大振幅浅水波模型的柯西问题研究.pdf

该文考虑单参数族浅水波方程的柯西问题，该模型是在参数3/2中的局部适定性，这意味着初值到解的映射是存在且唯一的且连续依赖于初值该文还进一步证明了初值到解映射的这种依赖关系在此Sobolev空间中是非一致连续的，但这种依赖关系在Sobolev空间Hr(rs）中是Holder连续的，并且Holder指数依赖于s和r，同时分析了该模型只会以波裂的形式发生爆破最后，该文还研究了当初值属于加权空间L：=L P(R，d Pd a）时，方程的强解在空间变量趋于无穷远时的渐近行为.关键词：浅水波；局部适定性；非一致连续性；Holder连续；爆破；持续性.MR(2010）主题分类：35G25;35L05;35B30文章编号：10 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-119 7-2 4中图分类号：0 17 5.2 9文献标识码：A1引言非线性水波理论是非线性数学物理领域中一个至关重要的研究课题，但由于非线性水波模型空间维数多、导数阶数高加之复杂的非线性项使得其难以被求解9 直到二十世纪初，水波的研究几乎只限于线性模型但是线性模型难以解释一些重要的现象，如孤立波和破裂现象9 ，于是一些非线性模型被提出来解释非线性行为，最典型的模型就是KdV方程2 6 ,它是可积的并且能描述孤立子现象，若假设与振幅相关的参数为:=，与水深相关的参数为：=，其中 ho表示平均水深，入为波长，为水波的振幅，那么KdV方程中参数的取值范围为 1,=O(82）（记号表示同阶无穷小)，由此可见KdV方程是一种小振幅长波方程.收稿日期：2 0 2 2-0 7-0 8；修订日期：2 0 2 3-0 2-11E-mail:;基金项目：国家自然科学基金（119 7 10 8 2)、重庆市自然科学基金项目（csts2020jcyj-jqX0022)、重庆英才青年拔尖人才（cstc2021ycjh-bgzxm0130)、重庆市教育委员会科学技术研究项目（KJZD-M202200501，K JZ D-M201900501，K JQ N 2 0 2 0 0 0 518）和重庆市留学人员回国创业创新支持计划（cx2022029）This Work is Partially Supported by the National Natural Science Foundation of China(11971082),the Natural Science Foundation of Chongqing(csts2020jcyj-jqX0022),the Chongqings YouthTalent Support Program(cstc2021ycjh-bgzxm0130),the Science and Technology Research Pro-gram of Chongqing Municipal Educational Commission(KJZD-M202200501,KJZD-M201900501,KJQN202000518)and the Entrepreneurship and Innovation Support Plan of Chongqing for ReturnedOverseas Scholars(cx2022029)*通讯作者1198KdV方程是BBM型方程族3 中唯一完全可积的，但是KdV和BBM方程都不能模拟破裂现象，即波在运动过程中保持不变，但它的斜率却在有限时间内趋于无穷因此，一些模型被提出来捕捉这种现象，其中一个最具有代表性的模型是Camassa-Holm（C H)方程，ut-Uat+Coua+3uua-2ur ura-uurar=0.(1.1)具有中等振幅的（CH)方程取与水深相关的参数5/2时出现破裂现象（见文献9 )后来，DurukMutlubas30-31将该结果推广到Sobolev空间H(R),s3/2，而Mi和Mu将此适定性的结果推广到了Besov空间2 9 在文献2 8，4 0 中，作者研究了(CL)方程弱解在 Sobolev空间 Hs(R),1s3/2中，Fan和Yan进一步将相应结果推广到Besov空间中14 .