关于实用离散随机变量和犹豫模糊集的注.pdf
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1、兰州大学学报(自然科学版),2 0 2 3,59(3)6 月Journal of Lanzhou University(Natural Sciences),2023,59(3)/June关于实用离散随机变量和犹豫模糊集的注吴义霞,李生刚,张丽丽1.陕西师范大学数学与统计学院,西安7 10 0 6 22.西安工业大学新生学院,西安7 10 0 2 1摘要:例示格论在概念修补和刻画中的一种应用,给出了基于实数集上的通常序的2-型模糊集的定义,定义了实用离散随机变量,研究其序方面(包括实用离散随机变量的直观模糊集表示),给出了与偏序关系关联的犹豫模糊集的定义;研究其序方面(包括犹豫模糊集的运算以及犹
2、豫模糊集的软集表示或2-型模糊集表示),构造了具有一定启发性的例子。关键词:格;2-型模糊集;实用离散随机变量;犹豫模糊集;合情推理中图分类号:0 159文献标识码:A文章编号:0 455-2 0 59(2 0 2 3)0 3-0 42 2-0 5DOI:10.13885/j.issn.0455-2059.2023.03.018Remarks on practical discrete random variables and hesitant fuzzy setsWUYi-xia,LI Sheng-gang,ZHANG Li-li?1.College of Mathematics and S
3、tatistics,Shaanxi Normal University,Xian 710062,China2.School of Freshman,Xian Technological University,Xian 710021,ChinaAbstract:This study exemplified an application of the lattice theory in concept amend and characterizing.The notion of type-2 fuzzy set was redefined relying on the ordinary order
4、 on the real number set.The no-tion of practical discrete random variable was defined and their order aspects,including intuitive repre-sentations of practical discrete random variables by using fuzzy sets,were studied;the notion of hesitantfuzzy set pertinent to the notion of partial order was rede
5、fined and their order aspects,including opera-tions and representations of hesitant fuzzy sets by using soft sets or type-2 fuzzy sets,were studied.Somerelated examples which were illuminating in a degree were also constructed.Key words:lattice;type-2 fuzzy set;practical discrete random variable;hes
6、itant fuzzy set;plausible infer-enceAMSSubjectClassifications(2010):06D72数学中软集1-2、犹豫模糊集 3、2-型模糊集 4理论中的某些概念(如子集、交、并运算)的定义还不够严密,由于用到这些概念的实际问题还在不断被发现,这些概念已经在短期内成为应用数学领域研究的热点 5-14.本研究将这些概念视为格论5的应用部分进行修补.先给出基于实数集上的通常序的2-型模糊集的定义,在此基础上定义了与偏序关系关联的犹豫模糊集并研究了其序方面(包括犹豫模糊集的运算以及犹豫模糊集的软集表示或2-型模糊集表示),同时构造了一些有启发性的例子
7、.在此过程中,基于合情推理的思想方法(主要是类比方法和关系-映射-反收稿日期:2 0 2 2-0 5-0 9修回日期:2 0 2 2-10-16基金项目:国家自然科学基金项目(117 7 12 6 3);中央高校基本科研业务费专项资金项目(GK202105007);陕西省重点研发计划项目(2 0 2 1GY-137);陕西师范大学2 0 2 3年度教学改革研究项目(2 3JG45作者简介:李生刚(1959-),男,陕西神木人,教授,博士,e-mail:,研究方向为合情推理及应用,通信联系人,423吴义霞,等:关于实用离散随机变量和犹豫模糊集的注演原则)16,发现2-型模糊集的某些部分可以用作实
8、际问题中遇到的离散随机变量(实用离散随机变量)的直观表述7本研究涉及的基本概念:称每个映射A:X 一0,1为X上的模糊集 且称每个映射A:X0,10.1为X上的2-型模糊集,这里 0,110 (简记为I)为从0,1到 0,1的映射(即 0,1上的模糊集)的全体;X上的2-型模糊集的全体记作(X).若用 表示 0,110.1上的由闭区间 0,1上的通常序诱导的点式序 15且用表示(M)上的由 诱导的点式序,则(X)上的子集、交、并运算的定义就可以依赖顺理成章地得到(A,B)C(X):若AB,则称A是B的子集;称(sA,B)在(X),)中的下确界 15)AB为A和B的交,称(A,B)在(&(X),
9、)中的上确界15)AVB为A和B的并.1实用离散随机变量欲给出随机变量的严格数学定义就必须先有一个概率空间(X,F,P),其中X是样本集,FC2x(即X的子集的全体)是一个-代数,P是F上的概率测度.教科书中的随机变量和其离散型、连续型的实例并未给出其中的随机变量是定义在哪一个概率空间上的,实际问题中的“随机变量”与随机变量的严格数学定义似乎并不一致.2-型模糊集是特殊的L-集(即L取为特殊格I时的L-集).利用格I的这种特殊性并且基于合情推理的方法,对实用离散随机变量给出直观地描述(定义或表示).步骤1考虑抛硬币概型,即将所涉及问题特殊化16.该问题对应的随机变量可视为概率空间(X,F,P)
