大振幅浅水波模型的柯西问题研究.pdf
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1、该文考虑单参数族浅水波方程的柯西问题,该模型是在参数3/2中的局部适定性,这意味着初值到解的映射是存在且唯一的且连续依赖于初值该文还进一步证明了初值到解映射的这种依赖关系在此Sobolev空间中是非一致连续的,但这种依赖关系在Sobolev空间Hr(rs)中是Holder连续的,并且Holder指数依赖于s和r,同时分析了该模型只会以波裂的形式发生爆破最后,该文还研究了当初值属于加权空间L:=L P(R,d Pd a)时,方程的强解在空间变量趋于无穷远时的渐近行为.关键词:浅水波;局部适定性;非一致连续性;Holder连续;爆破;持续性.MR(2010)主题分类:35G25;35L05;35B
2、30文章编号:10 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-119 7-2 4中图分类号:0 17 5.2 9文献标识码:A1引言非线性水波理论是非线性数学物理领域中一个至关重要的研究课题,但由于非线性水波模型空间维数多、导数阶数高加之复杂的非线性项使得其难以被求解9 直到二十世纪初,水波的研究几乎只限于线性模型但是线性模型难以解释一些重要的现象,如孤立波和破裂现象9 ,于是一些非线性模型被提出来解释非线性行为,最典型的模型就是KdV方程2 6 ,它是可积的并且能描述孤立子现象,若假设与振幅相关的参数为:=,与水深相关的参数为:=,其中 ho表示平均水深,入为波长,为水波的振幅,那么Kd
3、V方程中参数的取值范围为 1,=O(82)(记号表示同阶无穷小),由此可见KdV方程是一种小振幅长波方程.收稿日期:2 0 2 2-0 7-0 8;修订日期:2 0 2 3-0 2-11E-mail:;基金项目:国家自然科学基金(119 7 10 8 2)、重庆市自然科学基金项目(csts2020jcyj-jqX0022)、重庆英才青年拔尖人才(cstc2021ycjh-bgzxm0130)、重庆市教育委员会科学技术研究项目(KJZD-M202200501,K JZ D-M201900501,K JQ N 2 0 2 0 0 0 518)和重庆市留学人员回国创业创新支持计划(cx2022029
4、)This Work is Partially Supported by the National Natural Science Foundation of China(11971082),the Natural Science Foundation of Chongqing(csts2020jcyj-jqX0022),the Chongqings YouthTalent Support Program(cstc2021ycjh-bgzxm0130),the Science and Technology Research Pro-gram of Chongqing Municipal Edu
5、cational Commission(KJZD-M202200501,KJZD-M201900501,KJQN202000518)and the Entrepreneurship and Innovation Support Plan of Chongqing for ReturnedOverseas Scholars(cx2022029)*通讯作者1198KdV方程是BBM型方程族3 中唯一完全可积的,但是KdV和BBM方程都不能模拟破裂现象,即波在运动过程中保持不变,但它的斜率却在有限时间内趋于无穷因此,一些模型被提出来捕捉这种现象,其中一个最具有代表性的模型是Camassa-Holm(
6、C H)方程,ut-Uat+Coua+3uua-2ur ura-uurar=0.(1.1)具有中等振幅的(CH)方程取与水深相关的参数5/2时出现破裂现象(见文献9 )后来,DurukMutlubas30-31将该结果推广到Sobolev空间H(R),s3/2,而Mi和Mu将此适定性的结果推广到了Besov空间2 9 在文献2 8,4 0 中,作者研究了(CL)方程弱解在 Sobolev空间 Hs(R),1s3/2中,Fan和Yan进一步将相应结果推广到Besov空间中14 .同时,在文献4 1 中,Zhou证明了方程(1.2)在Beov空间B/(R),1p,r+0,smax(1+号)中是局部