同时，在文献4 1 中，Zhou证明了方程(1.2)在Beov空间B/(R),1p,r+0,smax(1+号)中是局部适定的，Fan和 Yanl4i将结果推广到了B2/(R)空间中在文献12 中，作者证明了（1.2)的弱解在索伯列夫空间Hs(R),1s3/2中的存在性，并讨论在加权空间 L=LP(R,dPda)中强解的持续性。在文献14，35 中给出了方程（1.2)的爆破准则，在文献16-17,2 7 中给出了它的行波解.数学物理学报3452Vol.43A782Ed2(2nanaa+nmaaa)6(1.2)No.4另一方面，Quirchmayr35还从Euler方程出发，取参数S0。手是一定存在一个coE(0,-1)使得g(co)=0.因此方程(1.3)可转化为(1-2)(ut+a1 ua+a2u2 us)=biua+baua as+bsu ua+byuua+bsu us或等价形式其中f(u,ua)=(1-o2)-1or(biu?+bzu3+b3u4+b4u5+bsu+bau+bru?+bsua)+bo(1-02)-1ug.定理1.1假设初值uo E Hs(R),s3/2.则存在T0,使得方程(1.4)有唯一解u(a,t)u=u(-,uo)E C(0,T);Hs(R)nCl(0,T);Hs-1(R).进一步，解到初值的映射 uou(,o）从初值属于Hs(R）映到解空间C(0,T);H(R)nCI(0,T);Hs-1(R)是连续的.接下来，我们证明方程（1.4）的解只会以波裂的形式产生奇性.蔡森林等：大振幅浅水波模型的柯西问题研究33nma+S2(anraa-naat)28215m52561e2s2(emamea+fm2 ma+gma),32E R,t=0.+bouua+bruaua+bgu2ua+bgui,t+(aiu+azu)ur=f(u,ua),a E R,t 0,(u(r,0)=uo(c),ER,t=0,119933316m),ER,t0,(1.3)(1.4)(1.5)1200定理1.2 假设初值uo EH(R),s3/2.令T是方程(1.4)关于初值uo的解u的最大存在时间则该方程的解在有限的时间内发生爆破当且仅当lim_ supllua(t,l L=0.tT接下来证明方程（1.4）的解是非一致连续的与（CH）型方程的特征相比较，上面的目标方程（1.4)的特征是a1u+a2u,而（CH)型方程的特征是线性的于是本文在近似解的估计的时候使用更复杂的高频与低频（见下面的（3.7）式)然后，使用常用的索伯列夫空间中的插值定理和交换子估计，类似于文献2 1 中处理近似解的技巧，我们在C(0,T;H(R)中选取两个适当的解序列u1,(t)和uo,(t)使得Ilu1,(t)s(R)+Iluo,(t)Hs(R)1,lim Ilui,(0)-uo,(O)|H(R)=0,然而，对于任意的时间t满足0 3/2,则方程(1.4)的解的映射uo(）u(t)在任何有界集H(R)到 C(0,T);H(R)）C(0,T);Hs-1(R)是非一致连续的.定理1.1告诉我们方程（1.4)在索伯列夫空间H(R),83/2中是适定的，然而，定理1.3表明方程（1.4)的解是非一致连续的接下来，我们证明方程（1.4）解的映射在索伯列夫空间中是Holder连续的.定理1.4 假设s3/2且0 rs 3/2,0 r 2-s);S-T(s-T,(s,r)E A3=(s,r):s 3/2,s-1 r s).最大时间T和常数C仅依赖于s,r和p.受最近关于（CL）方程在加权索伯列夫空间的研究工作4 3】的启发，该文将得到方程(1.4)在加权空间L中的持续性也就是说，将找到一大类权函数，使得它可以帮助我们得到关于方程（1.4)的解到加权空间L:=LP(R,dPda）的持续性通过对不同权函数的选取可从持续性的结果中获得解关于空间变量的渐近行为我们的结果推广了数学物理学报入ait+a2-1tsin2I(t)-(t)Il Hr C I o-Vo IIHr,(s,r)A1=(s,r):s 3/2,0rs-1,r+s 2);sup(lu(t)ollLp+Ilua(t)ll Lp)00,tE0,T)Vol.43A0 0,dc3/2且1po0.对于柯西问题(1.4),令EC(0,T,H(R)是如下初值对应的强解，o，u o,a ELP(R),其中表示柯西问题（1.4)可容许权函数。则对任意的tE0,T,下面的估计式成立Ilu(t)oll Lp+lur(t)ol Lp (lluol Lp+Ilbuo,ll p)exp C(1+M)t),其中C0为实常数，只依赖于w和.