10、上的可测函数:XR(R为实数集),其中X=(x,)为2 元素集合,F=2(也是由X的子集组成的包含集族(1),2 )的最小代数 18),P是F上的满足P(x)=P(y)=0.5 的测度)步骤2 氵汇集离散随机变量的例子可知,它们可被视为某个概率空间(X,F,P)上的可测函数:XR,其中X为可数集(其基数或势|X|满足|X0(VxEX)和xexP(x)=1 的测度.步骤3由于实际问题中遇到的离散随机变量如步骤2,其中的可测函数可被视为实用离散随机变量的定义步骤4为了与2-型模糊集相互联系并考虑样本空间更复杂的情形,将X视为 0,1在满足三(I)=(x(k-1,2,)的映射:0,1X下的像,其中X
11、=x1,x2,)(元素互异),I,=0,a,)U(1),1,=ai,a2)(aa2),I,=a2,a,)(a,a,),.,0,1=I,UI,UUI.U.由此得到定义1和定理1.定义1设(X,F,P)是满足X0,1=的概率空间,:XR是映射.若的值域(X)=(x)xeX)是可数集且=满足(y)=xEXl(x)=y)eF(Vy(X),则称是(X,F,P)上的一个实用离散随机变量.用S(X,F,P)表示(X,F,P)上的实用离散随机变量的全体,用表示S(X,F,P)上的由R上的通常序诱导的点式序.定理1I(S(X,F,P),)是一个格;II 设h:(-8,+o)(0,1)是保序的一一对应,P,是B(
12、实数集(-0,+)的所有的波莱尔可测子集(18-2 0)的族)上的测度.对每个=S(X,F,P),存在满射:0,1X和模糊集F,(S)=I,由此得到映射F;:(S(X,F,P),)(I,),满足i)对于每个xeX,(x)=F;()(s)(VsE三()成立;ii)P=(v)=P,F,()(h(y)(Vye(M);ii)的数学期望为(如果存在)E=/h-lF,()(s)ds,从而的方差为(如果存在)2D=h-loF()(s)ds-h-lF;()(s)ds00iv)F,是保序的单射(即同构嵌人 5).证明I 设(Si,)CS(X,F,P).定义三:X(-00,+00)具体为三(x)=min(5(x)
13、,(x)(VxeX),:XR具体为(x)=max(S,)(Vx e X),则三(X)(X)+(X)+%=x.对于每个E三(X),存在xeX使得y=min(5i(x),2(x).由于(1,)CS(X,F,P),i5;(x)eF且2 ,(x)eF,从而有兰(y)=(y)U(y)EF.说明eS(X,F,P),从而三=2是(51,2)在(S(X,F,P),)中的下确界(或交).同理可证S(X,F,P)且=,V,是(,)在(S(X,F,P),)中的上确界(或并).所以(S(X,F,P),)是一个格.设0 (X)卜m以下分两种情形.情形1m%。.此时可设(X)=(yi,ym)(/y.ym).先定义满射三
14、0,1X使得(I)=s(v)(k=1,2,m),其中1,=0,P,(y,)424兰州大学学报(自然科学版),2 0 2 3,59(3)I,=(P,s(y1),P,(y1)+P,3(y2)1,=(P,3(y)+P,3(y2),P,3(y)+P,s(y2)+P,“(y,),Im=-(P,(y)+P,(y2)+.+P,5(ym-),1构成了 0,1的一个划分,即 0,1=I,UI,UIm.定义模糊集F,()=I并使其满足F,()(I)=(h(y)(k=1,2,m).不难验证F,()和三兰满足条件i)iv).情形2m=%。此时由良序原则(或定理)9)可设(W)=(Vi,y2,m,),这里y*y,(it
15、i).先定义满射:0,1X,使得三(I)=(v)(k=1,2,3),其中I,-0,P,3(y,)U(1),1,=(P,(y),P,s(y)+P,s(y2)1,=(P,=(y/)+P,(y2),P,(y)+P,s(y,)+P,“(y,)Im=(P,3(v)+P,3(v2)+.+P,(Vm-1),P,s(y)+P,s(y.)+.+P.s(ym),.构成了 0,1的-个划分,即 0,1=I,UI,U.UI,mm-1U.定义模糊集F,()EI并使其满足F()(I)=h(y)(k=1,2,).不难验证F,()和兰满足条件i)iv).注1定理1表明,如果不过分地计较样本空间X中的元素,则对每个实用离散随机
16、变量eS(X,F,P),可以将直观易懂的函数h-F()与同一化,尤其是当(X)有限时.这样就可将每个点的隶属度为实用离散随机变量的2-型模糊集称为实用离散随机变量值2-型模糊集(简称实用离散2-型模糊集).基于同一思路与技术,也可以将模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集、图片模糊集视为实用离散2-型模糊集.例1考虑掷新型殷子试验,设殷子为均匀的正四面体(每个面分别标记为1、2、3、4),一次试验的结果为靠地的那个面的标记.因此其基本事件空间为X=(1,2,3,4).定义映射:X(-0,+)具体为(x)=x(VxeX).则可得X的一个划分X=(1)U(2)U(3)U(4).设F=2,P:F0,1 是
17、满足P()=0 和 P(n)-(n=1,2,3,4)的映射,则 P是概率测度,eS(X,F,P).令 I,=1=I,UI,UI,UI4.定义满射:0,1X使得(I,)=(n)(n=1,2,3,4);定义一一对应 h:(-0,+0)(0,1)具体为h(y)=(arctany+元).最后定义F()EI儿元2具体为F,()(I)=(h(n)(n=1,2,3,4).易见F;()单调递增。例2 考虑。重伯努利试验,其基本事件空间为X=0,1)(即从N到(0,1)的映射的全体,其中N为正整数集,%是N的基数).定义映射XNU(0)具体为(f)=0(f=X是在N上取常值0 的映射),(f)=neN,f(n)
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