受观察噪声影响的不可料非线性滤波方程及线性滤波稳定性.pdf
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1、Mathemitca数学物理学报2023,43A(4):1244-1254Cientiahttp:/受观察噪声影响的不可料非线性滤波方程及线性滤波稳定性1李继泽1邱吉秀2 周永辉*(1贵州师范大学数学科学学院贵阳550 0 2 5;2 贵州师范大学大数据与计算机科学学院贵阳550 0 2 5)摘要:针对一类不可料信号过程噪声与观察过程噪声相关的非线性系统,借助信息域扩张方法,将该系统转化为关于扩张信息域相适应的更高维系统,然后导出高维适应系统的Zakai方程和Kushner-FKK方程及其在线性情况下的显式解.作为应用,得到一类不可料常系数线性系统滤波的渐近稳定性.关键词:不可料非线性系统;非
2、线性滤波;Zakai方程;Kushner-FKK方程;线性滤波渐近稳定性.MR(2010)主题分类:6 0 H05;60H20;60J75;93E20文章编号:10 0 3-3998(2 0 2 3)0 4-12 44-110中图分类号:O23文献标识码:A1引言最近,不可料信号观察系统的滤波问题引起了人们的关注,这一问题来自于内部人交易金融市场的均衡研究 3,15。2 0 11年,Aase 等 1 首次提出了不可料一维线性信号观察系统的滤波问题,利用Hu7关于布朗运动滤子扩张结果,将原一维不可料系统转化为关于扩张信息域相适应的更高维系统,从而导出信号在观察下的滤波方程进一步,Tindel等
3、2 1 研究了高维不可料非线性系统滤波问题,同样通过滤子扩张方法,得到更高维的关于扩张信息域适应的信号观察系统,从而推出Zakai方程和Kushner-FKK方程;在此基础上得到了线性滤波的渐近稳定性。注意,Kurtz 和Xiongl14 通过粒子表示,研究了一类随机偏微分方程的数值解,并由此求解滤波方程的数值解 2 2 Ji等 9-10 还获得了模型不确定性下广义Kalman-Bucy模型的一些滤波方程关于更经典的滤波结果,见文献 4,11-12,16-17,2 2 .该文将研究一类不可料信号过程噪声与观察过程噪声相关的非线性系统,求解信号在观察下的滤波方程,以及线性滤波的稳定性.具体地,设
4、T0,考虑完备的概率空间(2,Ft,F,P)收稿日期:2 0 2 2-0 9-0 1;修订日期:2 0 2 3-0 2-0 6E-mail:基金项目:国家自然科学基金(118 6 10 2 5)和贵州省科技计划项目(黔科中引地 2 0 2 2 40 55)Supported by the Natural Science Foundation of China(11861025)and the QKZYD of Guizhou(20224055)*通讯作者No.4上的m-维信号X和n-维观察Z的不可料信号观察系统:对0 tT,有Xt=Xo+/0i(s)dWs+/02(s)dNs,0Zt=(s,X
5、s)ds+/c(s)dNs,其中信号过程X同时受到相互独立的m-维的布朗运动噪声W和n-维布朗运动噪声N驱动,观察过程Z仅受到布朗运动噪声N驱动,可见信号过程噪声与观察过程噪声相关,a,01,02,和c及其可逆映射c-1都是具有适当维数的Borel有界实矩阵假设系统满足假设(A)对于t0,T,(Xo,Wt,Nt)是联合高斯;-域Ft=oWs,Ns,0st);Xo关于FT适应,使得Xo和观察噪音Nt存在协相关函数pN(t)(1.2)其中pN EC(0,T,Rnm),*表示矩阵转置符号.显然,信号观察系统(1.1)是不可料的,因为XoEFT,且与观察噪音Nt相关.该系统推广了文献 2 1 中信号观
6、察系统,其中2=0 和c=1.该文将求解在信息流2 t=Zs,0st)下信号Xt的滤波EXt|Zt所满足的动力学方程,包括Zakai型方程和Kushner-FKK型方程,以及线性情况下滤波的一些稳定性由于系统是不可料的,因此使用的基本技术与文献7,21,23中的技术类似,总结如下.(a)主要应用一些关于滤子扩张的结果,通过过程At来修正Nt,使得Nt一At是oXo,N。:0 s t)-布朗运动,其中过程At依赖于过程Nt、相关函数pN、随机变量X。及其方差Z,其他附加漂移项将反映在滤波方程的系数中.(b)在滤子扩张方法的帮助下,引入一个更高维的扩展辅助信号过程U,将最初的不可料系统滤波问题转化