另外，在估计式中M记做M=sup,(lu(t)L+Ilua(t)/L)o0.tE0,T如果选取标准权函数=a,b.a(a)=ealal(1 lel)og(e+lal),其中0，c,d R,0b1,ab1.那么限制条件ab0,选取p=0.那么定理1.5给出了如下推论结果：当时，如下的一致代数衰减成立，其中C依赖于初值uo,uo和解的最大存在时间T.(2)当0 时，取=a,1,0,0,其中0 1;当0 时，取(a)=1.可以验证此权函数满足定义1.1中的容许条件取p=80，可以得到柯西问题（1.4)的点态衰减：如若初值满足条件则对于t E0,T,解也满足此衰减估计类似的，可以得到一 的衰减。显然，=1,1,c,d这种情况未包含在定理1.5中在下面的推论中，我们取权函数=1,1,c,d,其中 0,dR且 0,inf 0和 ve-l LP(R),(c)Ald(ac)/几乎处处成立。假设初值满足uop,(0auo)p E LP(R)和 uo2,(0auo)g L2(R).那么方程（1.4)在初值条件uo下的强解u满足sup,(llu(t)llLp+Ilu(t)l Lp)00tE0,T和sup(lu(t)=/2+a(t)=/z2)3/2中是非一致连续的并且证明了定理1.3.在第4 节，我们证明了方程(1.4)初值到解映射在索伯列夫空间中是Holder连续的，并且证明了方程（1.4）解的持续性.数学物理学报|u(r,t)+ua(a,t)|Ce-lelVol.43A1/20,f(c)cg().No.4我们还需要用到以下引理，第一个引理可以在文献2 1 和32 中找到.引理2.1如果r0,则HrnL是一个代数此外(i)若r 0,则I fg lHrCr(ll f ILll g IHr+II g lLl f/Hr);(ii)若 r 1/2,则I fgl/Hr-1Cr Il f I/Hrl gl/Hr-1;(ii)若0 r1,s3/2,r+s2,则Il fg lHr-1 Cr,s ll f IlHs-1ll g llHr-1.这里的第二条是Calderon-Coifman-Meyer型交换子估计.引理2.2(文献2 0,引理1)）如果A,g=(fg)-fAg且=(1-2),则下面的交换子估计成立(i)若r 0,则II A,fl l/L2 cr(l f I/Lll A-Ig Il L2+II Af IIL2ll g IL);(i)若r+10,s3/2,r+1s,则引理 2.32 3 假设 0 1 0使得Il a(t,a)Il L(R)+Il u(t,a)Il L(R)M,t E 0,T),则方程（1.4)的解u(t,）的H范数在0,T)不会爆破.证设 u是方程(1.4)关于初值 uo E H(R)，s 3/2 的解并且 T0是解的最大存在时间用算子作用于方程（1.4)，乘以u，并且在R上进行积分，可以得到ddtIl ll/r=-2a2(ua,u)。-2 a 3(u z 2 u a,)。+2(u,f i(u)。+2(u,f 2(u)s,其中fi(u)=O(1-02)-1(biu?+b2u3+b3u4+byu5+bsu6+beu?+bru?+bsuuz),/(u)=b(1-02)1uag.蔡森林等：大振幅浅水波模型的柯西问题研究I AOa,fgl/L2Cr,sll f IlHll g lHr IfHoIIf02-0101IHa211203(2.1)1204首先，我们估计方程(2.1）右边第一项.(uur,u)s/=(As(uoru),Au)ol=(A,uOru,Au)o+(uAOru,Au)olIA,0aullL l/Aul/L2+(uAu,A)ol CIluallL(R)ll/re.其中用到了引理2.2(i).其次，我们运用同样的方法来估计方程（2.1）右边第二项得到(u,)s/=(A(u2),A)ol=(A,2ou,A)o+(u?Au,A)ol接下来，我们估计方程（2.1)的下一项得到I(fi(u),u)s|=Afi(u),Asu)ol I/Afi(u)IlL2l/Aul/L2+bsus+bau7+bru?+bgwu)l/lllHsi?+w+u+ill1llHCllul/(l l L+I l/2+Ilu/+Iu/+lull/+lull/+ual L+Ilul Lll al L),其中用到了Ilulls=Il l L 2.