中美数学教材如何反映数学联...焦于圆锥曲线内容的比较研究_李淑惠_.pdf
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1、 中美数学教材如何反映数学联结?一项聚焦于圆锥曲线内容的比较研究李淑惠 范良火摘要 数学联结是最近二三十年来在国内外数学教育研究中受到高度关注的热门话题之一,也是中美数学教育课程和教学改革中一个重要的关注点。本研究以人教版高中数学教材(版)与美国芝加哥大学学校数学项目()高中数学教材中呈现的圆锥曲线例题和习题为研究对象,基于数学联结的视角,从外部问题情境水平以及内部数学联结的类型和方向性进行比较分析,应用社会网络分析方法对双向联结作重点比较分析。研究结果显示,人教版教材的数学问题绝大多数为纯数学背景,而美国 教材的数学问题有更多真实多样的实际背景;另一方面,人教版教材的数学问题比美国 教材涵盖
2、了更多不同概念间的数学联结,但同一概念表征间的数学联结较少。此外,两套教材给出的例习题中一半以上的数学联结均是单向的,但在反映双向数学联结的例习题中,人教版教材的双向联结权重集中,正反方向相对权重均衡,而美国 教材的双向联结内容更丰富,正反两个方向的权重则有强有弱。文章最后讨论了本研究结果的意义和关于数学联结的进一步研究,以及对教材开发与编写的建议。关键词 数学教材国际比较;数学联结;数学教材研究;教材开发和编写;圆锥曲线作者简介 李淑惠 华东师范大学数学科学学院明园晨晖学者(上海)范良火 华东师范大学数学科学学院特聘教授,亚洲数学教育中心主任(上海);英国南安普顿大学教育学院终身荣誉教授(南
3、安普顿)一、研究背景数学联结(,也译作“数学关联”“数学联系”等)是最近二三十年来国内外数学教育研究高度关注的热门话题之一,也是中美数本文系华东师范大学亚洲数学教育中心项目课题(项目编号:)和华东师范大学“幸福之花”先导研究基金项目课题(项目编号:)的阶段性研究成果。通讯作者:范良火。致谢:数学教育方向陆星池博士、沈轶骅博士、罗婕彤博士、谢思成博士为数据信度检查提供了协助,图论方向季春玉先生为文中涉及的图论研究方法提供了宝贵意见,特此致谢。学教育课程和教学改革中一个重要的关注点。美国全国数学教师协会(,简称)早在 年出版的文件学校数学课程和评价标准中就强调数学联结在数学课程和教学中的意义,并将
4、其分为两类:一是(在现实世界或其他学科中的)数学问题及其数学表征间的建模联结;二是数学自身概念思想间的数学联结。年 公布的另一份指导性文件学校数学的原则和标准进一步把“关联”列为关于教学过程的五大标准之一,这一理念在美国的数学教育研究和数学课程改革,包括目前正在广泛施行的“共同核心国家标准”()改革中,仍受到广泛认可和重视,并影响到世界多个国家。我国数学教育研究者对在数学教学中重视数学联结的理念亦有不少关注,这也反映在我国的课程改革中。事实上,我国最新的普通高中数学课程标准明确指出,课程结构的设计应“依据数学学科特点,关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联”,“凸显数学的内在逻辑和思想方法
5、”,“强调数学与生活以及其他学科的联系,提升学生应用数学解决实际问题的能力”。根据现有的研究,从数学联结的外部环境来看,问题情境可能影响数学联结的学习机会;从数学联结的内部内容来看,数学联结涉及概念和表征,有单向联结和双向联结。丰富的数学联结,尤其是双向联结,对数学的概念性理解、数学知识的迁移和数学问题的解决有一定帮助。然而,研究者们发现,许多学生甚至教师,常常只能建立单向联结,且数学教材中过分强调单向联结可能会阻碍学习者建立双向联结。数学问题是数学教材中的一个重要部分,其中例习题的设计和呈现是教材开发和编写的重要环节。一些研究者曾对中美数学教材例习题包含的双向联结进行比较研究,但主要集中在小
6、学或初中教材,如分配律的双向应用、加法减法、乘法除法等,少有研究探索高中教材例习题体系中的双向联结,以及问题情境水平对学生学习和理解数学联结的影响。函数,作为数学核心概念和大观念()之一,一直是我国学者关注的高中数学课程研究和中美数学教育比较研究的重点领域,具体的研究视角包括有关函数的教材编写、课程标准、情境水平等。函数是一个有“核”的“概念群”,中美教材都注重建立以“函数”为“核”的辐射状的具有紧密性、多向性的教材结构体系。一方面,虽然中美教材都关注函数概念的联系性,但目前还未有对其中数学联结紧密性和方向性进行比较分析和定量分析的研究;另一方面,已有研究的研究对象大多数为函数大概念,而针对圆
