于点M和N.求证:不论点M怎样选取,直线MN恒过定点.FENDCQPABMH图1文献1中尚、梁两位同学对上面这道几何题作了拓展,发现:(1)如图2(),当M在线段AB反向延长几何体的特征,如直棱柱、正棱柱、正棱锥、正多面体等;立体几何中的这两个题涉及到长度距离、面积和体积,这也是
2、课程标准和高考中要求掌握的常规知识点;立体几何中的位置关系是课标和高考要求重点考查的内容.在教学中要求学生掌握几何对象的形状、大小与位置关系,除可以用空间向量等方法来解决之外,通过前面解2 0 17 一2 0 2 2 年的部分高考真题可以发现很多立体几何中的位置关系问题还可以用三正弦定理、三余弦定理解决,可见这种解法是通用通法,在高考中的适用面非常广,线上且正方形AMCD和MBEF在直线AB异侧时,直线MN仍过定点;IHDPNBAMABQPNDEC(a)(b)图2(2)如图2(b),M 在线段AB内,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作正三角形AMC和MBD时,直线MN仍过定点.尚、梁两位同学
3、据此猜测:上述结论对一般的正多边形仍成立。本文将对这个问题进行探究.且用这两个定理来解有些高考题非常方便,特别是空间夹角问题,能够实现线线角、线面角和面面角之间的相互转化,因此我们在平时的教学过程中要重视这一方法.参考文献1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2 0 17 年版2 0 2 0 年修订)S.北京:人民教育出版社,2 0 2 0.2王修汤,沈保兵.讲评高考题:讲什么,评什么J.中学数学教学参考(上旬),2016(12):47-49.7-412023年第7 期数学教学2初探:坐标法诱导出几何法稍作计算,我们可以用坐标法给出上述猜测的一个并不算太繁琐的证明.命题2 在线段AB内
4、任选一点M,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作两个正n边形.P和Q是这两个正n边形的外接圆,它们交于点M和N,则直线MN恒过定点.证法一:如图3(以正五边形为例),设IAB|=2a.以AB为轴,以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.4B2A2NBBAA3QPZ1111ABM一图3易知:A(-,0),B(a,0),又设动点M(m,0)(-m).可算得两圆心及圆心所连的向量的坐标:m一am+aTDcot22nm+aamT,PQTQcota,-mcot22nn注意到直线MN过M且以PQ为法向量,因此直线MN的方程为:TTa(x-m)-mycot=0.n由此易知:直线MN必过定点H0,Tatan-
5、证毕.n由定点H的坐标,我们可确定其位置:如图3,H在AB的中垂线上且到AB中点的距离为atan一TTnTT注意到|OA|=|OB|=a,O H|=a t a n n易知:OAH=LOBH=.因此,过A、B分别n作P和Q的切线,两切线的交点即是H.而当M运动时,AP、BQ 的方向不变,所以OP和Q在A、B处的切线是定直线,则H为定点.因此,由上述坐标法可诱导出定理1的一个非常简单的几何证明.证法二:如图3,过A、B分别作P和OQ的切线,两切线交于点H.当M运动时,AP、BO 的方向不变,所以这两条切线是定直线,则H为定点.T由弦切角知识易知:ZOAH=ZOBH=n因此|HA|=|HBI(因此H
6、必在AB的中垂线上).这表明:H是OP和Q的一个等幂点.而直线MN是两圆的等幂轴.因此直线MN必过H.证毕.完全类似地,可以证明(证略):命题3在线段AB(反向)延长线上任取一点M,分别以AM和BM为一边在AB的异侧作两个正n边形(图4中以正五边形为例).P和Q是这两个正n边形的外接圆,它们交于点M和N,则直线MN恒过定点.A2AA/PMBA01L1QBBl1B2图4如图4,所过的定点H仍是P和Q各自在A、B处的切线的交点.同样的,H必在AB的中垂线上。7-422023年第7 期数学教学另外,在文献2 中也给出过一个由坐标法诱导出几何法的例子,可以参看.3一个副产品在图3、图4的正五边形中显示
7、:A2A,与B,B,所在直线的交点也在直线MN上.这样,在对命题2 和命题3的探究中我们顺带发现有如下“副产品”:命题4如图3,当M是线段AB内任意点,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作两个正五边形AA,AA,M和BB,B,B,M;如图4,当M是线段AB(反向)延长线上任意点,分别以AM和BM为一边在AB的异侧作两个正五边形AA,A2A,M和BB,B,B,M.OP和OQ是这两个正五边形的外接圆,它们交于点M和N,则直线MN、A 2 A 3、B,B,三线共点.证明:如图3,由正五边形易知:AMB,=ZBMA,=180-108=72.所以LA,MB=36而在正五边形中有LA,MA,=ZB,M B
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