最后，我们估计方程（2.1）右边最后一项.I(f2(u),u)s/=A f2(u),Au)ol /A f2(u)l L2l/Aul L2这里我们取r=81,即运用到了引理2.1(i).结合(2.3)-(2.5)和(2.1)式可以得出数学物理学报II L(R)C/A0s(1-02)-1(b1u?+b2u3+b3u+b4u5CI/A(1-2)-1ual lll sdVol.43A(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)利用Gronwall不等式可以得出Ilu(t)lH IlullHa exp(C(M+M?+M3+M4+M5+M)t).这就完成了定理的证明证明完毕。接下来给出定理1.2 的证明定理1.2 的证明利用定理1.1,令u是方程(1.4)关于初值uoEH,s3/2的解并且T0是解的最大存在时间回顾方程（1.4）可以写成以下形式2ut+uaaaa-uaatuu+2151ce(cuauaa+duuaar)12824271?e(eua ua+fui aa+guli).山51232(2.6)13e032180212563316(2.7)No.4用u去乘以(2.7)式并且分部积分可以得到1 d2dtR显然，如果对于(t,)0,T)R,这里存在一个 M0使得 ualL0使得对于（(t,c)E0,T)R有 IlualL3/2且初值 o()EH(R).T*是方程(1.4)的最大存在时间，且 T*满足T*To:=min其中C是仅依赖于s,lel,ll的常数另外，我们有证令u是方程（1.4)关于初值uo E H,s3/2的解，这里的T是关于解的最大存在时间如果uE H,则EHs-1,接下来我们考虑如下系统(J,u)t=-aiJ,(uur)-a2J,(uua)+Jsf(u,ur),其中E(0,1),算子J,被定义为其中j()=()且在-1,1)中，(c)是一个函数，使得(a)0,J()d=1.用算子AJsu去乘以（1.4)式，然后，对结果方程在ER上积分，得到1 dI J,ul/。=-a 12dt/RAJ,uAJsf(u,ua)da.JR接下来，我们估计(3.4)式的右边.1(6C(1+Il uol/H)6 Il u(t)IlH2 Il o lHs,0t To.Jsf(c)=J(f)()=js*f,AJ,uAJ,(uua)da-a2R(1+2 l uo I/)-(1+Il o I/e)/6C(1+Il uo I/Hs)6AJ,uAJ,(u?ua)da(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)No.4对于（3.4)式右边第一项我们可以得到AJ,uAJ.(uua)de=(A,ulua,J,AJ,u)o+(uAua,J.AJ,u)o.R利用引理 2.2(i)可得I(A,ujua,J,AJu)ol IlAs,ulua llL ll JsAJu l/L?其中我们用到了IlllHs=IllL2.对于（3.5）右边第二项，使用分部积分可以得到I(uAua,J,AsJ,u)ol=蔡森林等：大振幅浅水波模型的柯西问题研究C(ll u lHll u llL+I Oa lLllOru lH8-1)Il u llHsC ll al/Lll l/re,uAJ,uaAJ,u)da=2R1207(3.5)uoa(AsJ,u)?dc/R因此，我们有AJ,uAJ.(ua)daC ll uallLoll l/i.R用相同的方法处理(3.4)式右边第二项我们可以得到AJsuAJ,(u?ua)de=(A,ujus,J,AJ,u)o+(u?Auar,J,AJu)o/R ll l/ll al/Lll/i.对于(3.4)式的非线性项可以得到AJsuAJ,f(u,a)daClAJ,f(u,a)l/lI AJ,llL2JRCJ(u?+w+u+7+u+2)lH-1ll lI+ulHo-ll lIHaC(/+I/A+/+/+l l/+l/.),其中第一个不等式我们运用了Holder不等式，第三个不等式我们运用了引理2.1(i).将以上不等式整合到(3.4)式我们可以得到以下不等式1 d其中常数C仅依赖于,8,s.