7、锥曲线及相关的二次关系式(,其中、至少有一个不为)的深入研究很少。此外,中美数学教材的比较研究也主要聚焦于小学或中学的部分内容,关于高中数学教材的中美比较研究较少。基于此,本研究以中美两国知名版本的高中数学教材中圆锥曲线的例习题为研究对象,比较外部问题情境水平和内部不同类型数学联结的呈现频率,分析两国教材呈现双向联结的差别,以期对中美高中阶段关于圆锥曲线的例 习题的合理配备、数学教材的设计以及数学联结的研究与教学提供有关建议。二、数学联结视角下的分析框架(一)外部问题情境分析本研究首先区分了纯数学背景和有实际背景两个层次的问题情境特征,来分析其对学生数学联结学习机会的潜在影响。纯数学背景问题指
8、运用数字、符号、图像等纯数学表征为情境的问题,侧重抽象数学;有实际背景问题指以现实情景(如个人生活、公共常识、科学背景等)为背景的问题,侧重数学的实际应用,常涉及多重表征间的联结,对数学联结的多样性有一定的影响。情境与问题是体现数学学科核心素养的重要方面之一。世纪我国数学课程改革的要点之一就是强调问题情境的真实性,近年来,大量学者开始关注数学教材中的现实问题情境,并指出我国教材中高水平情境的比例偏低,“个人生活”与“公共意识”方面的情境较少。故本研究基于有实际背景问题,从背景来源和情境真实性(真实数据、假设数据)两方面进行定性分析,探究其对数学联结学习机会的影响。基于数学联结视角,已有研究者常
9、采用包含数学联结的数学问题的数目和比例来刻画数学联结的呈现频率。然而,一个数学问题可能包含多个数学联结,这种方法难以反映数学联结的数目、类型、方向性及数学联结网络的结构。因此,本文对数学联结进行了更进一步的深度内容分析。(二)内部联结内容分析基于数学本质特征,研究者将数学联结分为同概念联结和异概念联结。如图 所示,同概念联结指数学联结涉及同一概念不同表征之间的转换;异概念联结指数学联结跨越两个概念之间的联系。图 数学联结的分类在表征研究中,莱什()等人将同概念联结分为异表征系统联结(也称“转译”,)和同表征系统联结(也称“转换”,)。例如,从一个圆心在原点的单位圆的图像转译到表达式 为一个异表
10、征系统联结;从一条直线的一般式方程 转换成斜截式方程 为一个同表征系统联结。有兴趣的读者可以阅读 年发行的詹维尔()主编的 中第 页到 页的内容。解释两类数学联结的例子很丰富,下面是三个例子:问题一:已知一个圆心在原点的单位圆的图像,求其方程。问题二:在平面直角坐标系中,画出 的图像。问题三:已知一个圆的表达式,求其圆心。问题一涉及的是一个从图像转译到表达式 的同概念联结;问题二涉及的是一个从表达式 转译到单位圆图像的同概念联结;问题三涉及的是一个从圆到圆心的异概念联结。基于数学联结的方向性,数学联结可分为单向联结和双向联结。一对正方向和反方向的单向联结构成了一组双向联结。如图 所示,问题一中
11、将圆的图像转化成表达式,问题二中相对应地将圆的表达式转化成图像,这两个联结就构成一组双向同概念联结;而问题三中从圆到圆心的异概念联结为一个单向异概念联结。研究发现,教材中过度强调正向联结、缺少反向联结的学习机会将导致学习者对一些反向同概念联结和反向异概念联结的学习带来困难。本研究通过异概念联结、同概念联结以及单个数学问题包含的数学联结个数,来量化所选取的中美高中数学教材在例习题中这两类数学联结的呈现频率;此外,通过计算双向异概念联结、双向同概念联结及双向联结的比重来量化教材对双向联结的重视程度,从而考察教材为学生提供关于这两类双向联结的学习机会的情况。为了更加清楚地刻画教材中双向联结网络的结构
12、,本文借助了近年来教育领域应用比较广泛的社会网络分析法(,简称)。借助数学中的图和矩阵研究社会实体间的网络关系,可以类推到数学联结的研究,通过有向图和赋权邻接矩阵从图像化和数量化两方面分析数学联结的核心程度、紧密程度等性质。对有向图的定性分析分为三个层次:()整体连通分量,体现了哪些数学概念、表征聚集成一个群体紧密联结或相对孤立;()有向边的颜色和粗细,刻画了例习题更强调不同概念间的双向联结,还是同一概念表征间双向联结的学习机会,以及被强调的双向联结的具体情况;()指向箭头密度,反映了教材体现的双向联结网络中被强调的数学概念及表征的情况。与有向图对应的赋权邻接矩阵中的元素 代表了从概念 到 的
13、数学联结的权重。对赋权邻接矩阵的定量分析也分为三个层次:()顶点个数、有向边的权重和多样性,用于量化双向联结的丰富程度;()对应元素的对称性和对角线元素,用于量化每一组双向联结中正向联结、反向联结的强弱以及整体双向联结网络中正反方向的均衡程度;()顶点的出度、入度、出连通度、入连通度,用于从数量和多样性两个角度刻画双向联结网络中有影响力的(入)和突出的(出)数学概念或表征。具体指标与含义如表 所示。对社会网络分析法有兴趣的读者可以阅读参考文献中的相关书籍。表 社会网络分析法框架工具层次指标含义有向图整体连通分量()任意两个顶点之间存在双向路径的子图有向边有向边颜色()两类有向边(异 同概念联结
