不含偶圈(n,m)图匹配多项式的最大根.pdf
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1、令图G是具有n个顶点的简单连通图。图G的匹配多项式定义为Zk(-1)*m(G,k)an-2k,其中m(G,k)是图 G 中 k-匹配的数目,0 kn/2。令n,m 是具有 n个顶点和m条边的不含偶圈图的集合,其中nm3(n=)。本文介绍了四个新的比较匹2配多项式最大根的变换方法,从而刻画了n,m中具有匹配多项式最大根的图。关键词四匹配多项式,最大根,(n,m)-图,偶圈中图分类号0 1 57.5,0 1 57.62010数学分类号0 5C05,05C35On the largest root of the matching polynomialsof(n,m)-graphs without e
2、ven cycles*YUAN LinglWANG Wenhuanl,tAbstract Let G be a simple connected graph with n vertices.The matchingpolynomial of C is given by 2a(-1)m(C,h)an-2k,where m(C,)s the number ofk-matchings in G with 0 k n/2.Let n,m be the set of graphs with n verticesand m edges having no even cycles,where n m 入i(
3、G),则Mc*(ac)Mc()。设Gi和G2是两个顶点不相交的连通图,uEV(G1)和EV(G2)。记G是在图G1的顶点u和G的顶点之间增加一条边uu后得到的图。令是在图Gi(u,u)G2的顶点u(即)上长出一条悬挂边(记为uw)而得到的图。引理51 3)令和G是如上所述两个图,则入1(G)入1(G)。设G1是一个连通图,u1,u p 是G中的p个顶点,pl。记图G*是将图G1中顶点u1,,u p 与一个孤立点之间添加边集合【uul,,u p】而得到的图。设G和G2是两个顶点互不相交的连通图,u1,upEV(Gi)且EV(G2)。记G是将 G中顶点ul,,u p 与G2中顶点之间添加边集合【u
4、u1,,v u p 后得到的图。G*和G如图2 所示。由引理2,直接可得引理6(1)。由引理1 和3,直接可得引理6(2)。引理6 1】令G*和G是如上所述两个图,则P(1)Mc(a)=rMc,(a)-MG1-u:(a);1P(2)Mc(a)=MG()MG,(a)-MG1-u:(a)MG2-(a)。1WG1G2G1G2GG图1引理5中G和G1533期不含偶圈(n,m)-图匹配多项式的最大根山1山12山2GGCPG图2引理6 中G*和G2主要结果在本节中,为了得到n,m中具有匹配多项式最大根的图,我们引入了四个新的比较两个图匹配多项式最大根的引理(如引理9 1 2 所示),且结合已有的一些引理,
5、从而得到了本文主要结果。下面,我们先对n,m中边数m与顶点数n之间的关系,以及n,m中图的性质进行刻画,如引理7 和8 所示。引理7 1 6 对于任意一个图Ge更n.m,有3n,等号成立当且仅当G是三圈2的并,使得任意两个三圈至多有一个公共点。引理 8 1 7 如果G是一个不含偶圈的连通图,那么G中的任意两个奇圈都是边互不相交的。设Hi和H为两个简单连通图,uEV(Hi)和EV(H2)。为了方便,简记Hi(u,u)H2为HiH2。记Nk是k个孤立点构成的集合。引理9 令Hi和H如上所述,有入i(H1H2UNi)入(HiUH2)。证明对HiUH和H1H中与顶点u相关联的边分别应用引理6,有MHi
6、UH,()=MHi-u(a)MH,()-MH,(ac)MHi-u-u;(a),(2)ViETHi(u)MHiH2()=MHi-u(a)MH,(a)-MH2-(c)MHi-u-u(a)。(3)UiETHi(u)根据式(2)和(3),可得MHiUH,(a)-MHi-H2UNi(c)=MHUH,()-MHi-H,()=cMH2-(a)-MH()MHi-u-v;(a)。(4)V;ETHi(u)因为(H)U Ni 是H的一个真子图,且HU i 是HiH的一个真子图,其中i(u),由引理4,有入i(HH2UNi)i(H2)i(H2-)UNi)和i(HHUNi)(H-i)。所以,当(HH2UNi)时,由引理