让s0且对于s3/2我们使用索伯列夫不等式可以得到求解上面不等式可以得到(1+I uo I/)6Il u(t)IH(3.6)1208其中 t 0,u(0,a)=w入-1spER,t=0,其中f(ut,Oaut)=Or(1-02)-1biur+bzu+bsut+b4ui+bsul+bau?且接下来，两个近似解序列将用于证明方程（1.4)的非一致依赖性其中因此，让我们首先研究ui和uh的性质由（3.7）所定义的高频部分满足由以下结果可以得知.引理3.1(文献2 1,引理4 ）设S(R),1 0,1)cos 入-(a1w+a2w入-1)t,1,if|a|1,0,if|2.+b7(0a ut)2+bsui(0aut)2+bg(1-02)-1(0rut)3p E Co,p(a)=1,c E suppb.w=ul+uh,I uh(t)Il H=O(1),for 入 1.sin(入+(b+Vol.43A因此方程（1.4）的解满足下面的(3.7)(3.8)w=0 or 1.(3.9)tNo.4如果用sin去代替(3.9)式中的cos，该引理同样成立.引理表明显然，方程（3.8)的零初值条件下，低频部分w=0.对于w=1时的情况，ui 的基本性质总结在下面的引理中。引理3.2(文献2 1,引理5）设w=1,03/2.并且对于任意的r0,(3.8)的解满足下面的估计式(3.10)将近似解u入=u+uh 带入方程（1.4),得到以下误差F=Otuh+aiuoruh+aiuha(uu+uh)+a2(u)2ruh+a2(uh)?(uu+uh)+2a2uuha(u+wh)-f(u,au)+f(ut,aut),这里我们应用了u是方程(3.8）的解.显然，tuh和aruh可以分别表示为tuh(ar,t)=a1u(0,a)+a2u(0,a)入1-5-sb(和此外，我们可以得到Qtuh(a,t)+a1u(a,t)oruh+au(r,t)0auh=a1(u(a,0)-u(a,t)1-8b(+a2(u(r,0)-ul(r,t)入1-1-8 b(+a1u(a,t)+a2ui(a,t)-号5-8()cos-(a1w+a2w2)-1).因此，误差可以写成如下形式其中Fi=ai(u(c,0)-u(r,t)1-1s-salF2=a2(u(c,0)-u(a,t)1-15-8bFs=a1 u(e,)+a(e,)-s()cosa-(a1w a2w-1);F4=aiuhdaul,F7=2a2uiuhoaul,Fio=-f(u,auw)+f(ut,au).蔡森林等：大振幅浅水波模型的柯西问题研究Iluh(t)Hr-s,入1,0 r1-2o-+-28-F=F1+F2+F3+.+Fio,Fs=auhauh,Fg=a2(uh)20aul,1209)sin -(aiw+a2w2-1)t5)sin入-(a1w+a2w入-1)t)cos入-(a1w+a2w2-1)t.sin -(a1w+a2w-1)t（）)sin -(a1w+a2w-1)tsin -(aiw+a2w-1)t;sin 入c-(aiw+a2w-1)t;F=2a2 uruhaauth;Fg=a2(uh)2aauh;(3.11)1210接下来，我们对误差F的H范数进行估计，这里的r1/2.我们可以得到I i llr=la(u(r,0)u(,t)1-8 b(1-5-I u(a,0)-u(a,)IHr数学物理学报)sin A-(a1w+a2w2-1)/sin -(a1w+a2w-1)lVol.43AHHr1-s+I u()-ui(t)I Hr,这里我们运用到了引理3.1和不等式(3.10).即Il Fi l/Hr1-$+II u(0)-ui(t)I Hr:接下来，我们估计Ilui(O)u i(t)I Hr.利用积分基本定理可得u(a,t)-ui(a,0)=Otui(a,T)dt.0则Il ui(c,t)-ui(c,O)lHr接下来，对于任意TE0,T,我们运用(3.8)式可得Il Otui(a,T)Il r=ll-aiuoaul-a2uQru+f(ut,Oru)lHr:对于所有r1/2,H是一个代数并且运用以下估计I a-2 f IHrIl f IlIr-1得到I Otu lHr Il ulHIl Ou lH+I IIF-ll auulHr+Il(Out)3 IHr-2+ll u?+ui+ut+ui+ul+ui+(Ou)?+u(ou)?llHr-1Il l/+l/+ul/+Il l/+Il ul/+Il l/+1-2+其中最后一个不等式运用了不等式(3.10).