对数艾拉姆咖分布参数的E-Bayes估计.pdf
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1、收稿日期:2023-05-22基金项目:山西省高等学校教学改革创新项目(J20220943).作者简介:常帅,山西大同人,太原师范学院数学与统计学院讲师(山西 晋中 030619).常 帅:对数艾拉姆咖分布参数的E-Bayes估计2023 年第 8 期第 44 卷总第 341 期学 报对数艾拉姆咖分布参数的 E-Bayes 估计常帅摘要:基于参数 E-Bayes 估计的定义,在平方损失、Linex 损失、MLinex 损失等不同损失函数下,分别给出了对数艾拉姆咖分布参数的 E-Bayes 估计表达式.借助 Monte-Carlo 模拟,讨论了所提出估计的表现.最后,通过算例分析,表明所提出的估
2、计方法是可行的.关键词:对数艾拉姆咖分布;损失函数;E-Bayes 估计;Monte-Carlo 模拟中图分类号:O211.8文献标志码:A文章编号:1008-7974(2023)08-0026-06DOI:10.13877/22-1284.2023.08.005基于艾拉姆咖分布,文献 1 提出了一类新的分布,称为对数艾拉姆咖分布,讨论了该分布的若干性质,并且在全样本情形下研究了该分布的参数估计问题.然而在贝叶斯理论框架下,对数艾拉姆咖分布的研究还未涉及.贝叶斯统计推断依赖于先验分布与损失函数.先验分布往往依赖于未知的超参数,处理的方法有多层贝叶斯方法2-3和 E-Bayes 方法4-5,多层
3、贝叶斯方法涉及到较为复杂的积分计算,应用上不太方便,而 E-Bayes 方法表达简单,便于应用6-8.损失函数在贝叶斯统计推断中也很重要,通常分为对称损失函数和非对称损失函数.常见的损失函数有平方损失函数、加权平方损失函数、Linex 损失函数、熵损失函数、MLinex 损失函数等9-11.在此基础上,本文主要研究给定参数先验分布为伽玛分布,在三种损失函数(包括平方损失函数、Linex 损失函数和 MLinex 损失函数)情形下对数艾拉姆咖分布参数的 E-Bayes 估计问题,并通过数值模拟考察所提出估计的表现.假设随机变量X服从于对数艾拉姆咖分布,其分布函数与密度函数分别为:F(x)=1-(
4、1+lnx)x-,x 1,0,p(x)=2lnx x-1,x 1,0,其中:为形状参数.1参数的 Bayes 估计假设总体X服从于对数艾拉姆咖分布,X=(X1,Xn)是来自总体X的一个样本容量为n的简单随机样本,x=(x1,xn)为样本的 26常 帅:对数艾拉姆咖分布参数的E-Bayes估计一组观测值,由此可得似然函数为:L(|x)=i=1n(2lnxi x-1i)=2ni=1nlnxii=1nx-1i=e-ti=1nlnxi 2ne-t 2ne-t,其中:t=i=1nlnxi.在贝叶斯统计理论中,贝叶斯估计依赖于损失函数与先验分布,本文主要考虑如下损失函数,记为的估计.(a)平方损失函数:L
5、(,)=(-)2.(b)Linex损失函数:L(,)=ev(-)-v(-)-1,v 0.(c)MLinex损失函数:L(,)=(/)c-cln(/)-1,0,c 0.特别地,当=1时,MLinex 损失函数为熵损失函数.此外,假定参数的先验分布为伽玛分布Ga(,),其密度函数为:(|,)=()-1e-,0,(1)其中:0,0为超参数.给定来自对数艾拉姆咖分布的一组样本观 测 值x=(x1,xn),利 用 贝 叶 斯 公 式 计 算可得,参数的后验分布为伽玛分布 Ga(2n+,t+),即|xGa(2n+,t+),其密度函数为:(|x,)=(t+)2n+(2n+)2n+-1e-(t+),0.(2)
6、下面在损失函数(a)(c)与先验分布为伽玛分布的情形下,讨论参数的 Bayes 估计问题.引理 1 设x=(x1,xn)是来自某总体的一组样本观测值,为总体的未知参数,则在不同损失函数,以及任何先验分布下,有以下结论:(i)在平方损失函数下,的 Bayes 估计为SB=E(|x).(ii)在 Linex 损失函数下,的 Bayes 估计为LB=-1vln E(e-v|x),v 0.(iii)在 MLinex 损失函数下,的 Bayes 估计为MLB=E(-c|x)-1c,c 0.当考虑参数的先验分布为伽玛分布时,由引理 1 与式(2),容易得出如下结论.定理 1 设x=(x1,xn)是来自对数
