删繁就简,去芜存菁——对一个直线过定点问题的探究.pdf

数学教学删繁就简，去芜存菁一对一个直线过定点问题的探究向霞吴波?（1重庆市长寿区第一实验小学校（古镇校区），重庆401220；2.重庆市长寿龙溪中学校，重庆401249)1问题的提出命题1如图1,在线段AB内选一点M,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作正方形AMCD和MBEF.OP和OQ是这两个正方形的外接圆，它们交于点M和N.求证：不论点M怎样选取，直线MN恒过定点.FENDCQPABMH图1文献1中尚、梁两位同学对上面这道几何题作了拓展，发现：（1）如图2（），当M在线段AB反向延长几何体的特征，如直棱柱、正棱柱、正棱锥、正多面体等；立体几何中的这两个题涉及到长度距离、面积和体积,这也是课程标准和高考中要求掌握的常规知识点；立体几何中的位置关系是课标和高考要求重点考查的内容.在教学中要求学生掌握几何对象的形状、大小与位置关系，除可以用空间向量等方法来解决之外，通过前面解2 0 17 一2 0 2 2 年的部分高考真题可以发现很多立体几何中的位置关系问题还可以用三正弦定理、三余弦定理解决，可见这种解法是通用通法，在高考中的适用面非常广，线上且正方形AMCD和MBEF在直线AB异侧时，直线MN仍过定点；IHDPNBAMABQPNDEC(a)(b)图2（2）如图2（b），M 在线段AB内，分别以AM和BM为一边在AB的同侧作正三角形AMC和MBD时，直线MN仍过定点.尚、梁两位同学据此猜测：上述结论对一般的正多边形仍成立。本文将对这个问题进行探究.且用这两个定理来解有些高考题非常方便，特别是空间夹角问题，能够实现线线角、线面角和面面角之间的相互转化，因此我们在平时的教学过程中要重视这一方法.参考文献1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订）S.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.2王修汤，沈保兵.讲评高考题：讲什么,评什么J.中学数学教学参考（上旬），2016(12):47-49.7-412023年第7 期数学教学2初探：坐标法诱导出几何法稍作计算，我们可以用坐标法给出上述猜测的一个并不算太繁琐的证明.命题2 在线段AB内任选一点M,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作两个正n边形.P和Q是这两个正n边形的外接圆，它们交于点M和N，则直线MN恒过定点.证法一：如图3（以正五边形为例），设IAB|=2a.以AB为轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.4B2A2NBBAA3QPZ1111ABM一图3易知:A（-，0)，B（a，0）,又设动点M(m，0)（-m).可算得两圆心及圆心所连的向量的坐标：m一am+aTDcot22nm+aamT,PQTQcota,-mcot22nn注意到直线MN过M且以PQ为法向量，因此直线MN的方程为：TTa(x-m)-mycot=0.n由此易知：直线MN必过定点H0,Tatan-证毕.n由定点H的坐标，我们可确定其位置：如图3，H在AB的中垂线上且到AB中点的距离为atan一TTnTT注意到|OA|=|OB|=a，O H|=a t a n n易知：OAH=LOBH=.因此,过A、B分别n作P和Q的切线，两切线的交点即是H.而当M运动时,AP、BQ 的方向不变,所以OP和Q在A、B处的切线是定直线，则H为定点.因此，由上述坐标法可诱导出定理1的一个非常简单的几何证明.证法二：如图3，过A、B分别作P和OQ的切线，两切线交于点H.当M运动时,AP、BO 的方向不变，所以这两条切线是定直线，则H为定点.T由弦切角知识易知：ZOAH=ZOBH=n因此|HA|=|HBI（因此H必在AB的中垂线上）.这表明：H是OP和Q的一个等幂点.而直线MN是两圆的等幂轴.因此直线MN必过H.证毕.完全类似地，可以证明（证略）：命题3在线段AB（反向）延长线上任取一点M,分别以AM和BM为一边在AB的异侧作两个正n边形（图4中以正五边形为例）.P和Q是这两个正n边形的外接圆，它们交于点M和N,则直线MN恒过定点.A2AA/PMBA01L1QBBl1B2图4如图4,所过的定点H仍是P和Q各自在A、B处的切线的交点.同样的，H必在AB的中垂线上。7-422023年第7 期数学教学另外,在文献2 中也给出过一个由坐标法诱导出几何法的例子，可以参看.3一个副产品在图3、图4的正五边形中显示：A2A，与B,B，所在直线的交点也在直线MN上.这样，在对命题2 和命题3的探究中我们顺带发现有如下“副产品”：命题4如图3，当M是线段AB内任意点，分别以AM和BM为一边在AB的同侧作两个正五边形AA,AA,M和BB,B,B,M；如图4,当M是线段AB（反向）延长线上任意点，分别以AM和BM为一边在AB的异侧作两个正五边形AA,A2A,M和BB,B,B,M.OP和OQ是这两个正五边形的外接圆，它们交于点M和N,则直线MN、A 2 A 3、B,B,三线共点.证明：如图3，由正五边形易知：AMB，=ZBMA,=180-108=72.