再运用不等式（3.13）我们可以得到因此，结合(3.12)和(3.14)式可以得到接下来，我们估计F2如下I 2 ll =ll a2(i(,0)(,)1-s b(I Fil/Hrll ui(a,t)+u(ar,)I Hr-8+r+2-2.(3.12)Il Otui(c,T)lHr dr,t E 0,1.(3.13)1 和 -2 f lHIl IlHr-2Il u(a,0)-u(a,)IlHr-2+8.I Fi Il-s+-1,入 1.(3.14)sin 入c-(a1w+a2w2-1)t I HrNo.4估计F3我们可以得到IIF3/Hr=a1u(a,t)+a2ur(a,t)-号5-sab(-入-2 0-8 .入+l u(a,)/r-$+r-%-1,其中运用到了估计式(3.9）和（3.10).运用相同的方法，我们可以得到F4一F1o的估计联合这些估计可以得到以下结论.定理3.2 假设 s,号.R是一个有界集，则FHr入-rs,for入1,，0 t0.接下来，我们估计近似解与真实解之间的误差设uw,入(t,ac）是方程（1.4)的解，即满足下式Otw,x+a1 w,A0a uw,x+aua,Oa w,-f(uw,a,a uw.,)=0,uw,(0,a)=uw.(0,a)=w)-lp由于uw,(0,c)EH,s3/2是方程（1.4)的近似解，再根据引理3.1和3.2 可以得到I (,)II()a+Il h(0)/H入-1+1,1.因此，根据定理3.1,对于任意的有界集w且入1,问题(3.16)有唯一解uw,入EC(0,T);H)且解的最大存在时间满足T之(1+I uolIH.)6为了估计近似解与真实解之间的误差，需设=wu w,.则满足下面的方程蔡森林等：大振幅浅水波模型的柯西问题研究1(2+1-1+)6 1,1.1211)cos入a-(a1w+a2w2-1)t(3.15)(3.16)(丽）+入-16-8 61cos(入:a).+f(uw.,auw,a)-f(uw,A,auw,a),(0,)=0,其中F由(3.11)式定义且满足(3.15)式中的Hr范数估计.命题3.1如果 1,3/2 且r+1s,则I(t)r=ll u(t)-uw,(t)lH入-a,for 入1,0 tT,其中rs=s-r-8+10.这个命题的证明和文献2 1,引理6 的证明类似，本文将省略此命题的证明.有了近似解和真实解的误差估计，接下来我们证明定理1.3.定理1.3的证明设s3/2，u 1,(c,t）和uo,(a,t)分别是方程（3.16）在初值条件ul,入(c,0)和uo,(,0)的解。则根据定理3.1可知，这两个解属于C(0,T);H).由式(3.17)和定理3.1的假设条件知T不依赖于入1.让8 3/2 且k=3+22，运用(3.2)式可以得到(3.17)(3.18)Il w,(t)I H-Il w,()H.k-s.1212如果入足够大，则根据(3.9)和（3.10)式我们可以得到I (t)Il u(t)Ik+l h()I/H入-1+入h-8-8.因此，我们可以得到H范数的估计如下I uw(t)-w,a(t)IHk-s,O tT.另一方面，通过(3.18)式和选择的wE0,1)可以得到如下结果I uw(t)-w,(t)IlHr-rs,O t T.运用引理2.3中的索伯列夫插值不等式、(3.19)和(3.2 0)式，令0 1=r,02=3+2=k,则有数学物理学报Vol.43A(3.19)(3.20)rs(k-s)(h-s)(s-r)k-rk-(1-)(k-s)入k-r其中（-2 0 等价于。3/2时系k-r统(1.4)的解是非一致连续的.当t=0且入8 时有Il 1,(0)-uo,(0)I s=-1其中运用了不等式 I/（号）IH入 IIHe:当t0时，利用三角不等式有Il 1,(+)uo,(t)IIH l l(t)-o.()I II/(t)1,(+I H.将(3.2 1)式运用于(3.2 1)式的最后两项可得即Ilim inf Il 1,(t)-o,(t)IIH.lim inf Il l.(t)-o.(t)II :1-0接下来，我们给出 lul,入(t)-o,(t)H。的估计ul.