7、4,有 MH2-(a)MHz(a)且 MHi-u-u:(a)M H-H z u Ni()O。所以,由式(4),MHiUH(r)MHi-H2uN;(a)。因此,Ai(Hi H2 UNi)Ai(Hi U H2)。令C 是具有1 个顶点的圈,其中1 3。记圈C上的顶点依次为u1,u2,u,其中l3。令图R是在C的顶点i上挂出一个连通图(记为Gu),其中l4,1il。15427卷袁玲,王文环若图R中的顶点不挂出图,则Gu为空图,其中1 il。令图R*是在图Ri u l中,首先将u和u粘合成一个顶点(记为),而后在上再长出一条悬挂边(记为ww)而得到的图。R和R*如图3所示。GusGu山3GunGu山3
8、山CG山Ci-1山山山GuWGulGuRR*图3引理1 0 中R和R*引理1 0 令R和R*是如上所述两个图,则入1(R)入i(Gun((u i,u)G u r UNi)。又由引理9,有入i(Gu(ui,u)GurUNi)入i(Gu UGut)。因此,当 入i(R*),有McuuGu(a)a M G u(u u)G((a)。类似地,因为(Gu=u)uNi是Gu的一个真子图,U(Guu)UNi 是B的一个真子图,且 Gu,B,D,U(Gut-1u-1)U(Guu)和(Gulu i)U(G u u 2)是R*的一个真子图,由引理4,当 入i(R*)时,有 MGu(a)aM(Gu,-u1)(a),M
9、B(a)0,Meu(C-1-u-1)u(Gu-un)(a)Mr(c)0 和 M(Gm-ui)u(Gua-ua)(a)Mr-(e)0。所以,由式(1 2),Mr(a)MR*()。因此,入1(R)入i(G(u,ui)P2),则对任意一个非空连通图 H和 H中任意一个顶点w,有 i(G(u,w)H)入i(G(u,w)H)。证明月对 G(u,i)P2和 G(u,U1)P2中的悬挂边 P2分别应用引理 3,有Mc(u,1)P(a)=a Mc(a)-Mc-(a),(13)MG(u,u1)P(a)=aMc(a)-MG-(a)。(14)由式(1 3)和(1 4),可得Mc(u,v1)P,(a)-Mc(v,v1
10、)P(a)=MG-()-MG-(a)。(15)因为 Gu 和 G分别是 G(u,ui)P 和 G(u,ui)P 的真子图,由引理 4,有入1(G(u,U1)P2)入1(G-u)和 入1(G(u,U1)P2)入1(G-u)。若 入1(G(u,U1)P2)入1(G(u,U1)P2),当 入1(G(u,u1)P2),Mc(u,u1)p(a)-Mc(u,u1)Pa(a)入i(G(u,U1)P2),可得Mc-(a)入1(G(u,w)H)时,有 MH-w-:()Mc(u,w)H(a)0。结合式(1 6)和(1 9),当入1(G(u,w)H)时,可得 MG(u,w)H(r)入i(G(u,w)H)。对于一个图
11、G的两个顶点u和,若G一u同构于G一,则称顶点u和是等价的。设Q1,Q2,Q是三个顶点互不相交的连通图,u,EV(Q1),EV(Q2),uEV(Q3)。令 Q=Q1(u,u)Q2。Q(u,u )Q:和 Q(u,u)Q:如图 4 所示。Q3Q3Q2Q2Q(u,w)Q3Q(u,u)Q3图4引理1 2 中Q(u,u)Q3和Q(u,u)Q3引理1 2 若Q1中的顶点u与等价,则入i(Q(u,w)Q3)入1(Q(u,u)Q3)。证明为了得到引理1 2,由引理1 1,只要证明入1(Q(u,u1)P2)1(Q-)入1(Q1-)(Q2)。由引理 4,当 入1(Q*)时,有MQ1-(c)MQ2-u(z)MQ-(
12、c)。所以,由式(2 3),当 入1(Q*)时,Ma(z)Mo(a)。因此,入1(Q)入(Q*)。进一步,由引理1 1,可得入1(Q(u,u)Q3)入i(Q(u,u)Q3)。口定理1 令Gen.m,其中n(Smm)入i(G),等号成立当且仅2当 G=Sn,m。证明令Go是n,m中具有匹配多项式最大根的图。下面,我们证明Go具有以下性质。性质1 Go中所有割边都是悬挂边。由引理5,可知性质1 成立。性质2 Go中任意一个圈的圈长为3。157不含偶圈(n,m)-图匹配多项式的最大根3期Sn,m图5定理1 中 Sn,m由引理8,可知Go中任意两个奇圈的边互不相交。假设Go中存在一个圈Clo,满足lo
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