矩阵秩极小化问题的一种快速求解算法.pdf
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1、收稿日期:2023-04-27作者简介:崔安刚(1989),男,山东临沂人,讲师,博士,主要从事稀疏信息处理的理论与方法研究。基金项目:陕西省教育厅专项科研计划项目(21JK1008);榆林学院博士科研启动基金项目(21GK04);榆林市科技局项目(CXY-2022-91)矩阵秩极小化问题的一种快速求解算法崔安刚,杨 宏(榆林学院 数学与统计学院,陕西 榆林 719000)摘 要:迭代硬阈值算法是求解矩阵秩极小化问题的一个非常有效的经典方法。但是在噪声情形下,迭代硬阈值算法往往具有较慢的收敛速度。为了有效地解决这一问题,本文设计了一种快求解矩阵秩极小化问题的快速迭代硬阈值算法。该快速算法能够在
2、噪声情形下快速的重构低秩矩阵。仿真实验表明了所提算法的有效性。关键词:矩阵秩极小化问题;迭代硬阈值算法;快速迭代硬阈值算法中图分类号:O29 文献标志码:A 文章编号:1008-3871(2023)05-0054-03DOI:10.16752/ki.jylu.2023.05.013 近年来,矩阵秩极小化问题受到了很多来自于不同领域研究者的广泛关注。它已经被广泛地应用于系统识别与控制、人脸识别、图像处理等领域。在数学上,矩阵秩极小化问题可以表示为如下矩阵优化问题1-3:minxRmnrank(X)s.t.A(X)=b(1)其中 bRp,A RmnRP是一个仿射变换映射,p(mn)表示采样数。不失
3、一般性,本文假设 mn.迭 代 硬 阈 值(Iterative Hard Thresholding,IHT3)算法是求解矩阵秩极小化问题(1)的一个非常有效的经典方法。但是 IHT 算法对噪声非常敏感,在噪声情形下往往具有较慢的收敛速度。因此设计一种可以快速求解无约束矩阵秩极小化问题(1)的快速算法是一个值得研究的问题。本文将在 IHT 算法的基础之上设计一种快速求解矩阵秩极小化问题(1)的迭代阈值算法,使其具有收敛速度快的特点。1 预备知识定义 13 给定矩阵 YRmn,考虑其奇异值分解Y=UDiag(),0VT,其中 U 和 V 分别是 mn 和 nn 的正交矩阵,=(1,2,m)T表示矩
4、阵 Y 的按从大到小排列的奇异值向量。对于给定的正整数r(1rm),定义矩阵硬阈值算子 Hr RmnRmn为:Hr(X)=UDiag(Hr(),0VT,其中 Hr()表示硬阈值算子,它的作用是只保留 中前 r 个大的元素,其余元素设置为 0。2 快速迭代硬阈值算法求解矩阵秩极小化问题(1)的 IHT 算法可以描述为:初始化 X0Rmn,k=1,Xk=Hr(B(Xk-1),(2)其中 B(Xk-1)=Xk-1+A(b-A(Xk-1),A表示 A 的伴随算子。为了加速 IHT 算法,本文借鉴文献4中的加速技巧,将 IHT 算法修正为:初始化 X0Rmn,Y1=X0,k=1,Xk=Hr(B(Yk)t
5、k+1=p+q+t2k2Yk+1=Xk+(tk-1tk+1)(Xk-Xk-1)(3)其中 p,q0,(0,4,t1=1。本文将修正 IHT 算法(3)称为快速迭代硬阈值(Fast Iterative Hard Thresholding,FIHT)算法。FIHT 算法的优点是它可以通过控制参数 p,q,的取值,使其具有较快的收敛速度。3 数值实验本节将通过数值实验来验证 FIHT 算法的有效性。本实验考虑将 FIHT 算法应用到随机低秩矩阵补全和低秩灰度图像补全问题中,并和 IHT 算法作2023 年 9 月第 33 卷 第 5 期榆 林 学 院 学 报JOURNAL OF YULIN UNIV
6、ERSITYSep.2023Vol.33 No.5比较。算法的停机准则定义为:Xk-Xk-12Xk-1210-8,或者最大迭代步数 3000。利用相对误差RE=Xopt-X2X2来评估算法所产生的最优解 Xopt,其中 X表示真实的低秩矩阵。给定采样率 sr(0,1,采样数 p 可以通过 Matlab 命令 p=round(srmn)确定。在FIHT 算法中,设定 p=0.1,q=50,=4。3.1 随机低秩矩阵补全首先,考虑随机低秩矩阵的补全问题。为了方便起见,假设 m=n,并且生成秩为 r=30 的 nn 矩阵X=N1N2,其中 N1Rnr和 N2Rrn是两个高斯随机矩阵。对于有噪声的情形
7、,假设 X被随机噪声E 所污染,其中 ERmn表示高斯随机矩阵,0表示噪声水平。表 1 展示了在无噪声情形下采样数为 sr=0.45时 IHT 算法与 FIHT 算法重构随机低秩矩阵的数值结果比较。表 2 展示了在有噪声情形下采样数为 sr=0.45 时 IHT 算法与 FIHT 算法重构随机低秩矩阵的数值结果比较,在实验中,噪声强度 设定为 0.005。结果显示,无论是在无噪声情形下还是在有噪声情形下,FIHT 算法在保证重构精度的同时,算法的收敛速度也明显快于 IHT 算法。表 1 无噪声情形下 IHT 算法与 FIHT 算法重构随机低秩矩阵的数值结果比较XIHTFIHTnRETime(s
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