(t)-2/0(t)=-8/-8 b=2)-8/2-82于是有/u,2)-8/2-s-(rs二tr)(k-)入-T-+/I/I=0,-Il uo(t)-uo,(t)I s:1-80cos(入-ait-a2-1t)-cos(入)+ul,1,(t)ait+a2入-1t)ait+a2-1t1sinHsin入Cait+a2-1t2(3.21)k-rsin2sinait+a2-1t2Hs+ul,1,(t),2+Cs入入-1+号No.4则由可以得到1-00其中 0 min,-,这就证明了定理 1.3.3.3解的Holder连续性定理1.3说明在Hs中方程(1.4)的解映射 uoEHuEC(0,T);H)是连续的但不是一致连续的在本节中，我们想进一步研究Holder空间Hr,r 3/2.更确切的说，我们考虑方程（1.4）的两个解u和U，他们对应的初值分别为uo和Vo.假设初值uo和vo被指定在H空间中半径为p的球面上即(3.22)则有Il u(t)-v(t)IlHrIl uo-Vo Il/r,O r 2,在(3.2 4)式左右两边分别乘以算子 wA，然后把所得到的结果再在ER上进行积分可以得到如下方程1 d1w(t)2dtHr下面我们先估计(3.2 5）式右边第一项，通过引理2.2(i)我们交换ro和u+得到如下估计I(Aa,(u+u)u,Aw)ol Cs,ll +llHr l/HrCs,rp Il l/,蔡森林等：大振幅浅水波模型的柯西问题研究TI ll L2=_lim 入-8/2-s180Il uollH=p,l Vo llHp,s3/2,Vt=-aiva-a2u2va+f(v,a),+b(1-02)102.Aa(u?+2)wAwda-1/R/R+/Af(u,us)-f(u,a)Awda.JR1213ait+a2)-1t)sin22Aa.(u+)w AwdaHs0,(3.24)(3.25)1214其中，在最后一个不等式中运用到了 I u(t)I|H:2 I uo I|H2p和 I(t)IIHs2 I olHs2p.对于(3.2 5)式右边第二个积分(A,(u?+2),Aw)o|Ccs,r(l/+Il l Hr+Il l/)l/F-对于（3.2 5）式右边的非线性项，利用Cauchy-Schwarz不等式可以得到A(f(u,ua)-f(u,Va)AwdaIl f(u,ua)-f(u,va)IlHrll w llHr.JR估计 I f(u,ua)-f(u,ua)llHr项如下II f(u,ua)-f(u,Ua)Hr Il(u?-2)Hr-1+II(u3-3)IHr-1+II(u4-)IIHr-1u+w+2+w+uw+u?w+u3+uu+u5u+?+u?y?+u3y?+uy?+3+2y3+3+4+2y4+2 llHr-1+ll(ua+a+uua+a+u+uaUa)wallHr-1cgr(p+p+p+p+p+p)/llIr.解在A1空间中是Lipschitz连续的结论联合上面的估计式我们可以得到下面的式子ddtI w(t)/r Cs,r,ll w(t)Il Hr:则数学物理学报Cs,r(ll l Hr+Il l Hr)?II I/rCs,rp ll w ll/r.+Il(u5-5)lHr-1+(u6-6)I Hr-1+I(u7-7)IlHr-1+Il(u-u)Il r-1+Il(uu-vu)II r-1+Il(u-)IlHr-2Vol.43A显然，上式也可以写成如下形式这就证明了方程的解在A1空间中是Lipschitz连续的.解在A2空间中是Holder连续的：与解在A1空间中是Lipschitz连续的相类似，假设r2-s可以得到I()-(+Il(t)-(l/m-c.o,Il o-ll H-,这里第二个不等式用到了2-s1/2.因为r2-8 0:d(r+y)Cov(a)(y),Va,y E Rn.换句话说，对于具次可乘性的函数，若是适中的，我们就说：是适中的这是时频分析1 中常用的术语接下来，我们来回顾这样一个权函数的例子设0(a)=pa,b,ca(a)=ealal(1+lel)g(e+lel),则有如下两个条件成立(见文献4 3)(i)对于 a,c,d0 和 0 b1,这样一个权函数是具次可乘性的.(ii)对于 a,C,d R且 0 b1,则 是适中的更确切的说，对于 lal,Ibl,Icl和 d,中a,b,c,d 是中a,B,-适中的.次可乘性和适中的一些基本属性在文献4 3 中可以看到接下来我们证明定理1.5.