7、适定的,Fan和 Yanl4i将结果推广到了B2/(R)空间中在文献12 中,作者证明了(1.2)的弱解在索伯列夫空间Hs(R),1s3/2中的存在性,并讨论在加权空间 L=LP(R,dPda)中强解的持续性。在文献14,35 中给出了方程(1.2)的爆破准则,在文献16-17,2 7 中给出了它的行波解.数学物理学报3452Vol.43A782Ed2(2nanaa+nmaaa)6(1.2)No.4另一方面,Quirchmayr35还从Euler方程出发,取参数S0。手是一定存在一个coE(0,-1)使得g(co)=0.因此方程(1.3)可转化为(1-2)(ut+a1 ua+a2u2 us)=
8、biua+baua as+bsu ua+byuua+bsu us或等价形式其中f(u,ua)=(1-o2)-1or(biu?+bzu3+b3u4+b4u5+bsu+bau+bru?+bsua)+bo(1-02)-1ug.定理1.1假设初值uo E Hs(R),s3/2.则存在T0,使得方程(1.4)有唯一解u(a,t)u=u(-,uo)E C(0,T);Hs(R)nCl(0,T);Hs-1(R).进一步,解到初值的映射 uou(,o)从初值属于Hs(R)映到解空间C(0,T);H(R)nCI(0,T);Hs-1(R)是连续的.接下来,我们证明方程(1.4)的解只会以波裂的形式产生奇性.蔡森林等
9、:大振幅浅水波模型的柯西问题研究33nma+S2(anraa-naat)28215m52561e2s2(emamea+fm2 ma+gma),32E R,t=0.+bouua+bruaua+bgu2ua+bgui,t+(aiu+azu)ur=f(u,ua),a E R,t 0,(u(r,0)=uo(c),ER,t=0,119933316m),ER,t0,(1.3)(1.4)(1.5)1200定理1.2 假设初值uo EH(R),s3/2.令T是方程(1.4)关于初值uo的解u的最大存在时间则该方程的解在有限的时间内发生爆破当且仅当lim_ supllua(t,l L=0.tT接下来证明方程(1
10、.4)的解是非一致连续的与(CH)型方程的特征相比较,上面的目标方程(1.4)的特征是a1u+a2u,而(CH)型方程的特征是线性的于是本文在近似解的估计的时候使用更复杂的高频与低频(见下面的(3.7)式)然后,使用常用的索伯列夫空间中的插值定理和交换子估计,类似于文献2 1 中处理近似解的技巧,我们在C(0,T;H(R)中选取两个适当的解序列u1,(t)和uo,(t)使得Ilu1,(t)s(R)+Iluo,(t)Hs(R)1,lim Ilui,(0)-uo,(O)|H(R)=0,然而,对于任意的时间t满足0 3/2,则方程(1.4)的解的映射uo()u(t)在任何有界集H(R)到 C(0,T
11、);H(R))C(0,T);Hs-1(R)是非一致连续的.定理1.1告诉我们方程(1.4)在索伯列夫空间H(R),83/2中是适定的,然而,定理1.3表明方程(1.4)的解是非一致连续的接下来,我们证明方程(1.4)解的映射在索伯列夫空间中是Holder连续的.定理1.4 假设s3/2且0 rs 3/2,0 r 2-s);S-T(s-T,(s,r)E A3=(s,r):s 3/2,s-1 r s).最大时间T和常数C仅依赖于s,r和p.受最近关于(CL)方程在加权索伯列夫空间的研究工作4 3】的启发,该文将得到方程(1.4)在加权空间L中的持续性也就是说,将找到一大类权函数,使得它可以帮助我们
12、得到关于方程(1.4)的解到加权空间L:=LP(R,dPda)的持续性通过对不同权函数的选取可从持续性的结果中获得解关于空间变量的渐近行为我们的结果推广了数学物理学报入ait+a2-1tsin2I(t)-(t)Il Hr C I o-Vo IIHr,(s,r)A1=(s,r):s 3/2,0rs-1,r+s 2);sup(lu(t)ollLp+Ilua(t)ll Lp)00,tE0,T)Vol.43A0 0,dc3/2且1po0.对于柯西问题(1.4),令EC(0,T,H(R)是如下初值对应的强解,o,u o,a ELP(R),其中表示柯西问题(1.4)可容许权函数。则对任意的tE0,T,下面