所以LA,MB=36而在正五边形中有LA,MA，=ZB,M B，=36因此M、B3、A,三点共线,M、A 3、B,三点共线.又设直线A2A3、B,B3相交于点于L.显然A2、B3、A s、B,四点共圆（因为LA,A,B=LA,B,B,=36),则有IA,L/A,L|=B,L/|B,L.这表明：L是OP和Q的一个等幂点.而直线MN是两圆的等幂轴，因此直线MN必过L.即MN、A z A 3、B,B,三线共点.对图4中的情形，完全类似可证.证毕.但对其他的正多边形，我们没有发现有与命题4中类似的现象发生.4再探：删繁就简去芜存菁命题2 和命题3中的动点M是在A、B确定的直线上运动（当M与A或B重合时其中某个正多边形的外接圆退化为点圆）.一个自然的想法是：问题1仍固定A、B,但将M的运动路径改为其他类型的曲线，两正多边形外接圆公共弦所在的直线MN还过定点吗？这可以用动态几何软件做实验验证.先将M的运动路径改为圆，试验结果表明：结论仍成立.又改为椭圆，结论仍成立.再改为双曲线及抛物线，结论仍成立！一个大胆的猜想闪现在眼前：莫非M取平面内的任意点结论都成立？继续用动态几何软件做试验，实验结果表明：对平面上的任意点M结论确实都成立！另外，在作图的过程中，容易知道：作正n边形的外接圆并不需要作出完整的正n边形.只需要由A、M 和B、M 去确定出两个正n边形的中心P、Q 就可以了.而在确定中心P、Q2T的时候，只需作两个顶角都为的等腰三角形nPAM和QMB即可（如图3）.显然等腰三角形PAM和QMB同向相似一一并且这对图4来说也成立！一个自然的想法是：问题2 对两圆圆心P、Q，用条件“等腰三角形PAM和QMB同向相似”来替代条件“P、Q 是两个正n边形的中心”后，结论是否仍然成立？继续用动态几何软件做试验，试验结果表明：对问题2 的回答是肯定的！这样，我们既脱离了猜测中对M的运动路径的限制，也脱离了对两圆圆心是正n边形的中心的限制，从而得到了一个非常具有一般性的命题.事实上，我们还可以从中推出更多的结论.具体地说，我们得到了如下结论：定理如图5、图6，C是线段AB中点，OC垂直平分AB.M是平面内任意点.作与OAB同向相似的O,AM和O,MB.以O,为圆心过A、M 的OO,与以O,为圆心过B、M 的M02NCKBA17米图57-432023年第7 期数学教学MDEGNO2CBF图6OO2相交于M、N.以O为圆心过A、B的圆记作O0.OO在A、B处的切线相交于点X，00与0 0 1、0,的另一个交点分别为G、F.则(i）A、N、O、B、X 五点共圆;（i i）D、M、E三点共线,A、M、F三点共线,B、M、G 三点共线；（i i）直线MN必过定点X；（i v）四边形0 O,MO，为平行四边形.注：在命题1一4中都没有出现0.事实上，当动点M取B时，O，与OO重合；当动点M取A时，0,与O0重合.因此0 0 是与0 1，0 0，都有密切联系的圆.证明：图5 和图6 两种情形下的证明是完全类似的.下面仅就图5 的情形进行证明.如图5,设0 在A处的切线与0 1的异于A的另一个交点为D，O 在B处的切线与0,的异于B的另一个交点为E.因OAB、O,A M、O,M B三者同向相似,我们可记ZAOB=LAO,M=ZMO,B=2,则LAOC=LCOB=，L A D M=,ZMEB=.（i）由AX、BX 与O相切知：ZOAX、LOBX都是直角.因此A、O、B、X 四点共圆.由前知ADM=,则ZANM=T-.同理 ZBNM=T-.因此ZANB=2=ZAOB.因此A、N、O、B四点共圆.综上可知:A、N、O、B、X 五点共圆.(ii）易知ZADM=ZXAB,所以MD/AB;同理ME/AB.因此D、M、E三点共线.由弦切角定理知：LDAG=LABG.而ZDAG=ZDMG,因此ZABG=ZDMG.又因为MD/AB，由此易知:B、M、G 三点共线。同理可证：A、M、F三点共线.（i i）如图5,结论（ii）中已证得D、M、E三点共线.又LADM=MEB=.因此IXDI=IXEI.又由对称性知：作为两切线交点的X必在AB的中垂线上，因此|XA|=XBI.显然有|XA|XD|=|XB|XE.这表明：X是0 0 1、0 0,的等幂点.所以0 1，0,的等幂轴MN必过点X.（i v）因OAB与O,AM同向相似且有公共点A,显然可以通过一个以A为中心的旋转及放缩使得两者重合.由此易知：A00，与A BM 同向相似.同理，OBO，与ABM同向相似.又注意到IOA|=|OBI，因此A0O,与O BO 2 全等.因此10 0,|=0,B|=|0,M|，10 0,|=1O,A|=|0,M|.因此四边形0 0,M0,为平行四边形.证毕.当M在线段AB内运动时，定理的结论（i i)可推出命题2；当M在线段AB（反向）延长线上运动时，定理可推出命题3.显然，上述定理极大地推广了文献1中的猜测.另外,本文定理与文3第3小节中的那个特例有联系，有兴趣的读者可以参考.参考文献1尚瑞欣，梁晨曦.一道直线恒过定点问题的多证、探源及拓展J.数学通讯（上半月）,2 0 15(10):5 8-5 9.2李晟.坐标法的反作用-一诱导出几何妙法J.数学通报，2 0 12,5 1（10）：5 1-5 4.3吴波，张晓涛.相交圆中的一个轨道问题及其推广J.数学教学，2 0 2 3（1）：5-9.