定理1.5的证明假设uEC(0,T,H）是方程(1.4)在初值为uo EH,s3/2的解，则对于任意 N Z+,我们考虑():f()=f(ac)=min(d(),N)的 N-截断.则 f:RR是一个局部绝对连续的函数且IfIlN，I f ()|A|f(c)|在 R上几乎处处成立另外,设 Ci=maxCo,-1,其中=inf()0,则(4.1)M=sup,(llu(t)Il L+I/0u(t)/L)o0.tE0,TaERf(c+y)Civ()f(y),Vc,y E R.1216此外，回顾作用于L2(R)的算子-2,可以用与它相关的格林函数表示为 G(c)=e-lal.因此，我们可以把方程（1.4）表示为以下非局部形式(4.2)其中 P(u,ua)=Qa(b1u?+bau+b3u4+b4us+bsue+bau?+bru+bsuuz)+bgug.下面我们先考虑1p0.由定义（1.6)，u1/2e-lel/2L2p(R）和Holder不等式我们可以得到u1/2e-lalEL1(R).则定理1.5被用来证明当p=2时权函数有如下不等式成立Ilu(t)I 2+Ilua(t)L2 (Iul z2+I u,)exp(C(1+M)t).luaf(p-lsgn(uaf)(aiu+a2u)uafrdc/Rddt(4.9)(4.10)1218由 f(a)=f(ac)=min(d(c),N)可以得出Ifa(G*P(u,ua)l LpIf.(G(a)*(u2+us+w+2+wi)Lp lf(G*)LpIfaG(a)llf(u?+s+u+u+illL+/fG(a)llfulLielfe-l/(1+M+M?+M3+M4+M)(l/a+/al/2)Ci exp(C2(1+M)st),对于任意 a,R,f(a)满足 f(+y)Ciu(a)f(g)和文献4,命题3.2 使得这里第二个不等式成立与以上相同，G=G-表示Ilfo2(G*P(u,ua)Lr Ci exp(C2(1+M)5t)+C3(1+M)5(lufllLn+I/fullL),(4.12)这里不等式（4.11）和（4.12)右边的常数都不依赖于N.与定理1.5的证明过程一样，我们很容易得到dIlufllL C(1+M)llufll p+I/f(G*G(u,ua)lLp,for 1 p0dt和ll a Lp C(1+M)llua f Lp+/f2(G*P(u,ua)lLp,for 1 p0.分别把（4.11）和（4.12）式代入（4.13）和（4.14)式，并把他们整合起来得到d(Ilu(t)flLp+Ilua(t)flLp)Ki(1+M)(lluofllLp+uo,fllLp)+Ci exp(C2(1+M)t),dt其中，在1p,which implies that the data-to-solution map is existence,uniquenessand continuous dependence on their initial data,we further show that this dependence is notuniformly continuous in these Sobolev spaces.Moreover,we obtain that the data-to-solutionmap for this shallow water wave equation is Holder continuous in the sense of Hr(R)-topologyfor all O r 3/2.Inaddition,we also investigate the asymptotic behaviors of the strong solutions to this equationat infinity within its lifespan provided the initial data lie in weighted Lg:=LP(R,pPda)spaces.Key words:Shallow water waves;Local well-posedness;Nonuniform continuity;Holder con-tinuity;Blow up;Persistence property.MR(2010)Subject Classification:35G25;35L05;35B30