13、的估计式成立Ilu(t)oll Lp+lur(t)ol Lp (lluol Lp+Ilbuo,ll p)exp C(1+M)t),其中C0为实常数,只依赖于w和.另外,在估计式中M记做M=sup,(lu(t)L+Ilua(t)/L)o0.tE0,T如果选取标准权函数=a,b.a(a)=ealal(1 lel)og(e+lal),其中0,c,d R,0b1,ab1.那么限制条件ab0,选取p=0.那么定理1.5给出了如下推论结果:当时,如下的一致代数衰减成立,其中C依赖于初值uo,uo和解的最大存在时间T.(2)当0 时,取=a,1,0,0,其中0 1;当0 时,取(a)=1.可以验证此权函数满
14、足定义1.1中的容许条件取p=80,可以得到柯西问题(1.4)的点态衰减:如若初值满足条件则对于t E0,T,解也满足此衰减估计类似的,可以得到一 的衰减。显然,=1,1,c,d这种情况未包含在定理1.5中在下面的推论中,我们取权函数=1,1,c,d,其中 0,dR且 0,inf 0和 ve-l LP(R),(c)Ald(ac)/几乎处处成立。假设初值满足uop,(0auo)p E LP(R)和 uo2,(0auo)g L2(R).那么方程(1.4)在初值条件uo下的强解u满足sup,(llu(t)llLp+Ilu(t)l Lp)00tE0,T和sup(lu(t)=/2+a(t)=/z2)3/
15、2中是非一致连续的并且证明了定理1.3.在第4 节,我们证明了方程(1.4)初值到解映射在索伯列夫空间中是Holder连续的,并且证明了方程(1.4)解的持续性.数学物理学报|u(r,t)+ua(a,t)|Ce-lelVol.43A1/20,f(c)cg().No.4我们还需要用到以下引理,第一个引理可以在文献2 1 和32 中找到.引理2.1如果r0,则HrnL是一个代数此外(i)若r 0,则I fg lHrCr(ll f ILll g IHr+II g lLl f/Hr);(ii)若 r 1/2,则I fgl/Hr-1Cr Il f I/Hrl gl/Hr-1;(ii)若0 r1,s3/2
16、,r+s2,则Il fg lHr-1 Cr,s ll f IlHs-1ll g llHr-1.这里的第二条是Calderon-Coifman-Meyer型交换子估计.引理2.2(文献2 0,引理1))如果A,g=(fg)-fAg且=(1-2),则下面的交换子估计成立(i)若r 0,则II A,fl l/L2 cr(l f I/Lll A-Ig Il L2+II Af IIL2ll g IL);(i)若r+10,s3/2,r+1s,则引理 2.32 3 假设 0 1 0使得Il a(t,a)Il L(R)+Il u(t,a)Il L(R)M,t E 0,T),则方程(1.4)的解u(t,)的H范
17、数在0,T)不会爆破.证设 u是方程(1.4)关于初值 uo E H(R),s 3/2 的解并且 T0是解的最大存在时间用算子作用于方程(1.4),乘以u,并且在R上进行积分,可以得到ddtIl ll/r=-2a2(ua,u)。-2 a 3(u z 2 u a,)。+2(u,f i(u)。+2(u,f 2(u)s,其中fi(u)=O(1-02)-1(biu?+b2u3+b3u4+byu5+bsu6+beu?+bru?+bsuuz),/(u)=b(1-02)1uag.蔡森林等:大振幅浅水波模型的柯西问题研究I AOa,fgl/L2Cr,sll f IlHll g lHr IfHoIIf02-01
18、01IHa211203(2.1)1204首先,我们估计方程(2.1)右边第一项.(uur,u)s/=(As(uoru),Au)ol=(A,uOru,Au)o+(uAOru,Au)olIA,0aullL l/Aul/L2+(uAu,A)ol CIluallL(R)ll/re.其中用到了引理2.2(i).其次,我们运用同样的方法来估计方程(2.1)右边第二项得到(u,)s/=(A(u2),A)ol=(A,2ou,A)o+(u?Au,A)ol接下来,我们估计方程(2.1)的下一项得到I(fi(u),u)s|=Afi(u),Asu)ol I/Afi(u)IlL2l/Aul/L2+bsus+bau7+b