7、艾拉姆 咖 分 布 的 一 组 样 本 观 测 值,在 损 失 函 数(a)(c)下,若参数的先验分布为伽玛分布(式(1),则参数的 Bayes 估计分别为:SB=2n+t+;LB=2n+vlnt+vt+,v 0;MLB=1t+(2n+-c)(2n+)-1c,c 0,其中:t=i=1nlnxi.由定理 1 可以发现参数的 Bayes 估计中涉及未知的超参数与,在实际问题中不便于应用.为了能够消除未知超参数,引入参数的 E-Bayes 估计.2参数的 E-Bayes 估计首先,给出参数 E-Bayes 估计的定义.定义 1 对于(a,b)D,若B(a,b)是连续的,称EB=DB(a,b)(a,b
8、)dadb(3)为参数的E-Bayes估计(expected Bayesian estimation),其中DB(a,b)(a,b)dadb是存在的,D为超参数a和b取值的集合,(a,b)是a和b在集合D上的密度函数,B(a,b)为参数的 272023 年第 8 期学 报Bayes 估计.其次,当参数的先验分布为伽玛分布时,考虑超参数的确定.根据文献 3 可知,超参数与应该选取0 1,0 d,其中d是常数,为取值的一个上界,取值不能太大.由此,可选取超参数与的先验联合密度函数为:(,)=1d,0 1,0 d.(4)最后,由定义 1,在损失函数(a)(c)下,给出参数的 E-Bayes 估计表达
9、式.定理 2 设x=(x1,xn)是来自对数艾拉姆 咖 分 布 的 一 组 样 本 观 测 值,在 损 失 函 数(a)(c)下,若参数的先验分布为伽玛分布(式(2),超参数与的先验联合密度(式(4),则参数的 E-Bayes 估计分别为:ESB=4n+12dlnt+dt,ELB=4n+12dv(t+v+d)ln(t+v+d)-(t+v)ln(t+v)-(t+d)ln(t+d)+tlnt,v 0,EMLB=1dlnt+dt01 (2n+-c)(2n+)-1cd,c 0,其中:t=i=1nlnxi.证明 在定理 2 的条件下,由定义 1 可得ESB=DSB(a,b)(a,b)dd=1d0d012
10、n+t+dd=4n+12dlnt+dt,ELB=DLB(,)dd=1d0d012n+vlnt+vt+dd=4n+12dv0dlnt+vt+d=4n+12dv(t+v+d)ln(t+v+d)-(t+v)ln(t+v)-(t+d)ln(t+d)+tlnt,EMLB=DMLB(,)dd=1d0d011t+(2n+-c)(2n+)-1cdd,=1dlnt+dt01 (2n+-c)(2n+)-1cd.注:在定理 2 中,当c=-1时,EMLB=ESB.3数值模拟为了考察参数估计的精度,取参数真值=1,样本容量为n,通过 Monte-Carlo 模拟产生服从对数艾拉姆咖分布的样本,计算N=1 000 次模
11、拟中参数估计的均值(E)与均方误差(MSE).计算公式如下:E()=1Ni=1Ni,MSE()=1Ni=1N(i-)2,其中:代表参数的点估计,i表示第i次Monte-Carlo 模拟得到的估计.在样本量n=20(20)100下,模拟比较了参数的最大似然估计(文献 1 给出)与三个E-Bayes 估计在样本均值与均方误差方面的表现(这里v=c=d=1),结果见表 1.由表 1可知:在样本均值与样本均方误差方面,三个 E-Bayes 估计表现都优于最大似然估计,其中ESB与MLE较接近,ELB与EMLB较接近,总体而言EMLB是三个 E-Bayes 估计中表现最好的(原因是d选取较合适);随着样
12、本量的增大,四种估计在样本均值与样本均方误差方面越来越接近,这也体现出估计的大样本性质;当d=1时,三个 E-Bayes 估计之间比较,EMLB优于ELB,ELB优于ESB,但随着样本量的增大,差别越来越小,也就是说损失函数对于 E-Bayes 估计的影响越来越小.三种 E-Bayes 估计都依赖于d的取值,d 28常 帅:对数艾拉姆咖分布参数的E-Bayes估计选取得合适与否,直接影响估计的表现.下面模拟当样本量分别为 20 与 100 时,d取值 0.5、1、2、3 与 4,在样本均值方面,估计的表现情况,结果见表 2 与表 3.从表中可以看出:随着d的增大,三种 E-Bayes 估计的样
13、本均值都在减小;ESB(d=3),ELB(d=2),EMLB(d=1)都与真值较接近,这也说明选取合适的d,三种 E-Bayes 估计表现都好.此外,对于估计ELB涉及到额外参数v,以及估计EMLB涉及到额外参数c,下面考虑当d取值固定(这里d=1),v、c变化时,估计的表现情况,模拟结果见表 4 与表 5.从表中可以看出:随着v(或c)的增大,ELB(或EMLB)的样本均值与样本均方误差都在减小,而样本均方误差变化较小;ELB(v=2),EMLB(c=1)与真值较接近,说明v(或c)的地位与d的地位相当,也就是说v(或c)的值也会影响 E-Bayes 估计.因此,在适当情况下,为了便于应表
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