7、到经典的适应系统的滤波问题该文所得的结果覆盖了一些经典信号观察系统的结果,具体参见文献 1,11,2 1,2 3.该文组织结构如下在第2 节中,介绍一些关于滤子扩张的经典结果在第3节中,通过滤子扩张技术,得到一个更高维的扩展适应系统,然后导出非归一化滤波的Zakai型方程、归一化滤波的Kushner-FKK型方程以及线性情况下的显式解作为应用,第4节中讨论线性滤波的渐近稳定性最后,进行总结.李继泽等:受观察噪声影响的不可料非线性滤波方程及线性滤波稳定性a(s,X)ds+JOpn(t)=ENtX1245Jo(1.1)2滤子扩张Tindel 等在文献 2 1 中得到了以下两个关于多维布朗运动滤子扩
8、张引理,推广了Hu7的一维情况扩张结果这些结果在处理不可料信号观察系统滤波问题中起重要作用.引理2.1设(Bt,0tT)是在FB下的n-维标准布朗运动,XE Rm是中心高斯随机向量,协方差ZERmm.假设Bt和X满足以下条件(i)X,Bt;00,如果p(to)0,则对所有 t0,tol,矩阵-J p(s)*p(s)ds 是非奇异的.注2.1引理2.1指出,在滤子扩张的情况下可以构造一个新的布朗运动;而引理2.2给出了适定性条件.数学物理学报入(t,s)=g(t)p(s)+q(s).p(s)=p(s)*,q(s)=-g(s)p(s)*-g(s)p(s)*.Bt=Bt-/入(t,u)B(u)du-
9、g(t)XJoVol.43A(2.2)(2.3)3不可料非线性滤波方程为了便于计算,定义过程乙t,使得乙t满足微分方程dZt=c(t)-1 s(t,Xt)dt+dNt.由于ct是可逆且有界,因此系统(1.1)等价于系统tXt=Xo+/a(s,Xs)ds+/01(s)dW+/.02(s)dNsJoJoZt=i(s,X,)ds+Nt,其中1(t,Xt)=c(t)-1d(t,Xt)显然,系统(3.2)仍然是一个不可料信号观察系统下面的引理是 2 1,引理3.1 的推广,主要是运用第2 节中关于滤子扩张的引理将其转化为适应的信号观察系统。引理3.1设(X,2)满足方程(3.2).令其中函数p,q,入和
10、g与引理2.1相同,p被p取代则下列结论成立(i)(W,N)是 Ht-布朗运动,其中 Ht=oXo,Ws,Ns,st).(ii)扩展信号观察系统(U,Z)是关于Ht-适应系统Ut=Uo+/A(s,U.)ds+JoJok3(s,U,)ds+Nt(3.1)Jo(3.2)Nt=Nt-/(t,u)Nudu-g(t)Xo,(3.3)Jotki(s)dW+k2(s)dNs,(3.4)No.4系数 A,k1,k2满足A(t,Ut)=李继泽等:受观察噪声影响的不可料非线性滤波方程及线性滤波稳定性a(t,Xt)+02(t)g(t)Xt+02(t)r(t)Ntg(t)Xt+r(t)Nt1247PtNtK10002
11、(t)0In其中U=(X,X,N)*,Xt=Xo+/Jo证令 B=(W,N),X=Xo以及p=pN.由引理2.1,可直接得到结论(i).现在,证明结论(i).根据引理2.1可得0其中入(t,s)=g(t)p(s)+q(s),则有等式Nt=Nt+/(g(t)p(s)+q(s)N.ds+g(t)Xo.ks(t)=i(t,Xt)+g(t)Xt+r(t)Nt,p(s)Nsds,r(t)=(t,t)=-g(t)p(t)*.Nt=Nt+/(t,s)Nds+g(t)Xo,0(3.5)因此,应用分部积分可得Nt=(现在,将方程(3.6)代入系统方程(3.2)的第一个方程,可得tXt=Xo+/a(s,Xs)ds
12、+/02(s)(g(s)X。+r(s)N,)d s+JoJo进而,结合方程(3.6)和方程(3.5)的第二个方程,可得扩张信号过程U满足方程tUt=Uo+A(s,Us)ds+Jo0其中,系数A,k1,k2满足a(t,Xt)+02(t)g(t)Xt+02(t)r(t)NtA进一步,将方程(3.6)代入方程(3.2)的第二个方程,则观察过程Z乙t满足方程g(stJop(t)Ntg(t)Xt+r(t)NtZt=ks(s,U.)ds+Nt,ds+0/ki(s)dWs+/00r(s)Nsds+Nt.?t01(s)dWs+Jotk2(s)dNs,(3.6)2(s)dNs.(3.7)(3.8)02(t)0I
13、n(3.9)1248其中,k3(t)=1(t,Xt)+g(t)Xt+r(t)Nt.很明显,由(i)可知,(W,N)是Ht布朗运动,故而新的扩展信号观察系统(U,Z)关于Ht-适应.从引理3.1中不难看出,在滤子扩展的辅助下,不可料系统(3.2)转化为由布朗运动(W,N)驱动的Ht适应系统为了求解在给定观察的条件下获得扩展信号U的非线性滤波,需要进行Girsanov变换,以便在新的概率测度下,使得Z成为布朗运动.注意,根据假设,上述过程k3是有界的因此,通过Giranov定理,在样本空间上可以定义概率测度P其中 =exp-J k3(t,Ut)*dNt-JT/ka(t,Ut)/dt),使得(W,Z