14、)的分布有向边粗细()有向边权重的分布顶点指向箭头密度()有向边聚集的起点、终点的分布赋权邻接矩阵整体阶()顶点的总数(顶集的大小)总边数()有向边的总数(含多重边)总不同边数()不同有向边的总数(不含多重边)有向边对应元素()有向边正向、反向的权重对角线元素()自环(有向边的起点、终点为同一顶点)权重顶点出 入度()以该顶点为起点 终点的有向边的总数出 入连通度()以该顶点为起点 终点的不同有向边的总数 三、研究设计(一)教材数学问题的选取本研究选取了中美知名的高中数学教材(人教版和美国)及配套教师教学用书中与圆锥曲线相关的章节(如表 所示)。这两套教材在过去十多年中在本国被广泛使用,在很大
15、程度上体现了中美数学课程改革的主流思想和实践,是近几年中美高中数学教材研究的主要研究对象。考虑到教育的连贯性和数据的可获得性,这两套教材虽非最新版教材,但选取的人教版教材使用到了 年,美国 的初高中教材是目前学校使用的教材之一,反映了近十多年中美两国数学联结的学习机会,具有较强的延续性,故数据仍具有较强的借鉴意义和现实意义。本研究的具体内容为两套教材中圆锥曲线章节相关的例习题以及教师教学用书中的补充例题。习题范围为人教版教材中节末、节中的“例题”“练习”“习题”和配套教师教学用书中的“补充例题”,以及美国 学生版教材 中节末、节中的“例题”()、“习题”()和教师版()中的“附加例题”()。表
16、 中美教材圆锥曲线相关章节选取国别书名与章节补充出版社 出版时间主要作者中国普通高中课程标准实验教科书数学必修(版)第四章、选修(版)第二章教师教学用书人民教育出版社刘邵学,章建跃,王申怀,等美国 (),注:因选取的美国 教材中未涉及圆锥曲维参数方程,考虑到可比性,本文未包括人教版选修中“圆锥曲线的参数方程”部分内容。针对人教版选修,选修(理科限选)和选修(文科限选)都包含“圆锥曲线与方程”章节,考虑到内容的丰富性,选取了选修。(二)数学问题数据收集和处理第一,划分收集的数据,确定小的研究单元。在问题编号上,对两套教材的大题均采用“、”的编号样式;人教版教材对大题中的小题采用“()、()、()
17、”的编号样式,而美国 教材采用“、”的编号样式。研究以小题编号的数学问题为基础研究单元,采用一个问题一记数,如人教版教材大题 有()、()、()三个小题,则分为 个研究单元;如美国 教材大题 有、两个小题,则分为 个研究单元。所有研究单元按照在教材中出现的顺序逐一标注序号。第二,针对每个研究单元,依次对其情境水平(纯数学背景、有实际背景)与数学联结内容(起点,终点,类型:同概念联结、异概念联结,方向:单向、双向)进行编码。部分数学问题的编码结果如表 所示。针对有实际背景问题,对其背景来源和情境真实性(真实数据、假设数据)进行编码。如在人教版“某圆拱桥的水面跨度,拱高。现有一船,宽,水面以上高,
18、这条船能否从桥下通过?”(必修)中,编码为拱桥、假设数据;表 中 样题 的编码为行星运行轨道、真实数据。数学联结内容的编码按照每个解答步骤中涉及的同概念联结和异概念联结依次进行,故单个问题可能包含多个数学联结。第三,为检测编码的信度,请四位(两位为一组)数学教育专业的博士和博士研究生对抽取的数学问题的编码结果做出评价(同意或不同意)。结果显示,人教版教材的数学问题情境和数学联结内容(包含起点、终点、类型、方向)的编码一致性(评分者间信度)为 和,美国 教材的数学问题情境和数学联结内容的编码一致性分别为 和,编码结果的一致性均大于,说明结果可信度高。表 中美教材部分数学问题编码结果教材页码数学问
19、题问题情境数学联结内容()起点 终点 类型方向人教版必修纯数学半径圆异双向纯数学圆心圆异双向必修纯数学圆半径异双向纯数学圆圆心异双向选修纯数学椭圆范围异单向椭圆符椭圆图同单向美国实际背景半径圆异双向纯数学椭圆图椭圆符同双向纯数学椭圆符椭圆图同双向 注:“符”指符号表征,“符”指符号表征;“图”指图像表征。四、研究结果及分析(一)外部问题情境的分布如表 所示,对于圆锥曲线内容,美国 教材提供的数学问题数量()远远多于人教版教材()。人教版教材中有实际背景问题很少,绝大多数为纯数学背景(),而美国 教材纯数学背景问题比重()低于人教版教材()。整体上,两版教材有实际背景问题比重都比较低。表 中美教
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