19、ru?+bgwu)l/lllHsi?+w+u+ill1llHCllul/(l l L+I l/2+Ilu/+Iu/+lull/+lull/+ual L+Ilul Lll al L),其中用到了Ilulls=Il l L 2.最后,我们估计方程(2.1)右边最后一项.I(f2(u),u)s/=A f2(u),Au)ol /A f2(u)l L2l/Aul L2这里我们取r=81,即运用到了引理2.1(i).结合(2.3)-(2.5)和(2.1)式可以得出数学物理学报II L(R)C/A0s(1-02)-1(b1u?+b2u3+b3u+b4u5CI/A(1-2)-1ual lll sdVol.43
20、A(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)利用Gronwall不等式可以得出Ilu(t)lH IlullHa exp(C(M+M?+M3+M4+M5+M)t).这就完成了定理的证明证明完毕。接下来给出定理1.2 的证明定理1.2 的证明利用定理1.1,令u是方程(1.4)关于初值uoEH,s3/2的解并且T0是解的最大存在时间回顾方程(1.4)可以写成以下形式2ut+uaaaa-uaatuu+2151ce(cuauaa+duuaar)12824271?e(eua ua+fui aa+guli).山51232(2.6)13e032180212563316(2.7)No.4用u去乘以(2.7)式并
21、且分部积分可以得到1 d2dtR显然,如果对于(t,)0,T)R,这里存在一个 M0使得 ualL0使得对于((t,c)E0,T)R有 IlualL3/2且初值 o()EH(R).T*是方程(1.4)的最大存在时间,且 T*满足T*To:=min其中C是仅依赖于s,lel,ll的常数另外,我们有证令u是方程(1.4)关于初值uo E H,s3/2的解,这里的T是关于解的最大存在时间如果uE H,则EHs-1,接下来我们考虑如下系统(J,u)t=-aiJ,(uur)-a2J,(uua)+Jsf(u,ur),其中E(0,1),算子J,被定义为其中j()=()且在-1,1)中,(c)是一个函数,使得
22、(a)0,J()d=1.用算子AJsu去乘以(1.4)式,然后,对结果方程在ER上积分,得到1 dI J,ul/。=-a 12dt/RAJ,uAJsf(u,ua)da.JR接下来,我们估计(3.4)式的右边.1(6C(1+Il uol/H)6 Il u(t)IlH2 Il o lHs,0t To.Jsf(c)=J(f)()=js*f,AJ,uAJ,(uua)da-a2R(1+2 l uo I/)-(1+Il o I/e)/6C(1+Il uo I/Hs)6AJ,uAJ,(u?ua)da(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)No.4对于(3.4)式右边第一项我们可以得到AJ,uAJ.(uua)
23、de=(A,ulua,J,AJ,u)o+(uAua,J.AJ,u)o.R利用引理 2.2(i)可得I(A,ujua,J,AJu)ol IlAs,ulua llL ll JsAJu l/L?其中我们用到了IlllHs=IllL2.对于(3.5)右边第二项,使用分部积分可以得到I(uAua,J,AsJ,u)ol=蔡森林等:大振幅浅水波模型的柯西问题研究C(ll u lHll u llL+I Oa lLllOru lH8-1)Il u llHsC ll al/Lll l/re,uAJ,uaAJ,u)da=2R1207(3.5)uoa(AsJ,u)?dc/R因此,我们有AJ,uAJ.(ua)daC l
24、l uallLoll l/i.R用相同的方法处理(3.4)式右边第二项我们可以得到AJsuAJ,(u?ua)de=(A,ujus,J,AJ,u)o+(u?Auar,J,AJu)o/R ll l/ll al/Lll/i.对于(3.4)式的非线性项可以得到AJsuAJ,f(u,a)daClAJ,f(u,a)l/lI AJ,llL2JRCJ(u?+w+u+7+u+2)lH-1ll lI+ulHo-ll lIHaC(/+I/A+/+/+l l/+l/.),其中第一个不等式我们运用了Holder不等式,第三个不等式我们运用了引理2.1(i).将以上不等式整合到(3.4)式我们可以得到以下不等式1 d其中
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