14、)是 Ht-布朗运动.下列定理推导了具有修正系数的扩展信号观察系统(3.4)的滤波方程,证明类似于文献22(或文献 4)中的定理5.5和定理5.7,具体证明细节略.定理3.1设(U,Z)满足系统(3.4).对所有ECl-(0,T)R2m+n),下列结论成立(i)若定义算子(t)()(3.10)则(t)()满足下列随机微分微分方程(Zaikai方程)td(t)(t)=IIo(0)+/d(s)s其中E表示关于概率测度P的期望,二阶微分算子L满足数学物理学报dP=rdP,d(t)(p(t)=EAtp(Ut)|zt,+L(s)p)ds+/JoVol.43A(s)(Vpk2(s)+pks(s)*)dZs
15、,(3.11)其中Q=kik+k2k2,di=2m+n为U的维数.(i)若定义算子I(t)()II(t)(p(t)=Eo(Ut)/Ztl,则II(t)()满足下列随机微分方程(Kushner-FKK方程)tII(t)(s(t)=IIo(p(0)+II(s)0?t+/1I(s)(k3(s)*+Vpk2(s)-II(s)()II(s)(ks(s)*)dIs,其中 It 是更新过程且满足It=Zt一JII(s)(k 3(s)d s.(3.12)+Lp)ds(3.13)4不可料确定性系数线性滤波方程及其稳定性考虑系统(3.4)的系数是线性的情况,即A(t,a)=A(t)a+f(t),其中 A(t),f
16、(t),ks(t)和 hi(t)都是 0,T)上的有界可测实矩阵.ks(t,)=k3(t)+hi(t),No.4由引理3.1,可得适应系统?tUt=Uo+/A(s)Us+f(s)ds+0k3(s)Us+hi(s)ds+Nt,其中a(t)2(t)g(t)2(t)r(t)A(t)=00李继泽等:受观察噪声影响的不可料非线性滤波方程及线性滤波稳定性02(t)0p(t)g(t)r(t)1249ki(s)dWs+k2(s)dNs001(t)ki(t)=00(4.1)k2(t):0Inf(t)于(t)=因此,由定理3.1(i),可得线性信号观察系统(4.1)的Kushner-FKK滤波方程.定理4.1记t
17、=EUtzt,Pt=E(Ut-t)(Ut-t)*,则t满足下列微分方程Ut=to+/(A(s)0。+f(s)d s +)其中,矩阵P(t)满足Riccati方程Pt=PtA(t)*+A(t)Pt+K(t)-(k2(t)+Ptks(t)*)(k2(t)+Ptks(t)*)*,更新过程 It=Jt k3(s)(U。-U.)d s +Nt 且矩阵 K(t)=ki(t)kr(t)+k2(t)k2(t).证令p(c)=a,由方程(3.13)可得线性滤波方程(4.2).现在,定义误差过程et=Ut-Ut,则由(4.1)和(4.2)式,有det=d(Ut-Ut)=A(t)(Ut-Ut)dt+(k2(t)+P
18、(t)k3(t)*)dIt-ki(t)dWt-k2(t)dNt.由于P(t)=Eetet,由Ito公式可得Riccati方程(4.3).此外,根据文献 4,定理4.4.1和推论4.4.1,Zakai方程(3.11)的解和Kushner-FKK方程(3.13)的解可表述如下,证明从略.推论4.1在定理3.1的假设下,有EAs(U,)2)/(0+(),-(2d)其中St=exp且0,k3(t)=bi(t)g(t)r(t)且 hi(t)=c(t)-1h(t),i(t)=c(t)-1d(t).0(k3(s)U+hi(s)*dZs-Es(Ut)Zl(k2(s)+Psk3(s)*)dIs,(k3(s)U。
19、+h 1(s)*(k 3(s)U +h i(s)d s2Jo(s(0t+P(t)e-(2dl)(4.2)(4.3)St(4.4)(4.5)1250注4.1显然,我们的定理3.1是文献 1,定理3.1 和文献 2 1,定理4.1 的推广当然,滤波方程(4.2)和Ricccati方程(4.3)可以通过文献 17,定理12.7 导出.接下来,考虑下面的不可料常系数线性信号观察系统滤波的渐近稳定性Xt=Xo+/(aX+f(s)ds+0iWt+02Nt,Jo?tZt=(biX。+h i(s)d s +Nt.该系统(4.6)是线性信号观测系统(3.2)的特殊情况,即当对于所有sE0,t,as三aE Rnx
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